2024-2025学年黑龙江省哈尔滨163中九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨163中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(

)A. B. C. D.2.下列各组数中，能构成直角三角形的是(

)A.4，5，6 B.17，8，15 C.8，12，15 D.9，15，173.某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(

)A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=1824.矩形具有而平行四边形不具有的性质是(

)A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分5.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为(

)A.6 B.7 C.8 D.96.如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，如果∠A=125°，则∠BCE的度数是(

)A.35° B.45° C.55° D.60°7.对于一次函数y=−2x+5，下列结论错误的是(

)A.函数y随x的增大而减小B.函数图象向下平移5个单位得y=−2x的图象

C.函数图象与x轴的交点是(0,5)D.当x>0时，y<58.如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是(

)A.4B.8

C.12D.169.如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是(

)

A.ADBD=AEEC B.AFAE=10.在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是(

)A.小莹的速度随时间的增大而增大

B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大

C.在起跑后180秒时，两人相遇

D.在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.已知一张地图的比例尺是1：32000000，量得北京到上海的图上距离约为3cm，则北京到上海的实际距离大约是______km．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=23，则BC的长为______．13.已知一次函数y=−x+4的图象经过点(a,2)，则a=______．14.矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=3，BC=4，则DO=______．15.若关于x的一元二次方程mx2+(m−1)x−10=0有一个根为2，则m16.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC=______°.17.剑桥三中组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为______．18.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=4，BC=8，则DE的长为______．19.菱形有一个内角是120°，有一条对角线为6cm，则此菱形的边长是______．20.如图，在正方形ABCD中，F在CD的延长线上，E在AD上，BE延长线交AF于点H，若AH=AB，DF=8，AE=9，则HF=______．三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题7分)

先化简，再求值：代数式3−aa−1+a2−4a+422.(本小题7分)

如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出以AB为一边的等腰Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为52；

(2)在方格纸中画出以DE为一腰且一个内角为钝角的等腰△DEF，点F在小正方形的顶点上，且△DEF的面积为4；

(3)连接CF，并直接写出线段CF的长．23.(本小题8分)

如图，已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．

(1)求正比例函数的解析式；

(2)点P在x轴上，使△AOP的面积为5，求点P的坐标．24.(本小题8分)

在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF//BC，交DE的延长线于点F，连接CF．

(1)如图1，求证：四边形ADCF是矩形；

(2)如图2，当AB=AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形(不包括矩形ADCF)．

25.(本小题10分)

绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．

(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；

(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？26.(本小题10分)

在△ABC中，D为边BC上一点，DA=DB，BE⊥AC于点E，交AD于点K，DF平分∠ADB交BE于点F，连接AF．

(1)如图1，求证：BF=AF；

(2)如图2，若∠ADB=90°，点G与点D关于直线AC对称，连接AG、DG，求证：∠DAF=∠GAC；

(3)如图3，在(2)的条件下，若AE=2，DG=6，求AB的长．27.(本小题10分)

如图①，在平面直角坐标系中，点A在直线y=−43x上，且点A的横坐标为−6，直线AB分别交x轴、y轴于点B和点C.点B的坐标为(10,0)．

(1)求直线AB的解析式；

(2)如图②，点D坐标为(4,8)，连接AD、BD，动点P从点A出发，沿线段AD运动．过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，连接DQ.设△BDQ的面积为S(S≠0)，点P的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，连接PC，若∠CPD+∠OBD=90°，求t的值．

答案解析1.C

【解析】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件．

故选：C．

根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．

本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．2.B

【解析】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；

B、152+82=172，能构成直角三角形，符合题意；

C、83.A

【解析】解：设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50(1+x)万个，六月份生产零件50(1+x)(1+x)万个，

故可得：50(1+x)(1+x)=61，即50(1+x)2=182．

故选：A．

设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50(1+x)万个，六月份生产零件50(1+x)(1+x)万个，由此可得出方程．

此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x4.C

【解析】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．

故选：C．

矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．

本题考查矩形的性质以及平行四边形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．5.C

【解析】解：作底边上的高并设此高的长度为x，则根据勾股定理得：62+x2=102；

解得：x=8，

6.A

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=125°，

∴∠B=180°−∠A=180°−125°=55°，

∵CE⊥AB，

∴∠BEC=90°，

∴∠BCE=90°−∠B=90°−55°=35°．

故选：A．

根据平行四边形的性质求出∠B，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．

本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7.C

【解析】解：A、一次函数y=−2x+5，k=−2<0，函数值y随自变量x的增大而减小，原说法正确，不符合题意；

B、一次函数y=−2x+5，函数图象向下平移5个单位得y=−2x的图象，原说法正确，不符合题意；

C、一次函数y=−2x+5，函数图象与x轴的交点是(2.5,0)，原说法错误，符合题意；

D、一次函数y=−2x+5，当x>0时，y<5，原说法正确，不符合题意；

故选：C．

根据一次函数的性质逐项分析判断即可．【解答】

本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是关键．8.D

【解析】解：由题意可知，EF是△ABC的中位线，

有EF=12BC．

∴BC=2EF=2×2=4，

那么ABCD的周长是4×4=16．

故选：D．

根据中位线定理求边长，再求ABCD9.D

【解析】【分析】

本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．

【解答】

解：∵DE/​/BC，DF/​/BE，

∴ADBD=AEEC，△ADE∽△ABC，AFFE=ADBD，DEBC=ADAB，AFAE=DFBE=AD10.D

【解析】解：A、∵线段OA表示所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的图象，∴小莹的速度是没有变化的，故选项错误；

B、∵小莹比小梅先到，∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误；

C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；

D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴小梅是在小莹的前面，故选项正确．

故选：D．

A、由于线段OA表示所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的图象，由此可以确定小莹的速度是没有变化的，

B、小莹比小梅先到，由此可以确定小梅的平均速度比小莹的平均速度是否小；

C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；

D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定小梅是否在小莹的前面．

本题考查利用图象解决实际问题，正确理解图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到问题的相应解决．需注意计算单位的统一．11.960

【解析】解：∵一张地图的比例尺是1：32000000，量得北京到上海的图上距离约为3cm，

∴3÷132000000=96000000cm=960(km)，

∴北京到上海的实际距离大约是960km．

故答案为：960．

根据比例尺=图上距离÷12.4

【解析】【分析】

此题主要考查了锐角三角函数定义，正确记忆边角关系是解题关键．根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．

【解答】

解：如图所示：∵∠C=90°，AB=6，cosB=23，

∴cosB=BCAB=BC6=2313.2

【解析】解：∵一次函数y=−x+4的图象经过点(a,2)，

∴2=−a+4，

∴a=2．

故答案为：2．

利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元一次方程是解题的关键．14.2.5

【解析】解：如图，四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，BC=AD=4，

由勾股定理得：BD=AB2+AD2=32+42=5，

15.2

【解析】解：把x=2代入方程mx2+(m−1)x−10=0得4m+2m−2−10=0，解得m=2．

故答案为2．

把x=2代入方程mx2+(m−1)x−10=0得16.60

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=BC，∠DCF=∠BCF=45°．

又CF=CF，

∴△DCF≌△BCF(SAS)．

∴∠CDF=∠CBF．

∵△ABE是等边三角形，

∴AE=AB，∠BAE=60°．

又AB=AD，

∴AD=AE，且∠DAE=90°+60°=150°，

∴∠ADE=(180°−150°)÷2=15°．

∴∠CDF=90°−15°=75°=∠CBF．

∴∠BFC=180°−∠FCB−∠CBF=180°−45°−75°=60°．

故答案为60．

由等腰△ADE可求∠ADE度数，则∠CDF度数可知，已知△CDF≌△CBF，可得∠CBF=∠CDF，在△CBF中利用三角形内角和180°可知∠BFC度数．

本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解决三角形中角的度数问题一般运用三角形内角和180°知识，若不能直接运用，则需要利用特殊图形的性质或全等三角形的性质进行转化，而后求解．17.9

【解析】解：设这次参加比赛的球队个数为x个，

根据题意得：

12x(x−1)=36，

解得：x1=−8(舍去)，x2=9，

即这次参加比赛的球队个数为9个，

故答案是：9．

设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了18.5

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD=BC=8，

由折叠的性质得：AE=A′E，AB=A′D，∠A=∠A′=90°，

设AE=A′E=x，则DE=8−x，

在Rt△A′ED中，A′E=x，A′D=AB=4，

由勾股定理得：x2+42=(8−x)2，

解得x=3，

∴DE=8−3=5，

故答案为：5．

由矩形的性质得出∠A=90°，AD=BC=8，由折叠的性质得AE=A′E，AB=A′D，∠A=∠A′=90°，设AE=A′E=x19.6cm或2【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BC，∠ABD=∠CBD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

如果AC=6cm，则AB=6cm，

如果BD=6cm，

则∠ABD=30°，OB=3cm，

∴OA=OB⋅tan30°=3cm，

∴AB=23cm．

∴此菱形的边长是6cm或23cm．

如图，根据题意得：∠BAC=120°，易得∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形．如果AC=6cm，那么20.2

【解析】解：如图所示，延长BE，CD交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，DF=8，AE=9，AH=AB，

∴设AH=AB=AD=x，则DE=AD−AE=x−9，

∵AB/​/CD，

∴△ABE∽△DGE，

∴ABDG=AEDE，即xDG=9x−9，

∴DG=x29−x，

∴FG=DG−DF=x29−x−8；

∵AB/​/CD，

∴△ABH∽△FGH，

∴ABFG=AHFH，即xx29−x−8=xFH，

∴FH=x29−x−8，

∴AF=AH+FH=x+x29−x−8=x29−8；

∵∠ADF=90°，

∴AD2+DF2=AF2，

21.解：3−aa−1+a2−4a+4a2−1⋅a+1a−2

=3−aa−1+【解析】首先根据分式的混合运算法则化简，然后利用特殊角的三角函数值求出a的值，然后代入化简后的式子计算即可．

此题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．22.解：(1)如图：

(2)如图：

(3)CF=12【解析】(1)根据题意画出图形即可；

(2)根据题意画出图形，根据勾股定理求出CF的长．

本题考查的是勾股定理的应用，根据题意找出符合条件的点是解题的关键．23.解：(1)∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3

∴点A的纵坐标为−2，点A的坐标为(3,−2)，

∵正比例函数y=kx经过点A，

∴3k=−2解得k=−23，

∴正比例函数的解析式是y=−23x；

(2)∵△AOP的面积为5，点A的坐标为(3,−2)，

∴12OP×2=5，

∴OP=5，

∴【解析】(1)根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；

(2)利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．

本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．24.(1)证明：∵AF/​/BC，

∴∠AFE=∠EDC，

∵E是AC中点，

∴AE=EC，

在△AEF和△CED中，

∠AFE=∠CDE∠AEF=∠CEDAE=EC，

∴△AEF≌△CED，

∴EF=DE，∵AE=EC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴四边形ADCF是矩形．

(2)∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF/​/BC，

∴AB//DE，DG/​/AC，EG/​/BC/​/AF，

∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE【解析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

(1)由△AEF≌△CED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四边形ADCF是平行四边形，根据∠ADC=90°，即可推出四边形ADCF是矩形．

(2)根据平行四边形的判定即可求解．25.解：(1)设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，

依题意得：x+2y=562x+y=64，

解得：x=24y=16．

答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．

(2)设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买(200−m)盒B种型号的颜料，

依题意得：24m+16(200−m)≤3920，

解得：m≤90．

答：该中学最多可以购买90盒A【解析】(1)设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据“购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买(200−m)盒B种型号的颜料，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3920元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26.(1)证明：∵∠ADB的角平分线DF交BE于点F，

∴∠ADF=∠BDF，

在△ADF和△BDF中，

DA=DB∠ADF=∠BDFDF=DF，

∴△ADF≌△BDF(SAS)，

∴AF=BF；

(2)证明：如图2所示：

由(1)知，FA=FB，即△ABF是等腰三角形，则∠FAB=∠FBA，

∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA，

∴∠DAF=∠DBE，

∵∠ADB=90°，

∴∠DBE+∠1=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠DBE+∠2=90°，

∵BE⊥AC，

∴∠CAD+∠2=90°，

∴∠CAD=∠DBE，

∴∠DAF=∠CAD，

由折叠得∠CAG=∠CAD，

∴∠DAF=∠GAC；

(3)解：连接EG，ED，过D作DH⊥DE交EB于H，如图3所示：

∴∠EDH=90°，

∴∠ADE+∠ADH=90°，

∵∠ADH+∠BDH=90°，

∴∠ADE=∠BDH，

在△ADE和△BDH中，

∠ADE=∠BDHAD=DB∠DAE=∠BDH，

∴△ADE≌△BDH(ASA)，

∴BH=AE=2，DE=DH，

∴∠DEH=∠DHE，

由折叠得EG=ED，∠DGE=∠GDE，DG⊥AC，

∵BE⊥AC，

∴DG//BE，

∴∠GDE=∠DEH=∠DHE，

在△DEG和△DHE中，

∠EGD=∠DEH∠EDG=∠DHEDE=DH，

∴△DEG≌△DHE(AAS)，

∴EH=DG=6，

∴EB=GD+AE=8，

在Rt△ABE中，AE=2，BE=8【解析】(1)由角平分线得出∠ADF=∠BDF，进而由三角形全等的判定定理判断出△ADF≌△BDF，由全等三角形性质即可得出AF=BF；

(2)先判断出∠DAF=∠DBE，再由等角的余角