2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为(

)A.19 B.23 C.21 D.182.已知a=(−2,5)，b=(2,1)，则a，b夹角的余弦值等于(

)A.145145 B.5145 C.3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，且m⊥α，n//β，则下列命题为真命题的是(

)A.若α⊥β，则m⊥n B.若m//n，则α⊥β

C.若m⊥β，则n//α D.若m//β，则n//α4.若函数f(x)=ln(1+ax)−xA.e2 B.e C.e 5.已知复数z=1+2i，则z−−1+3i4i−1在复平面内对应的点的坐标为A.(417,117) B.(6.若集合M={x|sinx=cos2x}，N={x|cosx=sin2x}，则(

)A.M∩N=⌀ B.M∩N=M C.M∪N=R D.M∪N=M7.如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么(

)A.2S0=S+S′8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BBA.1+22

B.4+22二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2的共轭复数分别为z1−，zA.z1+z2−=z1−+z2− B.|z10.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5(x1A.数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为9s2

B.数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x411.如图1，扇形ABC的弧长为12π，半径为62，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中(

)

A.圆锥的体积为216π

B.当M为AB中点时，线段MN在底面的投影长为37

C.存在M，使得MN⊥AB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5：2：3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则n=______．13.在△ABC中，AD是边BC上的高，若AB=(1,3),BC=(6,3)，则|AD14.max{x1,x2,x3}四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径(单位：mm)数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是[98,103]，样本数据分组为[98,99)，[99,100)，[100,101)，[101,102)，[102,103].已知样本中钢球直径在[100,101)内的个数是20．

(1)求样本容量；

(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在[99,102)的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数．16.(本小题15分)

设O为坐标原点，向量OZ1、OZ2、OZ3分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+(2−a)i，z2=−1+(3−2a)i，z3=2−mi(a,m∈R).已知z17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求点P到平面AEF的距离．18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=22c,sinA=cos(B−C)．

(1)求B；

(2)若D是边BC上一点，且19.(本小题17分)

如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．

(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；

(2)若θ=60°

①求CA⋅CB的取值范围；

②设OM=tOB

答案解析1.C

【解析】解：将这10个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，

所以这组数据的中位数是19+232=21．

故选：C．

根据中位数的定义即可求解．2.A

【解析】解：根据a=(−2,5)，b=(2,1)，可得|a|=4+25=29，|b|=4+1=5，a⋅b=−2×2+5×1=1．

所以cos<a3.B

【解析】解：对于A，可能相交，如图所示正方体中，若m为直线BB1，

α为平面A1B1C1D1，β为平面ADD1A1，若n为CC1，则m//n，故A错误；

对于B：由m//n，n//β，可得m//β或m⊂β，

当m⊂β，又m⊥α，所以α⊥β，

当m//β，则在β内存在l//m，又m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故B正确；

对于C：m⊥β，m⊥α，则可得α//β，又n//β，所以n//α或n⊂α，故C错误；

对于D：m//β，m⊥α，可得α⊥β，又n//β，可得n//α或4.A

【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(1+ax)−x的定义域为R，

因为函数f(x)=ln(1+ax)−x是偶函数，

所以f(−x)=f(x)，所以ln(1+a−x)+x=ln(1+ax)−x，

可得2x=ln(1+ax5.B

【解析】解：由题意，z−=1−2i，则z−−1+3i4i−1=1−2i−1+3i4i−1=i(4i+1)(4i−1)(4i+1)=4−i6.B

【解析】解：集合M={x|sinx=cos2x}，N={x|cosx=sin2x}，

由sinx=cos2x，可得sinx=1−2sin2x，可得2sin2x+sinx−1=0，

解得sinx=12或sinx=−1，

所以M={x|x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ或x=3π2+2kπ,k∈Z}，

由cosx=sin2x，可得cosx=2sinxcosx，解得cosx=0或sinx=12，

所以N={x|x=π67.A

【解析】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，

根据相似比的性质可得：(aa+2r)2 =S′S(aa+r)2=S′S08.B

【解析】解：如图，

连接BC1，D1B1，则N为BC1的中点，

将三棱锥B−B1C1D1沿BC1展开成平面图形如下图，

∴|NN′|即为三角形PMN周长的最小值，

∵正方体ABCD−A1B1C1D19.AD

【解析】解：对于A，设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，

z1+z2=a+c+(b+d)i，z1−=a−bi，z2−=c−di，

故z1+z2−=a+c−(b+d)i=z1−+z2−，故A正确；

对于B，令z1=i，z2=2i，

故z1⋅z2=2i2=−2，

故|z1⋅z210.AD

【解析】解：对于A，由方差的性质可知，数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为32×s2=9s2，故A正确；

对于B，由平均数的性质可知，数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数为3x−−2，

因为x−>0，所以3x−−2的正负无法判断，故B错误；

对于C，因为x1<0，x2，x3，x4，x5>0，

所以x1是这组数据中最小的数，

去掉x1后，数据显然更集中，所以数据x2，x3，x411.BCD

【解析】解：根据题意可得圆锥母线长为62，圆锥的底面半径为12π2π=6，

所以圆锥的高为(62)2−62=6，

对A选项，圆锥的体积为13×π×62×6=72π，故A选项错误；

对B选项，M为AB中点时，设圆锥的底面圆心为O，

易知线段MN在底面的投影为图中的HN，其中H为BO中点，

又易知图1中BN=12π3=4π，

所以上图圆O中∠BON=4π6=2π3，又BO=NO=6，所以HO=3，

由余弦定理可得HN=32+62−2×3×6×(−12)=37，故B选项正确；

对C，D选项，由B选项图中，易知BN=63，又12.200

【解析】解：60n=35+2+3，解得n=200．

故答案为：200．13.5【解析】解：设BD=mBC=(6m,3m)，

则AD=AB+BD=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3m+3)，

由AD⋅BC=0，得AD⋅BC=6(6m+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0，

解得m=−13，所以AD=(1−2,3−1)=(−1,2)，

14.2

【解析】解：设N=max{x,2y,4x2+1y2}，则x≤N，2y≤N，4x2+1y2≤N，

因x>0，y>0，则得2xy(4x2+1y2)≤N3．

又因2xy⋅(4x2+1y2)≥2xy⋅(24x2⋅115.解：(1)因为样本中钢球直径在[100,101)内的个数是20，其频率为0.40，

所以样本容量为n=200.4=50．

(2)样本中这批产品的不合格产品件数为(0.08+0.08)×50=8，

由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为【解析】(1)用频数除以频率即可求解；

(2)首先求出样本中不合格产品的占比，由此乘以该批钢球总数即可得解．

本题考查频率分布直方图的性质与应用，属基础题．16.解：(1)由题意可得z1−+z2=a2−1+(1−a)i，

由于复数z1−+z2是纯虚数，则a2−1=01−a≠0，解得a=−1；

(2)由(1)可得z1=1+3i，z2=−1+5i，则点Z1(1,3)，Z2【解析】(1)根据z1−+z2是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；

(2)17.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，

∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，

∴PA⊥BC，PA⊥CD，

∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．

(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点，

∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，

AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AE=x+z=0n⋅AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,−1)，【解析】(1)推导出AB⊥BC，CD⊥AD，从而BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，进而PA⊥BC，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．

(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面AEF的距离．

本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.解：(1)由sinA=cos(B−C)，可得sin(B+C)=cos(B−C)，

即sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC+sinBsinC，

则(sinB−cosB)(sinC−cosC)=0，

若sinB−cosB=0，则tanB=1，

又B∈(0,π)，所以B=π4；

若sinB−cosB≠0，则cosC=sinC，即tanC=1，

且C∈(0,π)，所以C=π4，

但a=22c，由正弦定理可得sinA=22sinC=2>1，不合题意；

综上所述：B=π4．

(2)因为AD=CD=10，则BD=22c−10，

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=A【解析】(1)根据题意结合三角恒等变换可得(sinB−cosB)(sinC−cosC)=0，进而可得结果；

(2)根据题意利用余弦定理解得c=6519.解：(1)OA⋅AB=|OA||AB|cos(π−∠OAB)=−|AB|cos∠OAB=cosθ−1；

(2)当θ=60°时，OA⋅OB=12

①CA⋅CB=(OA−OC)⋅(OB−OC)=OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+1．

设∠BOC=α，由条件知，α∈[0,2π3]，

∴CA⋅CB=32−cos(π3+α)−cosα=32−12cosα+