辽宁省铁岭市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

辽宁省铁岭市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（请将答案填在括号中，每小题2分，共16分）

1.cos60。的值等于（）

1V2V3V3

A.2B•万C.D.

2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）2（aWO）的图象可能是（）

3.已知两点（xi,yi）,（X2,y2）在函数y=-±的图象上，当xi>X2>0时，

X

下列结论正确的是（）

A.yi>y2>0B.yi<y2<0C.y2>yi>0D.y2<yi<0

4.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5.如图，O0是4ABC的外接圆，©O的半径为3,NA=45。，则弧BC的长是（）

4224

6.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD相

交于点F,DE：EC=2：3,则S^DEF：SMBF等于（）

DE

A.4：25B.4：9C.9：25D.2：3

7.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任

何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复

摸球实验发现，摸到黄球的频率是02,则估计盒子中大约有红球（）

A.16个B.20个C.25个D.30个

8.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE±AC,垂足为点F,连接DF,

分析下列四个结论：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；（4）tanZCAD=-../2；

正确的是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题

9.如图，六边形ABCDEF为。。的内接正六边形，若。。的半径为2«,则阴影

部分的面积为.

10.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两

块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2,两块绿地之间及周边有宽度相等

的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？

11.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为a,且tana=0.7,向前行进3

米到达B处，从B处看D的仰角为45。(图中各点均在同一平面内，A、B、C三

点在同一条直线上，CD±AC),则建筑物CD的高度为米.

12.2路公交车每隔5分钟发一班车.小莹来到2路公交站牌，候车时间不少于

2分钟的概率为.

22

13.关于x的一元二次方程x+bx+c=O的两个根为XI=1,X2=2,那么抛物线y=x+bx+c

的顶点坐标为.

14.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为

25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件,

当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大.

15.如图，已知△ABC中，AB=5,AC=3,点D在边AB上，且NACD=NB,则线

段AD的长为.

16.如图，分别过反比例函数尸及图象上的点Pi(1,yi),P2(2,丫2),…，

X

Pn(n,Pn)....作X轴的垂线，垂足分别为Al,A2,An…，连接AR,A2P3,

An」Pn，…，再以AR,A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，

A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3,依此类推，则点Bn的纵坐标

是.(结果用含n代数式表示)

三、解答题已知a是锐角，且cos(a-15°)=空，计算-6cosa+(3-n)°

-tana-(，)一】的值.

18.(8分)如图，^ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(-1,5),

B(-4,1),C(-1,1)将^ABC绕点A逆时针旋转90。，得到△ABC点B,

C的对应点分别为点B\U,

(1)画出△AB'C'；

(2)写出点B，，C的坐标；

(3)求出在aABC旋转的过程中，点C经过的路径长.

19.（8分）为了培养学生的阅读习惯，某校开展了"读好书，助成长”系列活动,

并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并

将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，

回答下列问题：

（1）本次调查共抽查了名学生，两幅统计图中的m=,n=.

（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读"A”类图书的学生约有多少

人？

（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选

送2人参赛，求选送的两名参赛同学为［男工女的概率是多少？

调查问卷

你最喜欢阅读的图

书类型是（）

A文学名著

B名人传记

Cf将技术

D其他

（注：每人加一项）

四、解答题

20.（8分）如图，已知一次函数y=^x-3与反比例函数y=k的图象相交于点A

（4,n）,与x轴相交于点B.

（1）填空：n的值为,k的值为；

（2）以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点

D的坐标；

（3）观察反比例函数y=k的图象，当y》-2时，请直接写出自变量x的取值范

X

围.

21.（8分）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，

某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30。方向，海监船以20海里/时的速度

继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75。方向，求此时海监船与黄

岩岛P的距离BP的长.（参考数据：亚心1.414,结果精确到0.1）

北

22.（8分）如图，^ABC中，AB=AC,以边AB为直径作。0,交BC于点D,

过D作DELAC于点E.

（1）求证：DE为。0的切线；

（2）若AB=13,sinB="，求CE的长.

A

五、代数几何综合题（12分）

23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+«与x轴交于A（-

3,0）,B（1,0）两点.与y轴交于点C,点D与点C关于抛物线的对称轴对

称.

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；

（2）如图1,点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A玲B匀速运动，

到达点B时停止运动.以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在

运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t

秒，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2,连接AC,在第二象限内存在点M,使得以M、0、A为顶点的三

角形与△AOC相似.请直接写出所有符合条件的点M坐标.

辽宁省铁岭市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（请将答案填在括号中，每小题2分，共16分）

1.cos60。的值等于（）

A.—B.返C.返D.返

2223

【考点】T5：特殊角的三角函数值.

【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可.

【解答】解：360。=2.

故选：A.

【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键.

2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）2（aWO）的图象可能是（）

【考点】H2：二次函数的图象.

【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（aWO）的顶点坐标为（h,0）,它的顶点

坐标在x轴上，即可解答.

【解答】解：二次函数y=a(x-h)2(aWO)的顶点坐标为(h,0),它的顶点

坐标在x轴上，

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标.

3.已知两点(xi，yi),(X2，y2)在函数y=-$的图象上，当xi>X2>0时，

X

下列结论正确的是()

A.yi>y2>0B.yi〈y2VoC.y2>yi>0D.y2<yi<0

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据X1>X2

>0,判断出两点所在的象限，根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论.

【解答】解：•.•反比例函数y=-$中,k=-5<0,

X

...此函数图象的两个分支在二、四象限，

Vxi>x2>0,

•••两点都在第四象限，

•••在第四象限内y的值随x的增大而增大，

•*-y2<yi<0.

故选D.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数

图象所在的象限及两点所在的象限是解答此题的关键.

4.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【考点】AA：根的判别式.

【分析】先计算判别式得到△=(-2)2-4X(-1)=8>0,然后根据判别式的

意义判断方程根的情况.

【解答】解：根据题意4=(-2)2-4X(-1)=8>0,

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=O(aWO)的根的判别式442-4ac：

当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当

△<0,方程没有实数根.

5.如图，O0是4ABC的外接圆，©O的半径为3,NA=45。，则弧BC的长是()

A

【考点】MA：三角形的外接圆与外心；MN：弧长的计算.

【分析】连接OB、OC,根据圆周角定理求出NBOC,利用弧长公式计算即可.

【解答】解：连接OB、OC,

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=90°,

.•.弧BC的长是=吗手工!兀，

【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、

弧长公式是解题的关键.

6.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD相

交于点F,DE：EC=2：3,则SADEF：SMBF等于()

DE

A.4：25B.4：9C.9：25D.2：3

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质.

【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形

的面积比等于相似比的平方就可得到答案

【解答】解：如图，•••四边形ABCD是平行四边形，

，DC〃AB,CD=AB.

.,.△DFE^ABFA,

.SADEF_DE、2

,,云T1而），

VDE：EC=2：3,

ADE：DC=DE：AB=2：5,

•'•SADEF：SAABF=4：25

故选：A.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似

三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

7.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任

何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复

摸球实验发现，摸到黄球的频率是02,则估计盒子中大约有红球（）

A.16个B.20个C.25个D.30个

【考点】X8：利用频率估计概率.

【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且

摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计

概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【解答】解：设红球有x个，根据题意得，

4：(4+x)=1：5,

解得x=16.

故选A.

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键.

8.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE±AC,垂足为点F,连接DF,

分析下列四个结论：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tanNCAD=y；

正确的是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形.

【分析】①正确.只要证明NEAC=NACB,NABC=NAFE=90°即可；

②正确.由AD〃BC,推出△AEFs^CBF,推出罂=粤，由AE=[AD=[BC,推出

BCCF22

黑=4，即CF=2AF；

CrZ

③正确.只要证明DM垂直平分CF,即可证明；

④错误.设AE=a,AB=b,则AD=2a,由△BAEADC,有上=孕，即b=J^a,

ab

可得tanZCAD=—=—=^.

AD2a2

【解答】解：如图，过D作DM〃BE交AC于N,

•••四边形ABCD是矩形，

.,.AD/7BC,ZABC=90",AD=BC,

,.•BELAC于点F,

I.NEAC=NACB,NABC=/AFE=90°,

/.△AEF^ACAB,故①正确；

：AD〃BC,

.,.△AEF^ACBF,

•AE=AF

•前一m’

ZAE=—AD=—BC,

22

.AF_1

•丽

\CF=2AF,故②正确；

；DE〃BM,BE〃DM,

四边形BMDE是平行四边形,

*.BM=DE=—BC,

2

,.BM=CM,

,.CN=NF,

；BE，AC于点F,DM//BE,

\DN±CF,

•.DM垂直平分CF,

..DF=DC,故③正确;

设AE=a,AB=b,则AD=2a,

由△BAEADC,有尘=区，即b=J^a,

ab

.•.tanNCAD朵故④错误;

AD2a2

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计

算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关

键.解题时注意：相似三角形的对应边成比例.

二、填空题

9.如图，六边形ABCDEF为。。的内接正六边形，若。。的半径为2«,则阴影

【考点】M0：扇形面积的计算；MM：正多边形和圆.

【分析】此题是考查圆与正多边形结合的基本运算，空白正六边形为六个边长为

2T的正三角形，利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边

形的面积，阴影面积=（圆的面积-正六边形的面积）xl.

6

【解答】解：•••圆的半径为2遂，

...面积为12n,

.••空白正六边形为六个边长为2近的正三角形，

・•.每个三角形面积为，X2«X2V3Xsin6O0=3V3-

.,.正六边形面积为18«,

・•.阴影面积为（12n-1873）X1=2n-373-

0

故答案为：2TT-3«.

【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面

积-正六边形的面积）><4■是解答此题的关键.

0

10.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两

块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2,两块绿地之间及周边有宽度相等

的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？

30I

24

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【分析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30-3x）m,

宽为（24-2x）m,根据矩形绿地的面积为480m2,即可列出关于x的一元二次

方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出x=20不符合题意，此题得解.

【解答】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30-3x）

m,宽为（24-2x）m,

由已知得：（30-3x）・（24-2x）=480,

整理得：x2-22x+40=0,

解得：Xi=2,X2=20,

当x=20时，30-3x=-30,24-2x=-16,

不符合题意,

答：人行通道的宽度为2米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次

方程是解题的关键.

11.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为a,且tana=0.7,向前行进3

米到达B处，从B处看D的仰角为45。（图中各点均在同一平面内，A、B、C三

点在同一条直线上，CD±AC）,则建筑物CD的高度为7米.

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】根据NDBC=45。，得到BC=CD,根据tana=0.7和正切的概念列出算式,

解出算式得到答案.

【解答】解：：NDBC=45。,

，BC=CD,

+_CD_7

-AC-TO）

解得CD=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的

关键，注意仰角和俯角的概念.

12.2路公交车每隔5分钟发一班车.小莹来到2路公交站牌，候车时间不少于

2分钟的概率为4.

一5一

【考点】X4：概率公式.

【分析】由2路公交车每隔5分钟发一班车，直接利用概率公式求解即可求得候

车时间不少于2分钟的概率.

【解答】解：路公交车每隔5分钟发一班车，

.•.小莹来到2路公交站牌，候车时间不少于2分钟的概率为：4，

故答案为：4，

【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

22

13.关于x的一元二次方程x+bx+c=O的两个根为xi=l,x2=2,那么抛物线y=x+bx+c

的顶点坐标为（擀,~%.

【考点】H3：二次函数的性质；AB：根与系数的关系.

【分析】首先根据一元二次方程x2+bx+c=O的两个根为xi=l,X2=2,求出b和c

的值，然后抛物线解析式进行配方，得到顶点坐标式，即可求出顶点坐标.

【解答】解：..,一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为X1=1,X2=2,

.*.1+2=-b,lX2=c,

b=-3,c=2,

・•.抛物线解析式为y=x2-3x+2,

，抛物线y=x2-3x+2的顶点坐标为(g,-3),

24

故答案为(|,1).

【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及根与系数的关系的知识，解答本题

的关键是求出b和c的值，此题难度不大.

14.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为

25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件,

当每件的定价为22元时,该服装店平均每天的销售利润最大.

【考点】HE：二次函数的应用.

【分析】根据“禾1润=(售价-成本)X销售量”列出每天的销售利润y(元)与销

售单价x(元)之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用

二次函数图象的性质进行解答.

【解答】解：设定价为x元，

根据题意得：y=(x-15)[8+2(25-x)]

=-2x2+88x-870

y=-2x2+88x-870,

=-2(x-22)2+98

Va=-2<0,

・••抛物线开口向下，

当x=22时,y最大值=98.

故答案为：22.

【点评】此题题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实

际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质.

15.如图，已知^ABC中，AB=5,AC=3,点D在边AB上，且NACD=NB,则线

段AD的长为—.

5一

A

B

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】由已知先证△ABCs^ACD,再根据相似三角形的性质，相似三角形的

对应边成比例，即可求出AD的值.

【解答】解：•；NA=NA,

NACD=NB,

.,.△ABC^AACD,

.AB_AC

••—,

ACAD

VAB=5,AC=3,

.A=A

，AD理.

5

故答案为1

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质.识别两三角形相似，除了要掌握定

义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据

图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值.

16.如图，分别过反比例函数1■图象上的点Pi(1,yi),P2(2,y2),...»

X

Pn(n,Pn).…作X轴的垂线，垂足分别为A],A2,…，An...,连接AR，A2P3,

An-lPn,再以AR,AF2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2,以A2P2,

A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3,依此类推，则点Bn的纵坐标是

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G2：反比例函数的图象；L5：

平行四边形的性质.

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点Pi、P2的纵坐标，由平行

四边形对边平行且相等的性质求得点Bi的纵坐标是y2+yi,B2的纵坐标是y3+y2>

B3的纵坐标是丫4+丫3,据此可以推知点瓦的纵坐标是：

【解答】解：：点Pi(1,yi),P2(2,丫2)在反比例函数1的图象上，

x

.。3

••yi=3,y2=y；

•**PiAi=yi=3；

又•••四边形A1P1B1P2,是平行四边形，

.,.PIAI=BIP2=3,P1A1Z/B1P2,

点Bi的纵坐标是：y2+yi=-^-+3,即点Bi的纵坐标是?；

同理求得，点B2的纵坐标是：丫3+丫2=1+"|"=趣；

点Bs的纵坐标是：丫4+丫3=^+1=］；

44

点Bn的纵坐标是：y+l+yn=+—=X；

nn+1nn(n+lj

故答案是：

n(.n+lj

【点评】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比

例函数的图象.解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得

点Bn的纵坐标yn+l+yn.

三、解答题(2015•鞍山)已知a是锐角，且cos(a-15。)=零，计算/西-6cosa+

(3-TI)0-tana-(-^)一】的值.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数累；6F：负整数指数募；T5：特殊角的三

角函数值.

【分析】利用特殊角的三角函数值，求得a,进一步按照运算顺序，化简二次根

式，计算0指数募，负整数指数易，特殊角的三角函数值，最后合并即可.

【解答】解：Vcos(a-15°)吗,

：.a-15°=30°,

Z.a=45°,

则7T§-6cosa+(3-n)0-tana-(=)-1

=372-3V2+1-1-2

=-2.

【点评】此题考查实数的运算，特殊角的三角函数，掌握运算顺序与计算方法是

解决问题的关键.

18.如图，^ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-

4,1),C(-1,1)将aABC绕点A逆时针旋转90。，得到△ABC,点B,C的

对应点分别为点C,

(1)画出△AB'C'；

(2)写出点B\U的坐标；

(3)求出在AABC旋转的过程中，点C经过的路径长.

【考点】R8：作图-旋转变换；MN：弧长的计算.

【分析】(1)在平面直角坐标系中画出AABC,然后根据网格结构找出点B、C

的对应点夕，U的位置，然后顺次连接即可；

(2)根据图形即可得出点A的坐标；

(3)利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B，所经

过的路程.

【解答】解：(1)△ABC如图所不；

（2）点口的坐标为（3,2）,点U的坐标为（3,5）；

（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长,

VAC=4,

n兀r=90°兀・4

•••弧长为:二2兀，

180°180°

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确

找出对应点位置作出图形是解题的关键.

19.为了培养学生的阅读习惯，某校开展了"读好书，助成长”系列活动，并准备

购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查

数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下

列问题：

（1）本次调查共抽查了120名学生,两幅统计图中的01=48,n=15.

（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读"A”类图书的学生约有多少

人？

（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选

送2人参赛，求选送的两名参赛同学为［男工女的概率是多少？

调查问卷

你最喜欢阅读的图

书类型是（）

A文学名著

B名人传记

C科学技术

D其他

（注：每人R选一项：

【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：

条形统计图.

【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去A,C,D

类的人数，即可求出m的值，用C类的人数除以总人数，即可得出n的值；

（2）用该校喜欢阅读"A”类图书的学生人数=学校总人数XA类的百分比求解即

可；

（3）列出图形，即可得出答案.

【解答】解：（1）这次调查的学生人数为42・35%=120（人），

m=120-42-18-12=48,

184-120=15%；所以n=15

故答案为：120,48,15.

（2）该校喜欢阅读"A"类图书的学生人数为：960X35%=336（人），

（3）抽出的所有情况如图：

八/八

男1男2男1女里2女

两名参赛同学为1男1女的概率为：

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不

同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每

个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

四、解答题

2。.如图‘已知一次函数3与反比例函数的图象相交于点A（%n）,

与X轴相交于点B.

（1）填空：n的值为3,k的值为12；

（2）以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点

D的坐标；

（3）观察反比例函数y=k的图象，当y2-2时，请直接写出自变量x的取值范

X

【考点】GB：反比例函数综合题.

【分析】（1）把点人（4,n）代入一次函数y=^|x-3,得到n的值为3；再把点

A（4,3）代入反比例函数丫=工，得到k的值为12；

X

（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2,0）,过点A作AE，x

轴，垂足为E,过点D作DF±x轴，垂足为F,根据勾股定理得到AB=J正，根

据AAS可得△ABEZ4DCF,根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐

标；

（3）根据反比例函数的性质即可得到当yN-2时，自变量x的取值范围.

【解答】解：（1）把点人（4,n）代入一次函数y[x-3,可得得乂4-3=3；

把点A（4,3）代入反比例函数丫=上，可得3=",

x4

解得k=12.

⑵,一次函数y=^|x-3与x轴相交于点B,

x-3=0,

2

解得x=2,

・•.点B的坐标为（2,0）,

如图，过点A作AE，x轴，垂足为E,

过点D作DF，x轴，垂足为F,

VA(4,3),B(2,0),

.•.OE=4,AE=3,OB=2,

.\BE=OE-OB=4-2=2,

在RtAABE中，

AB=VAE2+BE2=V32+22=V13>

：四边形ABCD是菱形，

.,.AB=CD=BC=V13>AB〃CD,

/.ZABE=ZDCF,

,.，AE，x轴，DF，x轴，

AZAEB=ZDFC=90°,

在aABE与ADCF中，

'/ABB:NDFC

-NABE=NDCF,

AB=CD

.,.△ABE^ADCF(ASA),

，CF=BE=2,DF=AE=3,

AOF=OB+BC+CF=2+V13+2=4+V13)

•••点D的坐标为(4+任，3).

(3)当y=-2时，-2=芋，解得x=-6.

故当yN-2时，自变量x的取值范围是xW-6或x>0.

故答案为：3,12.

【点评】本题考查了反比例函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形

的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，综合

性较强，有一定的难度.

21.如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻

航行到A处，测得该岛在北偏东30。方向，海监船以20海里/时的速度继续航行,

2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75。方向，求此时海监船与黄岩岛P的距

离BP的长.（参考数据：加〜1.414,结果精确到0.1）

【考点】TB：解直角三角形的应用-方向角问题.

【分析】过B作BDLAP于D,由已知条件得:AB=20X2=40,ZP=75°-30°=45°,

在RtAABD中求出BD=《AB=20,在RtABDP中求出PB即可.

【解答】解：过B作BDLAP于D,

由已知条件得：AB=20X2=40,ZP=75°-30°=45°,

在Rt^ABD中，VAB=40,NA=30,

/.BD=—AB=20,

2

在Rt^BDP中，VZP=45",

APB=A/2BD=20V2^28.3（海里）.

答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里.

北

A

-------->东

”（黄岩岛）

B</

A

【点评】此题主要考查了方向角问题的应用，根据已知得出4PDB为等腰直角三

角形是解题关键.

22.如图，^ABC中，AB=AC,以边AB为直径作。0,交BC于点D,过D作DE

LAC于点E.

(1)求证：DE为。0的切线；

(2)若AB=13,sinB=",求CE的长.

A

【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形.

【分析】(1)连接0D,AD,欲证DE是。。的切线，只需证明DEL0D即可；

(2)根据已知条件求得AD、BD'DC,利用△ABDs^DCE对应边成比例求出CE

的即可.

【解答】(1)证明：连接0D与AD,

VAB是。。的直径，

AZADB=90°,

即ADXBC,

VAB=AC,

.*.BD=DC且NB=NC,

即D为BC的中点，

为AB的中点，

.,.0D//AC,

VDEXAC,

/.DEX0D,

ADE为。0的切线.

(2)解：VAB=13,sinB=¥，

•微噜即AD%

•••BD=VAB2-AD2=7132-122=5»

/.DC=5,

在^ABD和ADCE中，NB=NC,ZCED=ZABD=90",

.'.△ABD^ADCE,

•DC=CE

.\CE=BD，DC=—.

AB13

【点评】本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，解答本题的

关键在于如何利用三角形相似求出CE的值.

五、代数几何综合题（12分）

23.（12分）（2015•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+«与

x轴交于A（-3,0）,B（1,0）两点.与y轴交于点C,点D与点C关于抛物

线的对称轴对称.

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；

（2）如图1,点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A玲B匀速运动，

到达点B时停止运动.以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在

运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t

秒，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2,连接AC,在第二象限内存在点M,使得以M、0、A为顶点的三

角形与△AOC相似.请直接写出所有符合条件的点M坐标.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)直接代入求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即

可；

(2)由特殊角的三角函数值得出NDAP=60。，则点Q一直在直线AD上运动，分

别探讨当点P在线段A0上；点Q在AD的延长线上，点P在线段0B上以及点

Q在AD的延长线上，点P在线段0B上时的重叠面积，利用三角形的面积计算

公式求得答案即可；

(3)由于0C=正，0A=3,OA±OC,则4OAC是含30。的直角三角形，分两种情

况探讨：当△AMO以NAM