工程数学全套整本书电子教案教学教程

实用工程数学

实用工程数学(主编盛光进)电子教案

高等教育出版社行列式与矩阵1线性方程组2

概率论3集合与关系5数理统计4

数理逻辑6

实用工程数学高等教育出版社图论7行列式的定义1.1行列式的计算1.2

矩阵的概念及运算1.3矩阵的初等变换1.5

目录第一章行列式与矩阵逆矩阵1.4

应用与实践1.6

高等教育出版社1.1

行列式的定义

一、二阶、三阶行列式二元一次线性方程组用加减消元法求解可得方程组的解为了研究方程组的一般解法和便于记忆解的表达式，我们引入行列式的定义。1.1

行列式的定义

【定义1】用记号表示数值，称为二阶行列式，即其中数称为行列式的元素．横排称为行，竖排称为列．如图：【例1】计算．

【解】．1.1

行列式的定义

若记则方程组的解为：1.1

行列式的定义

称为三阶行列式.即【定义2】用记号表示数值

三阶行列式的值等于实线连接的元素乘积之和减去虚线连接的元素乘积之和．

【思考】图中，实线之间有什么关系？虚线之间的关系又如何？1.1

行列式的定义

【例2】计算三阶行列式.

【解】

【解】

【例3】计算三阶行列

式

.1.1

行列式的定义二、阶行列式【定义3】由个数组成的算式称为阶行列式.它表示数值

阶行列式是由个元素以行列组成，它表示项的代数和，其中正负项各一半，每一项都是取不同行不同列的个元素的乘积.其中元素所在的对角线称为行列式的主对角线．当时，规定．1.1

行列式的定义

主对角线以下的元素全为零的行列式称为上三角形行列式；主对角线以上的元素全为零的行列式称为下三角形行列式；据阶行列式的定义计算，可得上、下三角形行列式的值都等于其主对角线上元素的乘积．

例如，1.2

行列式的计算

【定义1】

将行列式的行变为相应的列后得到新的行列式，称为行列式的转置行列式，记为

，即

若，则

。一、行列式的性质

1.2

行列式的计算

性质2

交换行列式的两行，行列式的值变号．

推论若行列式中有两行的对应元素相同，则此行列式等于零．

性质1

行列式与它的转置行列式的值相等，即

。

性质3

行列式的某一行的公因子可以提到行列式记号的外面，即

推论

如果行列式中某一行的所有元素都是零，则此行列式等于零．

1.2

行列式的计算

性质4

如果行列式中有两行的元素对应成比例，则此行列式等于零．

性质5

若行列式的某一行的所有元素都是两元素之和，则此行列式等于两个行列式的和．即性质6将行列式的某一行（列）所有元素都乘以数加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变．即1.2

行列式的计算在行列式的计算中，符号的意义：

（1）记号“”表示第行乘以；（2）记号“”表示第行与第行互换；（3）记号“”表示第行乘以数加到第行上．约定，用圆内的数字表示行的位置，写在等号上面表示行变换，写在等号下面表示列变换.

1.2

行列式的计算

【例1】

计算行列式

。

【解】

1.2

行列式的计算二、行列式的计算●按行展开法所在的第行与第列划去后，余下的元素按原来顺序构成的

阶行列式，称为元素的余子式，记作.记

称为元素的代数余子式.【定义2】在阶行列式中，把元素阶行列式可以表示为1.2

行列式的计算

【例2】

计算行列式.．【解】行列式按第一行展开，得1.2

行列式的计算

【定理1】

行列式的值等于行列式的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即或

这个定理叫做行列式按行（列）展开法则．

【解】

因为第四行中有三个零元素，可按第四行展开，得【例3】

计算行列式

.

【注意】在行列式的计算过程中，选择零元素多的行（或列）展开可大大简化行列式的计算.●三角形化法

计算行列式时，利用行列式的性质，把行列式逐步化为上三角形行列式，再据结论“三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积”求得结果．这种计算方法称为三角形化法．1.2

行列式的计算【例4

】

计算【解.】1.2

行列式的计算

【例5】计算行列式

.【解】1.2

行列式的计算三、克莱姆法则【定义3】含有个未知数的线性方程组称为元线性方程组.当其右端的常数项不全为零时，方程组（1）称为非齐次线性方程组．当全为零时，方程组（1）称为齐次线性方程组，即1.2

行列式的计算线性方程组（1）的系数构成的阶行列式称为该方程组的系数行列式.

【定理2】（克莱姆法则）若线性方程组（1）的系数行列式，则线性方程组（1）有唯一解，其解为其中是把中第列元素对应地换成常数项，而其余各列保持不变所得到的行列式．1.2

行列式的计算

【例6】解线性方程组

【解】

因为方程组的系数行列式所以方程组有唯一解．又因为故所求方程组的解为1.2

行列式的计算

【例7】

解方程组

【解】

因为方程组的系数行列式所以方程组有唯一解．又因为1.2

行列式的计算所以方程组的解为1.2

行列式的计算对于齐次线性方程组（2），一定是它的解，这个全部由零组成的解称为零解；如果一组不全为零的数是方程组（2）的解，则这个解称为非零解．【定理3】如果齐次线性方程组（2）的系数行式，则齐次线性方程组（2）只有零解．换句话说，如果齐次线性方程组（2）有非零解，则它的系数行列式必为零．1.2

行列式的计算【解】因为方程组的系数行列式

【例8】问为何值时，齐次线性方程

有非零解？由定理３知，当齐次线性方程组有非零解时，，即

或．因此所求的值为1或2．1.3

矩阵的概念及运算

【引例1】某航空公司在四个城市之间开辟了若干航线．图表示了四个城市间的航班图．若从到有航班，则用带箭头的线连接与,并且箭头方向指向.若从Ａ到Ｂ有航班，则用1表示，否则用0表示．于是得到一个矩形数表：这个矩形数表非常清楚的反映了四个城市间的航班往来情况.1.3

矩阵的概念及运算一、矩阵的概念称为行列矩阵，简称矩阵．记为或。通常矩阵用黑体大写字母来表示．【定义1】由个数排成的行列的矩形数表

矩阵中的个数称为的元素，而称为矩阵的第行第列元素．1.3

矩阵的概念及运算

几种特殊矩阵：

（1）零矩阵

所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记为

或。（2）行矩阵、列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵．只有一列的矩阵称为列矩阵．

（a）主对角线以下（或上）的元素全为零的方阵称为上（或下）三角形矩阵.

（b）主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵．

（c）主对角线上的元素都是常数1的对角矩阵，称为单位矩阵.（3）阶方阵矩阵称为阶方阵，可记为．1.3

矩阵的概念及运算

【定义2】

如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们为同型矩阵．如果矩阵为同型矩阵，且对应元素均相等，即有且则称矩阵与矩阵相等，记作。例如，若,则有1.3

矩阵的概念及运算二、矩阵的线性运算【引例2】有甲、乙两个股民购买三支相同的股票．2007年第一、二季度的盈利（单位：万元）分别由矩阵和矩阵给定：问上半年甲、乙股民的三支股票各获利多少万元？这个获利应该是将矩阵和矩阵中对应的元素相加得到的矩阵，即1.3

矩阵的概念及运算【定义3】设矩阵，则称矩阵为矩阵与的和矩阵，记为，即

【思考】两个矩阵满足什么条件才能相加？若每吨货物的运费为2.4元/公里，那么甲、乙两地到三个销地之间每吨货物的运费为【引例3】现将甲、乙两地的产品运销到三个不同的地区.已知甲、乙两地到三个销地的距离为1.3

矩阵的概念及运算【定义4】设矩阵，用数乘以矩阵的所有元素得到的矩阵，称为的数乘矩阵，记作，即．当时，称为矩阵的负矩阵，记作．显然有．且有.

矩阵的加法和数乘两种运算统称为矩阵的线性运算。矩阵的线性运算满足以下运算规律:这里都是同型矩阵,是常数。1.3

矩阵的概念及运算【例1】

设

, ,试求【解】

根据定义可得1.3

矩阵的概念及运算三、矩阵的乘法运算

【引例4】设学生数学成绩的评定为：平时成绩占40%，期末考试成绩占60%．甲、乙、丙三位同学的成绩可用矩阵表示，记

则三位同学的数学成绩为甲：；乙：；丙：这三数可表示为【思考】矩阵的元素是怎样得来的？1.3

矩阵的概念及运算【定义5】

设矩阵则称矩阵为矩阵与矩阵的乘积矩阵，记为，即其中元素的计算规则为1.3

矩阵的概念及运算

【思考】两个矩阵满足什么条件才能进行乘法运算？

【注意】(1)只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能进行乘法运算；(2)乘积矩阵的行数等于矩阵的行数，列数等于矩阵的列数；

(3)矩阵的元素等于矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和.矩阵的乘法满足下列运算规律（1）结合律；（2）分配律；；（3）数乘结合律(是常数)．1.3

矩阵的概念及运算

【例2】设某厂生产甲、乙、丙3种产品，其中第一季度和第二季度的产量用矩阵表示，其单位成本和销售单价用矩阵表示，且求两个季度的成本总额和销售总额．

【解】

根据矩阵的乘法运算，得即第一季度的成本总额和销售总额分别为31,72；第二季度的成本总额和销售总额分别为43,101．1.3

矩阵的概念及运算【例3】

设

,求【解】【例4】

设

，求【解】无意义．1.3

矩阵的概念及运算四、矩阵的转置与方阵的行列式

【定义6】把矩阵的行换成相应的列得到的新矩阵，称为的转置矩阵，记作．即若，则.

【思考】若A是矩阵，则就是几行几例矩阵？矩阵的转置满足以下运算规律：1.3

矩阵的概念及运算【定义7】设为阶方阵，如果，即，则称为对称矩阵．

如果，则称为反对称矩阵．例如，对称矩阵反对称矩阵1.3

矩阵的概念及运算【定义8】由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或.【注意】方阵与行列式是两个不同的概念，阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而阶行列式是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值．方阵的行列式满足以下运算规律:其中为阶方阵，为常数。1.3

矩阵的概念及运算

【例5】设

,,求

【解】

据方阵的行列式的定义，经计算可得：【思考】对于阶矩阵A、B，下列等式是否成立？1.4逆矩阵一、逆矩阵的概念【定义1】对于阶方阵，如果存在阶方阵，使得则称矩阵可逆，并称矩阵为的逆矩阵（简称逆阵），记作，即．若是的逆阵，则也是的逆阵，即与互为逆矩阵．如果矩阵是可逆的，则的逆矩阵是唯一的．

这是因为：设、都是的逆矩阵，则有1.4逆矩阵二、逆矩阵的性质

性质1若可逆，则也可逆，且

性质2若可逆，则也可逆，且

性质3若可逆，,则也可逆，且性质4若阶矩阵与均可逆，则也可逆，且1.4逆矩阵三、逆矩阵的求法

●定义法求一个可逆矩阵的逆矩阵可以直接利用定义来求．矩阵，何时可逆？若可逆时，如何求？【定理1】阶矩阵可逆的充分必要条件是其行列式1.4逆矩阵

【例1】

设

，求。设，则由矩阵相等的概念有所以，．【解】因为，所以可逆．1.4逆矩阵●

公式法

【定义2】设阶方阵由行列式中元素的代数余子式按转置方式排成的

阶方阵，称为的伴随矩阵，记作【定理2】阶可逆矩阵的逆矩阵可表示为其中是的伴随矩阵．1.4逆矩阵类似可得所以，【例2】设，问是否可逆？若可逆，求.【解】因为，所以可逆．经计算可得，，．1.4逆矩阵四、矩阵方程的逆阵解法线性方程组可化为方程矩阵方程的解的形式为【思考】矩阵方程的解矩阵可以表示成怎样的形式？ 1.4逆矩阵【解】记，则题设方程可改写为它的解为于是矩阵方程的解为【例3

】

求解矩阵方程

.可求得的逆矩阵为1.5

矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换

【定义1】

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）互换变换：交换矩阵中任意两行的位置

（交换两行，记作）；（2）倍乘变换：用非零数乘以矩阵的某一行的所有元素

（第行乘数，记作）；（3）倍加变换：将矩阵的某一行所有元素的倍加到另一行的对应元素上（第行乘数加到第行，记为）

把定义中的“行”换成“列”，称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换．1.5

矩阵的初等变换

【定义2】若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B（记作A→B），则称矩阵A与B等价，记为A～B．

【定义3】满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵：（1）矩阵的零行（若存在的话）在矩阵最下方，（2）各个非零行的首非零元素的列标随着行标的增大而严格增大．

【定义4】满足以下条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵：（1）各非零行的首非零元都是1，（2）所有非零行的第一个非零元所在列的其余元素都是零．1.5

矩阵的初等变换

【实训】下列矩阵，哪个是非阶梯形矩阵，阶梯形矩阵，简化阶梯形矩阵？

【定理1】任意一个矩阵经过有限次的初等行变换必可化为阶梯形矩阵，且进一步可化为简化阶梯形矩阵．1.5

矩阵的初等变换【解】【例1】将矩阵化为简化阶梯矩阵．1.5

矩阵的初等变换二、矩阵的秩可以证明，初等变换不改变矩阵的秩．因此，可以通过进行初等行变换的方法求矩阵的秩．

【定义5】经过有限次的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，该阶梯形矩阵中非零行的行数称为矩阵的秩，记为秩．【定义6】对于阶方阵，如果，则称为满秩矩阵．1.5

矩阵的初等变换三、用初等变换求逆矩阵用初等行变换求逆矩阵的步骤：1.构造矩阵.2.对矩阵进行初等行变换，当它的左半部分矩阵

化成单位矩阵时，右半部分的单位矩阵就化成了，即若经过若干次初等变换后，发现在左边的方阵中有一行元素全为零，则意味着A不可逆，即不存在．1.5

矩阵的初等变换

【例2】

用初等行变换的方法判断下列方阵是否可逆？若可逆，求其逆矩阵:【解】所以的逆矩阵为1.5

矩阵的初等变换至此，左边的矩阵中最后一行元素全部为零，所以不可逆，即不存在．【思考】矩阵A、B的秩和分别是多少？1.6

应用与实践一、矩阵密码运行模型【案例1】矩阵密码法式信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法．先在26个英文字母与数字间建立起一一对应．例如可以是

AB

…YZ

12…2526若要发出信息“SENDMONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母.但这种编码很容易被别人破译.利用矩阵乘法来对“明文”（SENDMONEY

）进行加密，让其变成“密文”后再行传送。1.6

应用与实践如果一个矩阵的元素均为整数，而且其行列式，则利用这样的矩阵来对明文加密，使加密之后的密文很难破译.如选取（的元素均为整数）明文“SENDMONEY

”对应的9个数值按3列被排成以下的矩阵矩阵的乘积对应着将发出去的密文编码:

43，105，81，45，118，77，49，128，93．1.6

应用与实践合法用户用去左乘上述矩阵即可解密得到明文.综上可知，为了使合法用户收到矩阵，首先只需对单位矩阵进行几次第三类初等行变换（只用某行的整数倍加到另一行），从而得到“密钥”矩阵．然后计算出并发出矩阵．最后是合法用户收到矩阵后，只需用左乘，就得到了矩阵，从而知道所发的内容．这就是矩阵密码运行模型．要发B,先发AB,收后计算,得B.1.6

应用与实践二、齐王赛马策略模型

【案例2】

．我国古代“齐王赛马”的故事，就是一个对策问题，故事是说战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次，每次比赛的败者付给胜者一千金．已知在同一等级的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马．

齐王和田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列6种策略（方案）之一：

（上、中、下）（中、上、下）

（下、中、上）

（上、下、中）

（中、下、上）

（下、上、中）．

若将这6种策略依次从1到6编号，齐王赢一千金用1表示，则经计算可写出齐王赛马策略模型（即齐王的收益矩阵）：1.6

应用与实践齐王的收益矩阵例如，这里的，意即齐王采用策略3，即以下、中、上顺序出马，而田忌采用策略2，即以中、上、下顺序出马，则比赛结束时齐王的净赢得数为-1000金．

【思考】在齐王与田忌的36种对阵的情况中，田忌有几种情况可以取胜？线性方程组的消元法2.1线性方程组解的情况判定2.2

应用与实践2.3

目录第二章线性方程组

2.1

线性方程组的消元法

一、线性方程组的有关概念则分别称为线性方程组的系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵．设含有个未知数个方程的线性方程组为：

2.1

线性方程组的消元法线性方程组（1）的矩阵方程：线性方程组的增广矩阵：例如，线性方程组的系数矩阵为，未知量矩阵为，常数矩阵为，增广矩阵为．方程组的矩阵形式为.2.1

线性方程组的消元法非齐次线性方程组：

其中不全为零.（2）（1）齐次线性方程组：1.1

行列式的定义二、线性方程组的消元法【引例1】用消元法解下列方程组【解】

第二个方程减去第一个方程的2倍，得上式第二个方程两边同时乘以，得上式第一个方程减去第二个方程，得上述求解过程可用对增广矩阵进行初等行变换替代：1.1

行列式的定义

引例1的求解过程可用对增广矩阵进行初等行变换替代：由最后一个行简化阶梯形矩阵，可得对应的方程组：即得方程组的解这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法叫高斯消元法．2.1

线性方程组的消元法三种同解变换：

（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零常数乘以某一个方程；（3）将一个方程的倍加到另一个方程．

高斯消元法步骤：先对增广矩阵进行初等行变换，使其化为行简化阶梯形矩阵，然后根据行简化阶梯形矩阵，直接写出方程组的解．2.1

线性方程组的消元法【例1】用高斯消元法解线性方程组【解】对增广矩阵施以初等行变换．2.1

线性方程组的消元法由最后一个矩阵，可得原方程组的解为（续）2.1

线性方程组的消元法【解】对增广矩阵施以初等行变换【例2】解线性方程组由最后一个矩阵知，原方程组的同解方程组为改写成由方程组可知未知量可以自由取值．称变量为自由未知量．若令，方程组解为其中为任意选取的常数．它给出了方程组的无穷多组解，这种解的形式是用自由变量表示的解称为方程组的一般解．如果取，则得到原方程组的一组解：

【思考】例2中，是否可以取为自由未知量呢？如能，请给出此方程组的一般解和两组解．2.1

线性方程组的消元法2.1

线性方程组的消元法【例3】解下列线性方程组【解】

写出对应的增广矩阵经初等行变换可化为2.1

线性方程组的消元法由上矩阵知，原方程组的同解方程组为例3续第三个方程矛盾，故此方程无解．2.1

线性方程组的消元法【例4】已知总成本是产量的二次函数：．根据统计资料，产量与总成本之间有如下表所示的数据．试求总成本函数中的．某厂某阶段产量和总成本统计表【解】将已知数据，代入二次函数模型中，得方程组2.1

线性方程组的消元法对上方程组的增广矩阵进行初等变换，可得故方程组的解为所以总成本函数为2.1

线性方程组的消元法用高斯消元法解线性方程组的具体步骤为：（2）根据阶梯形矩阵，判断方程组是否有解；（1）写出增广矩阵，用初等行变换将化成阶梯形矩阵；（3）在有解的情况下，写出阶梯形矩阵的同解方程，并用回代的方法求解．或继续将化成行简化阶梯形矩阵后，直接写出方程组的解．2.2线性方程组解的情况判定【思考】方程组在什么情况下无解？有唯一解？有无穷多解呢？方程组的解与其矩阵的秩是否有关？【推论1】设是齐次线性方程组（2）的系数矩阵，则（1）齐次线性方程组（2）只有零解的充要条件是：（2）齐次线性方程组（2）有非零解的充要条件是：

【定理1】设分别是线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵，则（1）线性方程组(1)有唯一解的充要条件是：（2）线性方程组(1)有无穷多解的充要条件是：（3）线性方程组(1)无解的充要条件是：2.2线性方程组解的情况判定一、非齐次线性方程组解的情况判定

【例1】判定下列线性方程组是否有解？若有解，说明解的个数．（1）（2）【解】（1）因为，，所以方程组无解．2.2线性方程组解的情况判定【解】（2）因，即，故方程组有唯一解．（3）因即故方程组有无穷多解．2.2线性方程组解的情况判定【解】

对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵．【例2】当为何值时，线性方方程组有解？由上面最后一个矩阵，可知当时，，方程组有解；当时，，方程组无解．2.2线性方程组解的情况判定【解】对方程组的增广矩阵施以初等行变换，将它化为阶梯形矩阵．有唯一解？无穷多解？无解？【例3】讨论当为何值时，线性方程组2.2线性方程组解的情况判定讨论阶梯形矩阵的秩：（1）当时，，方程组有唯一解；（2）当时，，方程组有无穷多解；（3）当时，，方程组无解．2.2线性方程组解的情况判定二、齐次线性方程组解的情况判定

【例4】试讨论方程组是否有非零解？如果有解，求其解．【解】对齐次方程组的系数矩阵施以初等变换，使其化为阶梯形矩阵．由于，即，故方程组有非零解．2.2线性方程组解的情况判定故知原方程组的同解方程组为继续对矩阵施以初等变换，可得若取，则原方程组的解为2.3应用与实践一、交通网络流量模型

【案例1】如图所示是某地区的交通网络流量图．设所有道路均为单行道，且道路边不能停车．图中的箭头标识了交通的方向，标识的数为高峰期每小时进出道路网络的车辆数．设进出道路网络的车辆相同，总数各为800辆．若进入每个交叉点（交叉路口）的车辆数等于离开该点的车辆数，则交通流量平衡条件得到满足，交通就不出现堵塞．求各交叉点交通流量为多少时，此交通网络不出现堵塞．【分析】交通网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等，并且每个联结点流入和流出的总量也相等2.3应用与实践【解】设每小时进出交叉点（路口）的未知车辆如图2－１所示，根据对每一个道路交叉点的平衡条件：进入某点的车辆数＝离开此点的车辆数，可建立如下方程．A点：；B点：；C点：；D点：；E点：．故可得一个交通网络流量模型：2.3应用与实践求解交通流量模型：下面用初等行变换求此模型的解．2.3应用与实践其中为自由变量，分别设为，交通网络流量模型的解为例如，取，则得一组解必须满足：．2.3应用与实践二、电路网络模型【案例2】在如图所示的电路网络中，求各支路上的电流强度．【解】根据基尔霍夫节点电流定律，回路上的电流：．电路网络中的电流和电压满足欧姆定律：．用增广矩阵表示这个电路网络模型:根据基电压定律，上回路上的电压：下回路上的电压：2.3应用与实践用初等行变换将上矩阵化为行简化阶梯形矩阵：所以，电路网络模型的同解方程组是即各支路的电流为2.3应用与实践【案例3】某企业生产A、B、C三种玩具，每种产品需要甲、乙、丙三种零件的个数分别为2，1，2、1，1，1和3，2，1．现有原料甲7700个（零件），原料乙5200个，原料丙4700个．问A，B，C三种玩具各生产多少，才能使原料得到充分利用？【解】

设A、B、C三种玩具的产量分别为x、y、z．为使原料得到充分的利用，x，y，z必须满足方程组（资源分配模型）：增广矩阵为2.3应用与实践对增广矩阵进行初等行变换，可得所以当A、B、C三种玩具的产量分别为1000，1200，1500个时，才能使原料得到充分的利用．2.3应用与实践【案例4】

甲、乙、丙是经营领域不同的三家公司，为了规避市场风险，他们决定交叉持股，约定按比例分红，持股比例如表2.3所示．某年度三家公司的经营利润分别为120万元、100万元、80万元，如果公司的总利润由经营利润与投资利润组成，试分别确定这三家公司的总利润与实际利润．【解】设甲、乙、丙三家公司的总利润分别为万元，则由已知可得：2.3应用与实践甲公司的总利润=甲公司的经营利润+甲公司投资利润乙公司的总利润=乙公司的经营利润+乙公司投资利润丙公司的总利润=丙公司的经营利润+丙公司投资利润经整理，得到方程组（即资源分配模型）：这个方程组的系数行列式D=0.832≠0，所以方程组有唯一解.解得2.3应用与实践这三家公司的总利润分别为198.8、176.9、172.8万元。三家公司的实际利润为：甲公司的实际利润=198.8×50%=99.4（万元）．乙公司的实际利润=176.9×45%=79.6（万元）．丙公司的实际利润=172.8×70%=121.0（万元）．注意到三家公司的经营利润之和为：120+100+80=300（万元）．经过再分配后，各公司所得实际利润之和仍为：99.4+79.6+121=300（万元）．这就是说，利润的再分配并没有产生新的利润，只是将风险与收益联系起来，更为公平．随机事件与概率3.1概率的性质与计算3.2

随机变量及分布3.3应用与实践3.5

目录第三章概率论数学期望与方差3.4

3.1随机事件与概率概率论主要研究随机现象的统计规律性．确定性现象：在一定条件下必然发生或必然不发生的现象随机现象：在一定的条件下,可能发生也可能不发生的现象.概率论就是专门研究和描述随机现象及其规律的数学理论.一、随机试验与随机事件

如果试验满足：

（1）可以在相同的条件下重复进行；

（2）每次试验的所有可能结果是明确知道的,并且不止一个；

（3）每次试验前不能预知出现哪一个结果.则称这样的试验为随机试验,简称试验,用字母

表示3.1随机事件与概率

例如,掷一枚均匀硬币观察正面和反面出现的情况；某日电话总机所接到的呼叫次数；在一批灯泡中任意抽取一个,测试其寿命等等都是随机试验.在随机试验中,每一种可能的结果称为随机事件（简称事件）,常用A,B,C表示.例如,投掷一颗骰子出现的点数为偶数可表示为

A={出现的点数为偶数}={2,4,6}．

基本事件：在随机试验中,每一个可能出现的最简单的结果（不可分解）,用示.

样本空间：一个试验的全体基本事件组成的集合,用表示.每个基本事件称为样本点,常用表示.

3.1随机事件与概率例如,（1）抛一枚均匀的硬币,其可能出现的结果只有两种：正面、反面.（2）从一批灯泡中任取一只,以小时为单位,测试这只灯泡的使用寿命．若令=正面,=反面,则样本空间为.若令表示灯泡的寿命,则.

必然事件：在每次试验中一定发生的事件,用样本空间表示.

不可能事件：在每次试验中一定不发生的事件,用符号表示.3.1随机事件与概率二、随机事件的关系与运算随机事件与样本空间的子集一一对应，故可用集合论的一些术语、记号来描述事件间的关系及运算.

1.事件包含事件：如果事件发生必然导致事件发生,记作（或）.2.事件与相等：如果事件且,记作．

3.1随机事件与概率4.事件与的积（或交）：两个事件与同时发生所构成的事件,记作（或）.3.事件与的和：两个事件与至少有一个发生所构成的事件

,记作(或).

3.1随机事件与概率5.事件与为互不相容事件（或互斥事件）：若事件不能同时发生（即）.6.与为对立事件（或互逆事件）：若事件与满足：即事件与在一次试验中有且只有一个发生.

的对立事件记为（即）.3.1随机事件与概率【思考】互斥事件与对立事件的相同点是什么？不同点是什么？请你举例说明？

例如,掷一颗骰子,令={出现奇数点},={出现4点},

={出现偶数点},则与是互逆事件；而只是互斥事件而不是互逆事件.事件的运算满足以下的规律：（1）交换律

.（2）结合律

.（3）分配律（4）德摩根定律

.3.1随机事件与概率

【例1】甲、乙、丙3人同时进行射击,设

={甲中靶},={乙中靶},={丙中靶}.试用事件的关系表示下列随机事件：（1）3人都中靶；（2）至少有2人中靶；（3）最多有2人中靶.【解】

（1）“3人都中靶”的事件可表示为（2）“至少有2人中靶”的事件可表示为

（3）“最多有2人中靶”的事件可表示为

它还可以表示为

，或3.1随机事件与概率三、随机事件的概率【思考】事件的概率与频率有什么联系与区别？试举例说明.

【定义1】（概率的统计定义）在相同的条件下,进行大量重复（次）试验,如果随机事件发生的频率（为事件发生的次数）稳定地在某一常数的附近波动,并且越大,摆动幅度越小,则称常数为事件的概率,记为即

3.1随机事件与概率【例2】某商场设立了一个可以自由转动的转盘,在该转盘中,标有“铅笔”区域的扇形的圆心角是.并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．

下表是活动进行中的一组统计数据：(2)请估计,当很大时,落在“铅笔”的频率将会接近多少？(3)转动该转盘一次,获得铅笔的概率约是多少？(1)计算下列频率并填表：

3.1随机事件与概率【解】（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.692；（2）落在“铅笔”的频率将会接近0.692；（3）获得铅笔的概率约是0.69．

3.1随机事件与概率

如果试验具有以下有两个特点：(1)有限性：试验的全部结果只有有限个,即基本事件的个数有限；(2)等可能性：每次试验中,每个基本事件出现的可能性相同.

具有这种特点的概率模型称为古典概型.【定义2】（概率的古典定义）如果某试验结果一共有个基本事件,且每个基本事件出现的可能性相等,事件A包含个基本事件,则事件A的概率3.1随机事件与概率【例3】盒子中有9个相同的球,分别标有号码1,2,,9.从中任取一球,求取到偶数号球的概率.

【解】设

则即基本事件总数.事件所含基本事件数,于是得3.1随机事件与概率【例4】从有9件正品、3件次品的箱子中抽取两次,每次一件,按两种方式抽取:(1)不放回；(2)有放回.求事件={取得两件正品}和事件={取得一件正品一件次品}的概率.

【解】（1）从12件产品中不放回抽取两件,试验的基本事件总数为,包含的基本事件数为,包含的基本事件数为,所以（2）从12件产品中有放回抽取两件,试验的基本事件总数为,包含的基本事件数为,包含的基本事件数为,所以

3.1随机事件与概率

【例5】两封信随机地投向四个信筒

,求第二个信筒恰好投入一封信的概率.【解】设A表示“第二个信筒只投入一封信”,则

3.2概率的性质与运算一、概率的性质性质1对于任何事件,有.性质2 .性质3若事件和两两互不相容,则【推论1】若事件,彼此互不相容,则【推论2】（对立事件的概率公式）事件的对立事件的概率为3.2概率的性质与运算

【例1】

一个盒子里放有大小相同的10个球,其中有7个红球,2个绿球,1个白球．从盒中任摸1球,试求摸到的球是红球或绿球的概率.而摸出一个“红球或绿球”有7+2种结果,所以

【解】设=“从盒中摸到1个红球”，=“从盒中摸到1个绿球”，则“从盒中摸到1个红球或绿球”=3.2概率的性质与运算

【例2】袋中有20个球,其中有17个红球,3个黄球,从中任取3个.求至少有一个黄球的概率？根据概率的有限可加性，得

【解法1】设=“抽取的三球中恰好有个黄球”,＝“至少有一个黄球”，则

,且事件彼此互斥．

0.4035.【解法2】设A

=“至少有1个黄球”,则=“全是红球”,故得0.4035.

3.2概率的性质与运算【定理1】（加法公式）对任意两个事件A、B

,有

【例3】某学校有50%的住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的概率是多少？【解】设A

=“住户订日报”,B=“住户订晚报”,则A+B=“住户至少订两种报纸中的一种”AB=“住户同时订阅两种报纸”.根据概率的加法公式可得

3.2概率的性质与运算二、条件概率与全概率公式●

条件概率【定义1】在同一随机试验中,事件已经发生的条件下,事件发生的概率称为事件的条件概率,记作.【注意】仍是在一定条件下发生的概率,只是它的条件除原来的以外,又增加了新的条件——已经发生.

3.2概率的性质与运算

【例4

】有圆形零件100个,其中有92个直径合格,有95个光洁度合格,两个指标都合格的有87个.从这100个零件中任意抽取一件,如果此零件光洁度合格,求该零件直径合格的概率.【解】设A=

{任意抽取的一件直径合格},B={任意抽取的一件光洁度合格},则AB

={任意抽取的一件光洁度和直径都合格},且由已知条件可得在事件B发生条件下事件A发生的概率为,据古典概型的概率计算，可得【思考】在例4中，概率之间有什么关系：3.2概率的性质与运算

【例5】某家庭中有两个小孩，已知其中一个是男孩，试问另一个也是男孩的概率是多少？

设A=“有一个男孩”，B=“另一个也是男孩”，于是

【解】有两个小孩的家庭，其小孩性别构成的全部基本事件有4个：．3.2概率的性质与运算●乘法公式【定理2】对于任意两个事件A、B,有

或

多个事件积的概率公式3.2概率的性质与运算

【例6】

设袋中有5个红球、3个黑球、2个白球,（1）不放回摸取三次,每次一球；（2）有放回地摸取三次,每次一球．求第三次才摸到白球的概率.

【解】设

{第次摸到白球},则

={第次没摸到白球},={第三次才摸到白球}．（1）已知

，故得（2）已知

,故得3.2概率的性质与运算●全概率公式【定理3】设是两两互不相容的事件,

,且(称为完备事件组),则对于任意事件,有

3.2概率的性质与运算

【例7】设在某批产品中，甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%,35%,20%,各厂产品中次品率分别为4%,2%和5%.现从中任取一件,求取到的恰好是次品的概率.【解】设B={任取一件,取到的恰好是次品},={取到甲厂生产的产品},={取到乙厂生产的产品},={取到丙厂生产的产品},则

且已知

因此由全概率公式可得：3.2概率的性质与运算

【例８】已知

10个考签中有4个难签,6个易签．甲先乙后不放回抽签,求

（1）甲抽到难签的条件下,乙抽到难签的概率；

（2）甲抽到易签的条件下,乙抽到难签的概率；

（3）乙抽到难签的概率．

【解】设A表示“甲抽到难签”,B表示“乙抽到难签”,则表示“甲抽到易签”,依题意，得（1）在甲抽到难签的条件下,乙抽到难签的概率为，于是得

3.2概率的性质与运算

【例８】已知

10个考签中有4个难签,6个易签．甲先乙后不放回抽签,求

（2）甲抽到易签的条件下,乙抽到难签的概率；

（3）乙抽到难签的概率．

【解】设A表示“甲抽到难签”,B表示“乙抽到难签”,则表示“甲抽到易签”,依题意，得（2）在甲抽到易签的条件下,乙抽到难签的概率为，于是得（3）乙抽到难签是在（1）或（2）两种情况下出现,由全概率公式得3.2概率的性质与运算三、事件的独立性【定义2】如果两个事件A,B中任一事件的发生不影响另一事件发生的概率,即

（或）,则称事件A与B是相互独立的，否则称为不独立的．【注意】实际应用中,一般不借助定义或定理来验证两个事件或多个事件的独立性,而是根据问题的实际意义或经验来作出判断.

3.2概率的性质与运算事件的独立性具有以下几个性质：（1）事件与相互独立的充要条件是（2）若事件A与B独立,则有（3）若事件相互独立，则有

A与、与B、与都相互独立.3.2概率的性质与运算

【例9】

甲、乙两人单独地解答同一道习题．甲能答对的概率是0.8,乙能答对的概率是0.9.试求：（1）两个都答对的概率；（2）至少有一个人答对的概率.

【解】（1）设

A={甲答对},B={乙答对},且知

A与B相互独立,两人都答对为事件AB,于是得

3.2概率的性质与运算（2）至少有一人答对的事件为A+B,可用多种方法求解：解法一解法三:解法二3.2概率的性质与运算

【例10】

设某种高射炮的命中率为0.6.若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮同时射击？

【解】设击中敌机至少需要门高射炮,={第门高射炮击中敌机},则相互独立,且

由题设条件,可得即有,因此至少需要6门高射炮.3.2概率的性质与运算

【定义3】若试验单次试验的结果只有两个：及，且保持不变,将试验重复进行