1.1 第1课时 认识勾股定理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.1探索勾股定理

第一章勾股定理第1课时

认识勾股定理1.通过数格子的方法探索勾股定理；理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.2.能够运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.学习目标

如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.情境导入（图中每一格

代表1cm2）（1）正方形

P

的面积是

cm2；（2）正方形

Q

的面积是

cm2；（3）正方形

R

的面积是

cm2.121SP

+

SQ

=

SRRQPACBAC2

+

BC2

=

AB2等腰直角三角形ABC

三边长度之间存在什么关系吗？SP=AC2

SQ=BC2SR=AB2上面三个正方形的面积之间有什么关系？做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面.任务一：勾股定理的初步认识（指向目标1）填一填：观察右边两幅图：完成下表

(每个小正方形的面积为单位1).

A的面积B的面积C的面积左图右图4

？怎样计算正方形

C的面积呢？9

16

9

？方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？A的面积B的面积C的面积左图4913右图16925结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.几何语言：在

Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴

a2+b2=c2(勾股定理).aABCbc∟总结归纳定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果

a，b和

c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

a2

+

b2=c2．勾股定理求下列直角三角形中未知边的长：即时评价18x17125x解：由勾股定理可得82+x2=172，

x=15.解：由勾股定理可得

52+122

=x2，

x=13.

我们一起穿越到

2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如图所示）：ABC穿越毕达哥拉斯做客现场正方形

A的面积正方形

B的面积正方形

C的面积+=一直角边2另一直角边2斜边2+=知识链接勾较短的直角边称为，股较长的直角边称为，直角三角形中弦斜边称为.勾2+

股2=弦2股勾弦在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股“.趣味小常识

例1

已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求

CD的长.典例精析解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，

即AB=5.

根据三角形面积公式，

得

AC·BC=AB·CD.∴CD=.ADBC34任务二：利用勾股定理进行计算（指向目标2）方法总结

由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．例2

如图，已知

AD

是△ABC

的中线．

求证：AB2＋AC2

＝

2(AD2＋CD2)．证明：如图，过点

A

作

AE⊥BC

于点

E.在

Rt△ACE、Rt△ABE

和

Rt△ADE

中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED.∴

AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)．又∵

AD

是△ABC

的中线，∴

DB＝DC.∴

AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E方法总结

构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题比较好．解：当高

AD

在△ABC

内部时，如图①.在

Rt△ABD

中，由勾股定理，得

BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴

BD＝16.在

Rt△ACD

中，由勾股定理，得

CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴

CD＝9.

∴

BC＝BD＋CD＝25.∴

△ABC

的周长为

25＋20＋15＝60.例3

在△ABC

中，AB＝20，AC＝15，AD

为

BC

边上的高，且

AD

＝

12，求△ABC

的周长．

题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD

在△ABC

内的情形，忽视高

AD

在△ABC

外的情形．当高

AD

在△ABC

外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴

BC＝BD－CD＝7.∴△ABC

的周长为

7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC

的周长为

42

或

60.方法总结解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2.∴S△ABE＝AB2＝.同理可得

S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为AB2＝.例4

如图，以

Rt△ABC

的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边

AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.方法总结

求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

cm².8cm10cm36当堂检测2.

求下列图中未知数

x、y的值：解：由勾股定理可得81+144

=x2，

x=15.解：由勾股定理可得

y2

+144

=169，

y=5.3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若

a=6，b=8，则

c=

；（2）若

c=13，b=12，则

a=

.4.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（）

A25B14C7D7或25105D5.一长为

2.5米的木梯，架在高为

2.4

米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少?解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，

得

BC2=AB2

-

AC2=2.52

-

2.42=0.49，

所以

BC=0.7.答：梯脚与墙的距离是

0.7米.ABC6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积．

方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.

7.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3,则S1、S2、S3的关系是（）S1+S2=S3B.S12+S22=S32

C.S1+S2>S3D.S1+S2<S3A解：S5=