【初中数学三角形教与学探究8100字（论文）】

初中数学三角形教与学探究摘要：三角形的学习在初中数学中占据举重若轻的作用。三角形的学习，是从具体思维到形象思维，从感性思维到理性思维，从直观性数学学习转向抽象性数学学习的过程，是培养图形抽象思维的重要阶段，亦是数学演绎思维形成的关键。本文分析了三角形的数学思维方式，对初中三角形所学内容，三角形中线和高的定义，三角形的全等证明进行了梳理，最后结合实习教学经验，给出一些三角形教学的建议。关键词:三角形；数学思维；抽象思维；教学1引言虽然早在幼儿园可能就玩过了三角板的拼接，但这并非是系统的学习。三角形是平面几何的重要板块，贯穿整个几何学，甚至贯穿整个数学学习，能正确认识初中三角形知识，对后续学习其他几何学有所帮助，让思维也得到一个提升，益处数不胜多。从具体思维到形象思维，从感性思维到理性思维，从直观性数学学习转向抽象性数学学习，这都是三角形的学习过程中能办到的。初次接触几何难免会觉得困难。尤其三角形又是学习几何图形的重要地基，如果没有将它学好那么对于今后的平面图形和立体图形的学习是很大的障碍。同时几何的学习也是初中以至于高中和以后的数学学习中比较重要的一个板块，它是数学演绎思维学习的关键环节，是培养学生图形抽象思维的重要阶段。因此学好三角形是很有必要的。本文会从三角形的数学思维、三角形的中线高线定义以及三角形的证明和三角形的概念深化来展现三角形的学习，由浅入深。首先必须知道三角形的各种概念和定义，理解深层次本质的内容方便更加深入的学习，打好牢固的基础才能盖好数学学习的高楼。其次再深入学习三角形各种全等证明方法，呈现了不同思维的方法以及各类例题，可以在例题的解决中去感受概念的应用和思维的发散。三角形在学习过程中很常见，并且出现的题型多样，可以从简单到复杂，一变则百变。对于三角形的几何解题来说，无论是证明还是计算面积，过程都比较困难，常常还需要做辅助线。本文通过探究三角形在初中数学课程中的概念呈现和实际应用，研究不同题型的解法，最后展现出了三角形学习的重要性的同时也给出了自己的一些微小教学建议与注意，希望能给各位同行带去帮助。2初中数学三角形学习探究2.1三角形的数学思维三角形算是最基础的几何图形，但它却是尤其重要的。我国知名数学家项武义教授曾经说过，三角形是一个基本的几何图形，却又是特殊的几何图形。并且数学空间的大部分基本性质都能在三角形的几何性质中依次呈现[1]。例如三角形的高线，中线，三角关系，三边关系等等。三角形之所以可以成为几何学研究的重点内容，大概的原因我觉得也就是以下几点：首先三角形看似简单但又充分反映空间的本质，简单中又包含了复杂。看似简单然而数学特质都蕴含在其中。这充分说明理解空间的大部分基本性质要先掌握好三角形知识。掌握好了三角形知识，这对于我们学习之后的立体几何和平面几何有着非凡的意义。同时，三角形的学习也是研究其他几何图形的时候不可或缺的基础，如谚语所讲没有牢固的地基那么高楼则是摇摇欲坠的，打好基础是必然的。所以学好三角形对整个几何乃至数学的学习都是至关重要的，意义固然是举足轻重。人们常说，平面几何的学习是数学成绩两级分化的开端。这并非无中生有的，从初中生的数学学习过程中就不难看出。但是往小一点来说，差距往往是体现在三角形的学习中的。因此，掌握好三角形知识对于数学整体课程的深入是意义非凡的。从三角形的内容结构而言，其基本公理——概念——联系——关系的公理化体系非常清晰明确，给我们呈现一个完整的抽象数学概念——形成联结数学概念——形成对于图示的深层次理解[2]。接着我们可以通过推理、论证，构成层次清晰、结构严密的严谨逻辑系统，从一般三角形到特殊三角形、再从定性到定量的研究路径中展现出来，然后提出问题的头脑思维和方法，得到思维的提升。例如等腰三角形、直角三角形的独特性质所反映的特殊例子在这一类数学对象中的重要性，对后续其他几何图形（包括平面图形和立体图形）的内容学习研究充满了示范性，甚至都可以用来依葫芦画瓢。再从认知过程分析，从获得三角形有关概念到证明全等三角形，相似三角形以及三角形面积的求解或者由其衍生出来的图形辅助线做法。所以，由上述理由，我们不难得出这样一个结论，在中学数学的学习中，三角形是处于首要位置的一个几何图形，是能够充分显示借助简单对象阐述深刻知识的最佳载体。对于此课2.2三角形的内容分析总体而言，从钻研目标看，在抽象三角形概念的基础上，按一般三角形到特殊三角形的顺序铺开；三角形不仅有定性而且还有定量问题。那么总体上来说我们可以研究三角形的面积、高线、中位线、角平分线以及两个三角形之间的关系。从定性角度研究三角形，是对图形的性质、图形之间的关系两个角度展开，主要内容有：三角形的要素（边、角）、相关要素（外角、高线、中线等）之间的定性关系；两个三角形的全等关系；两个三角形的相似关系[3]。特殊三角形而言，则要研究一般三角形成为特殊的充要条件，如何将普通三角形变为特殊三角形，即研究等腰三角形、直角三角形的性质和判定。从图形的度量和要素、相联系要素的定量关系展开是三角形的定量研究的关键，研究三角形的三边边长、三个内角的角度、三角形面积、高线、中线等几何量之间存在的基本数学关系。让定性的结果被定量的结果替代，存在的东西被具体表示出来，这是2.3三角形的中线三角形的中线是人教版八年级上册第一章《三角形》第二课时的知识点。教材上给予我们的定义对于理解中线有很大帮助[4]。中线的特殊魅力在于它可以将三角形分成面积大小相等的两部分，下面将对平分三角形面积的问题进行拓展和思考。在数学教学，尤其是在几何教学中，充分发掘基本图形能用的一切知识和条件，利用基本性质或者基本结论对基本图形进行变换，学生才会在几何解题和证明中站得高，望得远，定义1[5]三角形的一个顶点与对边中点的连线称为三角形的中线。这条中线关于这个顶角的平分线对称的直线称为三角形的共辘中线。显然，直角三角形斜边上的高线就是斜边上的共辄中线（画图可知）。为了学习的方便和讨论的直观，将三角形边的中点看作为边的内中点，则三角形的中线可称为三角形的内中线，其共轴中线称为内共辄中线。三角形的三条内公辘中线的交点称为内共辘重心，这可由塞瓦定理的逆定理推证。且无穷远点可看作线段的外定义2[6]过三角形的一个顶点且平行于对边的直线称为三角形的外中线。任两条外中线的交点称为三角形的旁重心。很明显可知，三角形的一个顶点处的外中线、内中线、两条边一起组成调和线束，且过此顶点的圆截这四条射线的交点组成调和四边形的四个顶点定义3[7]三角形的外中线在这个顶点处关于顶角平分线对称的直线称为三角形的外共辄中线。任两条外共辄中线的交点称为旁共扼重心。三角形的外共辘中线就是在三角形顶点处的外接圆的我们将定义弄明白之后对于数学的学习来讲是微乎其微的，我们还应该用一些图形来帮助我们深入概念的学习，如下就是我们要结合概念来一起探究的图形。如图,设M为△ABC的边BC的中点,AT为∠BAC的平分线，记△ABC的外接圆为圆F。如果DA关于TA和MA对称，那么DA是内共轭中线；如果NA//CB，和圆F相交在点N，那么AN是三角形ABC的外中线；如果EA关于TA和NA对称，那么EA是外共轭中线。可明显得知,∠BAM=∠CAD。则∠BAN=∠CAE推出∠CAE=∠ABC推出AE为圆F的切线。相反，如果EA是圆F的切线，那么就会有EA关于CA的平分线TA对称的直线NA，称为外中线。图1中的NA,MA,BA,CA均为调和线束，如果MA与圆F交于点L，那么四边形NBLC为调和四边形。图中的点G，K分别就是三角形ABC的一个旁重心和旁共轭重心。上诉中从图文结合的方式，我们就会对三角形中线的理解更为深入了一些。例题2.3.1[6]如图△ABC中，∠A=2O°，CD是∠BCA的平分线，△解：∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90°∵∠A=20°∴∠EDA=90°-20°=70°∵∠EDA=∠CDB∴∠CDE=180°-70°×2=40°在直角三角形CDE中,∠DCE=50°∵CD是∠BCA的平分线∴∠BCA=2∠DCE=100°在△ABC中，∠B=180°-∠BCA-∠A=60°例题2.3.2[7]如图，AD是△解：延长AD到M，使AD=DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴BD=DC，∵在△ADC和△MDB中BD=DC∠ADC=∠BDMAD=DM∴△ADC≌△MDB，∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AE=EF，∴∠CAD=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC，即AC=BF例题2.3.3[8]，AD是△ABC中BC边上的中线，求证:AD＜12解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE.在△ACD和△EBD中:DC=DB∠ADC=∠EDBAD=DE∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=BE在△ABE中，由三角形的三边关系可得AE＜AB+BE，即2AD＜AB＋AC，∴AD＜122.4三角形的高在给三角形的高下定义时，是像这样子展开的：三角形的高是一条经过三角形某一顶点并垂直于该顶点相对边所在直线的线段。在这个定义中，首先概念的名称被我们所熟知，即为三角形的高，然后再给出了关于高的具体数学解释和高的数学属性，即是一条线段，经过三角形某一顶点，垂直于该顶点相对边，三角形高的全部特征在这些性质中体现得淋淋尽致，同时也使得高线与其他类似概念相区别。三角形的高线概念定义看起来容易，但这仅仅是表象，它反而往往是最容易被忽略和难以教授的。我们在学习的起始时会将它一边略过，然而很多学生并不能理解它的本质就更无法在解题过程中运用了。因此教师不单是要让学生对表面阐述有印象，而是教师要协同学生充分掌握概念的内涵并且进行灵活运用，使其构建属于自己的认知结构，将书本上的知识成为头脑中的烙印。我们知道了高的定义后也要学会如何利用高来做辅助线以及用高来求得三角形的面积，所以打好此基础对于我们在几何问题中的帮助是很大的。我们在学习某一新概念时，总是倾向于先将它跟先前的经验进行类比，这往往会造成前摄抑制。就比如学生在学习新概念时往往会将其与先前学习过的知识或者生活中的经验混淆，反而形成了不好的学习影响，有些时候，由于这些经验过于根深蒂固，学生甚至会对新概念产生错误的认知[9]。在学生学习三角形高的概念之前，已经接触过了如梯形的高、菱形的高等大致类似的概念，很容易把它们进行对比和联结在一起，例题2.4.1[9]如图在△解:∵BE是AC上的高，∴∠AEB＝90°∵∠ABC=60°，∠ACB=50°所以∠A=70°∴∠ABE=20°∵CF是AB上的高，∴AFC=90°所以∠ACF=20°∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=40°∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°∴∠BHC=110°例题2.4.2[10]在解:∠CAD=90°-60°=30°(运用三角形内角和定义)∵∠B=20°，∠C=60°∴∠BAC=100°(三角形内角和)AE是角平分线∴∠CAE=50°得∠DAE=20°例2.4.3[10]如图在△ABC中，D和E分别是BC和AD的中点，S△ABC=4cm解:∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴S△ABD=1∵BE是△ABD的边AD上的中线，∴S△ABE=2.5三角形的全等证明2.5.1三角形的全等概念及方法三角形全等的判定是三角形这一部分的重点，题型千变万化，考试时经常会以填空、选择、解答题的形式出现。不仅如此还会以难题形式出现。对于学生的几何意识有重点考察之意。所以全等三角形的判定的学习地位突出，在学习三角形的全等之前，我们应该首先了解判定的方法。通过探索，我们发现全等三角形的判定方法共有5种:分别为SSS（边边边）、SAS(边角边)、ASA(角边角)、AAS(角角边)、HL(两直角线，只适合直角三角形)。注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA(边边角)，这两种情况都不能确定唯一的三角形形状。补充:并且当两个全等三角形重合在一起时，重合的点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。证明三角形全等的思路。通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等。采用哪个全等判定定理加以证明，可以按以下思路进行分析:(1)已知两边找夹角SAS(2)已知道一边找第三边SSS(3)已知一边一角，边为角的对边→找任一角→AAS，(4)已知一角一边且边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS，(5)已知一角一边且边为角的邻边→找夹边的另一角→ASA，(6)已知一边，找边的对角→AAS，(7)已知两角→找夹边→ASA，(8)已知两角→边对边→AAS。平移、旋转或对折后的两个三角形全等。2.5.2证明三角形全等的例题例题2.5.1[11]如下图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD。 要解决这个问题，关是凭借看图形是摸不到门路的，所以我们应该首先将这道题的目标进行分解[11]如图所示解题过程：证明：∵D是BC的重点∴BD=CD在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)。例题2.5.2[12解题过程：证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DEAC=DFBC=EF∴△ABC≌△DEF(SSS)∴∠A=∠D。直接证明两个角相等是不现实的，因此本题就是先证明了全等再转一次思考方式来求解两个角相等。例题2.5.3[13]解题过程：证明：在△ABE和△ACD中AB=AC∠A=∠AAE=AD∴△ABE≌△ACD(ASA)∴∠B=∠C。跟上一个例题如出一辙，要求两个角相等必须就先证明它们两个角所在的三角形全等，由条件可以判断出用ASA的方法来证明。3教学建议与注意要点三角形在几何中才是入门课，在学习三角形时首先要打好基础，学好相关概念，摸透各种定义并且培养一定的抽象意识和抽象思维。我们在进行三角形的教学时不能忽视学生此时的心理发展规律和认知结构，要顺着他们的认知结构进行教学。初中生有着独特的思维发展特点，他们此刻的抽象思维正在飞速发展，不能低估他们的思维水平，但也不能过于相信他们可以自己摸索并且掌握。由抽象思维向具体思维的过渡是他们正在经历的，这决定了他们对于几何学初认知的学习与其他年级和其他内容板块的不同，虽然他们的抽象思维已经有了一定的发展，但这依然是不够的，他们对于形象性表征处于基础甚至尚未发展的阶段，更注重于对概念的学习。但是殊不知仅了解概念对于几何学习的帮助是微不足道的。并且他们此时又可以重新开始在头脑内部进行抽象地思考，但这是具体思维和抽象思维混合参半的，如果没有教师的指导很难分清它们也很难进行有利的结合。因此，学生要学会在毫不相干的思维之间进行转换，同时教师也要扮演引导者。教师在课堂上教授要特别注意学生的独特思维特点，做思维的摆渡人，尤其是在学生初期学习过程中，在讲诉完概念以后教师要向学生提供具体的例证或图形，做到图形结合，有理有据，带领学生经历科学高效的教学，自我探索，合作讨论，课外实践，自主探究的方式，让学生亲身体会、体会各个判定定理的内涵、适用范围及与其他定理之间的联系，在这些步骤都完成以后方可布置一些课后习题来检验学习效果，但切记难度不可以过大，要满足他们的学习型需要。循序渐进地带领学生把全等三角形作为一个整体的方向发展，切不可让学生囫囵吞枣，并且做到理论与实际相联系且统一，概念与操作相结合[14]（一）注重合理教学情境的创设，激发兴趣和逻辑思维在进入教学之前，我们不能直接硬塞新知识，会让学生觉得过于困难产生厌学反应，因此教师要创设一个有趣的生动的教学情境来引入，并且教师要善于挖掘教材，让学生产生学习的内部动机。并且通过制造认知冲突来让学生产生心理矛盾，使学生有欲望去探索不懂的知识。同时，教师要以学生原有的逻辑思维点为基础，不能忽视学生过往掌握的那些旧知识，要知晓旧知识的重要性，要以学过的旧知识作为新知识的种子，温故而知新，方可以帮助学生构建新的知识体系，提升学生的认知能力，学好三角形和几何图形，甚至帮助学生更加深入掌握有难度的数学知识的内涵。（二）采用多元联系表示策略，加强教师对数学定义的教学作为教师应正确认识全等三角形判定定理的重要性，明白它在数学体系中的重要作用，学会运用多元联系表示策略[15]。不仅仅从一个知识点出发，更要有发散和聚合思维，从多到少，从少到多，加强对学生数学定理的教学，数学定理的教学仅仅是教学的起点，学会用千变万化的方式对数学对象进行表征。教师同时也应该明白逻辑思维的载体是数学语言，我们在上数学课的时候仅仅用文字语言是不够的，要将文字语言、图示语言和符号语言三种数学语言结合在一起，有利于学生对于数学知识原理的深刻掌握和理解，促进学生对数学概念语言的掌握，引导学生从不同角度对同一数学对象进行理解，形成聚合思维，学会用多种方式方法来解题，如爬山法，手段目的分析法，启发法，算法式来提升学生有关于数学对象本质的独特见解。（三）用好学生已有的知识体系，重视学生思维发展的顺序作为一个合格的人民教师，我们要遵守新时代对于教师的要求，以学生为核心，立德树人为任务，而且平时上课教书要牢记以教师为主导，学生为主体的教育理念，充分发挥学生在课堂的主体地位，注重学生的个体差异性和发展阶段性，充分考虑学生的因素。教师的任务不仅仅是传递知识那么简单，要知道教师是学生学习的引导者而并非决定者，要发挥学生的主体性，教师要学会利用学生的已有知识体系，把他们当作完整的人，在已有的知识上进行点拨，抓住学生的思维发展顺序和思维关键期，帮助学生发展更好的几何思维。并且教师要认识到学生不仅是要学习知识，更要掌握归纳学习的思维模式和结构，授之以鱼不如授之以渔，把知识教给学生不如让学生学会学习，就学生学习全等三角形的判定定理而言，不仅是判定定理本身的学习，更是形成判定定理思维过程的学习，这比简单的掌握知识本身有意义的多，知识固然重要但是思维结构和方式方法更加重要。（四）重视几何证明的思维过程，用过程来作为思维能力导向全等三角形的判定和证明，相似三角形的证明是培养学生逻辑推理能力的良好素材，往大的来讲，几何图形的学习对于学生的逻辑推理能力百利无一害，可以帮助在今后学习中思维更加活跃，并且在全等三角形证明的授课课堂中，不仅仅是单纯呈现答案，更要呈现解题思路，培养思维过程，使学生在几何推理与证明中理解并掌握逻辑推理的基本方法，培养学生数学核心素养，由此可见几何在初中教学中的应用是极其重要和关键的。4结语综上，经过本文的论述可知三角形在初中数学的应用是十分广泛且重要的，值得学生学习，更值得教师对教学内容进行深究，不能因为它是几何的敲门砖而忽视。通过对于三角形的数学思维方式，内容分析以及各类题型的求解这几个板块的研究，可知三角形这部分的内容层次深厚，它不仅可以