【高中数学竞赛大全】 竞赛16 导数与极限（50题竞赛真题强化训练）试卷

【高中数学竞赛专题大全】

竞赛专题16导数与极限

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2019・全国•高三竞赛）函数"Syssa/a€（0年丫|的最大值是.

2.（2019•全国•高三竞赛）已知等比数列｛/｝满足!吧（《+%+…+。〃）=-2,则%的取

值范围为.

3.（2019•全国•高三竞赛）称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：

（1）定义在R上；

（2）存在a<〃，使其在（fo,a）、（b,+oo）上单调递增，在（4力）上单调递减.

则以下函数是好函数的有.

。=木-2|,②=丁-x+1,

@V'=2X3-3X2-6X-1,©v=2x?+7f+28x+3.

4.（2019.全国.高三竞赛）函数/（力二27'-3'+3+1在区间@3］上的最小值为.

5.（2019•全国•高三竞赛）关于刀的不等式2f-4xsinx+14cos2x的解集为.

/「~1\

6.（2019•山东•高三竞赛）设函数f（x）=x+cosxxw,那么<工）的最大值是

7.（2019・全国•高三竞赛）满足1+上=1+'一的整数n=__________

（n）I2014

8.（20及全国高三竞赛）设函数/（司=%嘎2%+（。7）1%（。7）的图像关于直线l=；

对称.则对满足Zz=1的任意实数西e（0,l）（l^/<4）,s=log2%的最小值为

r=1J=I

9.（2019•全国•高三竞赛）设a>l.则当尸优与尸10g4X两个函数图像相切时，\n\na=

10.（2019・全国•高三竞赛）已知过点（0,2）的直线/与曲线C:y=x+?x>0）交于两不

同的点M、N.则曲线C在M、N处切线交点的轨迹为.

11.（2019・全国•高三竞赛）若函数/（x）=or+sinx的图像上存在互相垂直的切线，则

实数,是.

12.（2019・全国•高三竞赛）在各项均为正数的等比数列｛《,｝中，若%+%-生-4=8,

则为+%+%+4的最小值是.

13.（2019・全国•高三竞赛）已知数列｛叫满足4=2,%=6,且4A：?=2.则

%+i+1

lim疯=—.

NT”/+J：…+

14.（2019・全国•高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶10（加，此时，进行第一次

射击.若此次射击不中，则后退50帆进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后

退50根，直到命中为止，已知他第一次的命中率为!，且命中率与距离的平方成反比.

则他能够命中的概率等于.

15.（2019・全国•高三竞赛）已知数列｛可｝满足4=6,%=20,

4（4-8）=。「/「12（心2）,记｛%｝=%一区,其中，国表示不超过实数x的最大

整数厕则｛疯｝.

10052010

16.（2019•全国•高三竞赛）设（2+尤-2巧.贝1」4+305+5/+・-+2009%必=

£-0

17.（2019・全国•高三竞赛）联结正多面体各个面的中心，得到一个新的正多面体，我们

称这个新正多面体为原多面体的正子体.一正方体工的表面积为6=16,它的正子体为

%,表面积为生，刀的正子体为7；，表面积为4,……如此下去，记第〃个正子体的表

面积为则!吧（4+生+…+"“）=.

18.（2019・全国•高三竞赛）四次多项式/（x）的四个实根构成公差为2的等差数列.则

f'（x）的所有根中最大根与最小根之差是.

19.（2021・全国•高三竞赛）若数列｛q｝是首项不为零的等差数列，则

…％+。2+•••+&

20.（2021・全国•高三竞赛）两数列包｝,但｝满足4">0,伪=1,且对任意正整数〃,

a„+\,,b„+1IL

%二4十七力向=>十七,则也才为-----------•

21.(2021•浙江•高三竞赛)若xJnX]In9,为<9，忆=系3+W+24二)，keZ,

贝必二.

22.(2019•四川•高三竞赛)已知。为实数，且对任意£口一1,1]当5£(0,6]时，6如十炉

—3x+a<kx恒成立，则。的最大值是.

二、解答题

23.(2019•全国•高三竞赛)已知函数/(”=/一/+|卜«0』,〃€乂).

(1)求/(力的极大值g(〃)；

(2)求g(〃)的最大值.

24.(2019•广西•高三竞赛)己知函数/(4)=([+Jlnx+--x.

(1)设。>1,讨论凡0在区间(0,1)上的单调性；

(2)设心0,求贝人)的极值.

25.(2021・全国•高三竞赛)求c的最大值，使得对任意的正实数工、y、z,均有

WX'-N一ZY),),其中“z”表示轮换对称求和.

26.(2019・全国•高三竞赛)在锐角△ABC中，证明：

(sinA+sinB+sinC)f---+——+——|—+—+—|.

\\sinAsin5sinCjBC)

27.--(2019・全国•高三竞赛)求所有的正实数k,使得对于任意正实数a、b、c,均有

abkc入

+-------+-------..2.

b+cc+aa+b

28.(2019・全国•高三竞赛)已知函数/(力=丁-2奴与g(x)=r2-],的图像有两条公

切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值.

29.(2019•全国•高三竞赛)已知/(x)=l±!&±D,g(x)=—1.求最大的正整数上使得

对任意的正数。，存在实数a、当满足—l<a<b<c,且〃c)=f(a)=g®.

30.(2019•全国•高三竞赛)已知吧3/(")=〃°)="/(2x)-〃x)=f对任意实数x成

立.求/(6的解析式.

31.(2019・全国•高三竞赛)已知各项均不小于1的数列｛4｝满足：q=l,%=1+率,

(\2/.\2

=2,试求：(1)数列｛4｝的通项公式；

Ian-\)

(2)lim%的值.

n—〃

32.（2019・全国•高三竞赛）已知。£凡，方程x2-2at-241nx=0在（0,+巧上有唯一解.

求a的值.

33.（2019・全国•高三竞赛）设4=心0,对〃22,有〃“=什（1+4）・求常数为，使对

J-1

白111A1

一切正整数〃有—<—,而对任何c<b，都存在正整数〃，使

小+420112011印+4

34.（2019・全国•高三竞赛）给定正整数〃（〃之3）,q,=（L002）（即明等于〃进制表示

为1002的数）•试求lim，」-+」一+•••+-------］的值.

a3aAa3a4'，，anJ

35.（2019・全国•高三竞赛）求最小的实数A,使得对每个满足条件似x）归1（0W1）的

二次三项式〃x）,适合不等式f'（0）VA.

36.（2019・全国•高三竞赛）己知〃x）=2x告+：,其中，常数ae（0,4］.求所有的实

数3使对任意/、x2eR+,恒有|/（4）一/（42）|之小］一/2|.

37.（2019・全国•高三竞赛）设女是一个给定的非零实数，在平面直角坐标系或力中，曲线C|

的方程为凶二|），|且£=系，点A（kM）.

⑴设P是G上的任意一点，试求线段4P的中点。的轨迹的方程并指出曲线G的类

型和位置；

⑵求出G、G在它们的交点8处的各自切线之间的夹角外锐角）（用反三角函数式表示）

I2

38.（2019・全国•高三竞赛）已知函数f（x）=）x3_（2a+l）r+3a（a+2）x+y,其中，a

为实数.

（1）当函数y=f'（x）的图像在（0,6）上与x轴有唯一的公共点时，求实数a的取值范围；

（2）当〃=-1时，求函数>=/（力在［0,6］上的最大值与最小值.

39.（2019•全国•高三竞赛）已知抛物线丁=以上的动点P,及焦点尸（1,0）.求AOP/的

内切圆半径r的最大值.

40.（2019・全国•高三竞赛）设％=*x2=bt=12…）,其中，。、b、

c为给定的实数.

（1）求）的表达式.

(2)问：当。为何值时，极限!则与存在？如果存在，请求出其值.

41.(2019・全国•高三竞赛)设函数/(x)=o?+加2+B+d的图像T上有两个极值点P、

Q,其中，P为坐标原点.

(1)当点Q(L2)时，求f(x)解析式；

(2)当点Q在圆C:(x-2)2+(y-3)2=l上时，求曲线T的切线斜率的最大值.

42.(2019•四川•高三竞赛)已知函数段)三由1¥—加，aWR.

(1)证明：当1*3时，"?：弋一"2>±；

(3-x)ee~

(2)设函数尸(x)=l/U)|(x£[l,e])有极小值，求。的取值范围.

43.(2019•江苏•高三竞赛)证明：对任意工在(一8,0)U(0,+oo),

max{0,ln|x|)...^iln|x|+-Uln|x2-l|+lln^^,且等号成立的充要条件是

2V52^51122

*小土1

x=±-----.

2

44.(2020•浙江温州•高一竞赛)已知1<姓2,^f(x)=x+-^=-a.

(1)证明：函数>=/(1)在(0,+8)上有唯一零点；

(2)设M是函数y=f(x)在(0,+8)上的零点，证明：2•六2<22a_2.

45.(2021•全国•高三竞赛)设分4。=1,2,3,…㈤均为正数,证明：

(1)若4伉+。24+…+。也…+2，则d唠…

(2)若4+4+…+2