2023-2024学年天津市武清区杨村一中高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.15分）已知直线y＝kx+3的倾斜角为60°,则实数k的值为()25分）若向量2，01向量0，12则2﹣=()35分）圆O1x﹣1）2+y2＝1与圆O2：x2+（y+2）2＝4的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切45分）若直线l1：ax+（a+2）y+2＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0平行，则a=()55分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设=,=则=(),65分）已知点P(﹣1，1）在圆C：x2+y2+kx﹣2y+k＝0外，则实数k的取值范围是()A．k＞0B．k＜1或k＞4C．0＜k＜1或k＞4D．k＞475分）已知直线l：ax﹣y﹣2a+3＝0与曲线有两个公共点，则实数a的取值范围是()85分）已知直线l：x+my﹣2＝0，圆C：x2+y2＝8，则下列命题：①圆C截直线l的最短弦长为4；②圆C上一定存在4个点到直线l的距离为2x区-2；③直线l与圆C交于M，N两点，则△CMN面积的最大值为4；④直线l与线段AB相交，其中A（1，1B（4，2则m的取值范围是[﹣1，1].其中正确的个数是()95分）已知圆O：x2+y2＝1，点P（x0，y0）是直线l：3x+2y﹣4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为()二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.105分）已知空间向量-(1.,1,22，=(-3,1,1》，元=(-2,2,m)，若共面，则m=.115分）过点（1，2）且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为.125分）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°,E为BB'的中点，异面直线CE与C'A所成角的余弦值是.135分）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）被直线x+y＝0截得的弦长为，若过点A（3，0）作圆M的切线，则切线长为.145分）已知A，B分别是。C1x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，。C2x+5）2+（y﹣1）2＝4上的两个动点，点M是直线x﹣y＝0上的一个动点，则|MA|+|MB|的最小值为.155分）已知点P（4，a若圆O：x2+y2＝4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则实数a的取值范围是.三、解答题：本大题共5个小题，共75分.1614分）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0.(Ⅰ)证明：直线恒过定点，并求定点坐标；(Ⅱ)m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，并求最大值.1715分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.(Ⅱ)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；(Ⅲ)求B点到平面A1EC1的距离.1815分）设圆C的圆心在x轴的正半轴上，与y轴相交于点A（0且直线y＝x被圆C截得的弦长为4.（1）求圆C的标准方程；（2）设直线y=﹣x+m与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由.1915分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝2，PA＝4，E为棱BC上的点，且BE＝BC.(Ⅱ)求平面PAC与平面PCD所成角的余弦值；(Ⅲ)设Q为棱CP上的点（不与C、P重合且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值.2016分）已知圆O：x2+y2＝1和点(Ⅱ)求以点M为圆心，且被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8的圆M的方程；(Ⅲ)设P为(Ⅱ)中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.15分）已知直线y＝kx+3的倾斜角为60°,则实数k的值为()【分析】由题意，根据直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求得斜率k的值.【解答】解：由于直线y＝kx+3的倾斜角为60°,故有tan60°==k.故选：B.【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，属于基础题.25分）若向量2，01向量0，12则2﹣=()【分析】利用向量坐标运算性质即可得出.【解答】解：2﹣=2（2，010，1241，0故选：C.【点评】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.35分）圆O1x﹣1）2+y2＝1与圆O2：x2+（y+2）2＝4的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切【分析】根据两圆的标准方程求出这两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距C1C2与半径和与差的关系，得出结论.【解答】解：已知圆C1x﹣1）2+y2＝1；圆C2：x2+（y+2）2＝4，则圆C1（1，0r1＝1，C2（0，两圆的圆心距C1C2==√5，由2﹣1<5＜2+1，故两圆相交.故选：C.【点评】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于中档题.45分）若直线l1：ax+（a+2）y+2＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0平行，则a=()【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解.【解答】解：直线l1：ax+（a+2）y+2＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0平行，当a＝2时，两直线不重合，符合题意，当a=﹣1时，两直线重合，不符合题意，舍去，综上所述，a＝2.故选：A.【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题.55分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设=则=(),=,【分析】由于可＝丽+，【解答】解：可＝丽+，∴=+=,故选：D.D,代入化简即可得出.,【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.65分）已知点P(﹣1，1）在圆C：x2+y2+kx﹣2y+k＝0外，则实数k的取值范围是()A．k＞0B．k＜1或k＞4C．0＜k＜1或k＞4D．k＞4【分析】根据圆的方程需要满足的条件以及点与圆的位置关系建立不等式关系进行求解即可.【解答】解：∵点P(﹣1，1）在圆C：x2+y2+kx﹣2y+k＝0外，,故选：C.【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题.75分）已知直线l：ax﹣y﹣2a+3＝0与曲线有两个公共点，则实数a的取值范围是()【分析】分别画出直线l和曲线的图形，结合图形，考虑直线经过点（01）和直线l与曲线相切，可得所求取值范围.【解答】解：直线l：ax﹣y﹣2a+3＝0表示过定点P（2，3）的直线系，曲线表示圆心为（0，0半径为1的右半圆，当直线l经过点（01）时，1﹣2a+3＝0，可得a＝2；当直线l与右半圆相切时，可得＝1，结合图形可得a=.则a的取值范围是[2.故选：D.【点评】本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题.85分）已知直线l：x+my﹣2＝0，圆C：x2+y2＝8，则下列命题：①圆C截直线l的最短弦长为4；②圆C上一定存在4个点到直线l的距离为2x区-2；③直线l与圆C交于M，N两点，则△CMN面积的最大值为4；④直线l与线段AB相交，其中A（1，1B（4，2则m的取值范围是[﹣1，1].其中正确的个数是()【分析】求得直线l恒过定点P（2，0圆C的圆心和半径，考虑直线l垂直于OP，计算弦长，可判断A；考虑m＝0，计算圆心到直线l的距离，可判断B；考虑CP⊥MN时，计算△CMN的面积，可判断C；将A，B的坐标代入直线方程，解不等式（1+m﹣24+2m﹣2）≤0，可判断D.【解答】解：直线l：x+my﹣2＝0恒过定点P（2，0圆C：x2+y2＝8表示以C（0，0）为圆心，半径r＝2的圆.当直线l垂直于OP时，圆C截直线l的弦长最短，且为2＝4，故A正确；当m＝0时，直线l的方程为x＝2，圆心C到直线l的距离为2，圆上仅有三个点到直线l的距离为2当CP⊥MN时，△CMN为等腰直角三角形，且CM⊥CN，则△CMN的面积取得最大值，且为×2×由直线l与线段AB相交，其中A（1，1B（4，2可得（1+m﹣24+2m﹣2）≤0，解得﹣1≤m≤1，故D正确.故选：C.【点评】本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.95分）已知圆O：x2+y2＝1，点P（x0，y0）是直线l：3x+2y﹣4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得直线AB垂直平分OP，则y0的取值范围为()【分析】先分析P为直线l与坐标轴交点的情况，再分析直线AB的斜率存在且不为0的情况，当直线AB的斜率存在且不为0时，欧点到直线的距离公式可得x2ry2＜4，结合3x0+2y0﹣4＝0，化为关于y0的不等式求解.【解答】解：在圆O上总存在不同的两点A，B使得AB垂直平分OP.若P为直线l与y轴交点，得P（0，2此时圆O上不存在不同的两点A，B满足条件；若P为直线l与x轴交点，得P(,0此时直线AB的方程为x=当直线AB的斜率存在且不为0时，∵AB⊥OP，∴圆心到直线AB的距离d1，得X2ry,2＜4，又3x0+2y0﹣4＝0，化为13yn2-16yn-20＜0，解得y0＜2.故选：C.【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.105分）已知空间向量，=(-3,1,1》，飞=(-2,2,m)，若共面，则m=3.【分析】利用向量共面定理，设＝x+y，即(﹣2，2，mx﹣3y，x+y，x+2y列出方程组，求出实数m.【解答】解：∵向量，=(-3,1,1)，飞=(-2,2,m)，若共面，故答案为：3.【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.115分）过点（1，2）且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为y＝2x或x+y﹣3＝0.【分析】由题意可对直线在坐标轴上的截距是否为0进行分类讨论，即可求解.【解答】解：当直线在x，y轴上的截距为0时，此时直线方程为y＝2x，当直线在坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为x+y＝a，把（1，2）代入可得a＝3，此时直线方程为x+y﹣3＝0.故答案为：y＝2x或x+y﹣3＝0.【点评】本题主要考查了直线截距式的应用，属于基础题.125分）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°,E为BB'的中点，异面直线CE与C'A所成角的余弦值是【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，计算异面直线CE与C'A所成角的余弦值.【解答】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示：设AC＝BC＝AA'＝2，所以0，2，12，02•=0+0﹣2=﹣2，|2，cos<,>===﹣,因为异面直线所成角的范围是（0，]，所以异面直线CE与C'A所成角的余弦值是.故答案为：.【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题.135分）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）被直线x+y＝0截得的弦长为，若过点A（3，0）作圆M的切线，则切线长为3.【分析】由点到直线的距离公式，结合两点的距离公式及圆的性质求解.【解答】解：已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0的方程可化为x2+（y﹣a）2＝a2，由圆M：x2+（y﹣a）2＝a2被直线x+y＝0截得的弦长为，即圆M的方程为x2+（y﹣1）2＝1，过点A（3，0）作圆M的切线，故答案为：3.【点评】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了两点的距离公式及圆的性质，属中档题.145分）已知A，B分别是。C1x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，。C2x+5）2+（y﹣1）2＝4上的两个动点，点M是直线x﹣y＝0上的一个动点，则|MA|+|MB|的最小值为5.【分析】画出图形，根据对称性，观察可知当M，P，N′三点共线时距离最小，进而得解.【解答】解：圆C1x﹣1）2+（y﹣3）2＝1关于直线x﹣y＝0对称的曲线C1′x﹣3）2+（y﹣1）2=1，点A关于直线x﹣y＝0对称的点A′在圆C1′上，则有|MA|＝|MA′|，故|MA|+|MB|＝|MA'|+|MB|，显然当B，M，A′三点共线时，距离和最小，从而转化为求B，A′两点距离的最小值，显然|BA′|min＝|C2C1′|﹣2＝8﹣3＝5.故答案为：5.【点评】本题主要考查两圆上点的距离最值问题，考查数形结合思想的运用，属于中档题.155分）已知点P（4，a若圆O：x2+y2＝4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则实数a的取值范围是[﹣2√5，2√5].【分析】由A既在圆O上，结合线段的中点坐标公式可得A又在以(﹣4a）为圆心，半径为4的圆上，由两圆的位置关系，解不等式可得所求取值范围.【解答】解：设A（m，n则m2+n2＝4，①即（m+4）2+（n+a）2＝16，②由①②可得4﹣2≤≤4+2，解得﹣2√5≤a≤2√5.故答案为：[﹣2√5，2√5].【点评】本题考查圆的方程和应用，以及两圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5个小题，共75分.1614分）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0.(Ⅰ)证明：直线恒过定点，并求定点坐标；(Ⅱ)m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，并求最大值.【分析】(Ⅰ)根据题意，将直线的方程变形为m(﹣x+2y+3）+2x+y+4＝0，由此分析可得答案；垂直时，点Q到直线的距离最大，进而求出最大距离和对应m的值，即可得答案.【解答】解：(Ⅰ)证明：直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，变形可得：m(﹣x+2y+3）+2x+y+4＝0，则有，解可得，即该直线恒过定点(﹣12当PQ与直线（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0垂直时，点Q（3，4）到直线（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0的距离最大，其最大距离为|PQ|2，此时kPQ==,直线（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0的斜率k=﹣)=﹣1，解可得m)=﹣1，解可得m=【点评】本题直线方程的综合应用，涉及点到直线的距离，属于基础题.1715分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.(Ⅱ)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；(Ⅲ)求B点到平面A1EC1的距离.【分析】(Ⅰ)根据正方体和中位线的性质得到四边形OD1FE为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)利用空间向量的方法求线面角即可；(Ⅲ)利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【解答】(Ⅰ)求证：连接B1D1交A1C1于点O，连接OE，EF，因为ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，所以B1D1∥BD，点O为B1D1中点，因为E，F分别为BC，CD中点，所以EF∥BD，四边形OD1FE为平行四边形，所以OE∥D1F，因为OEc平面A1EC1，D1F丈平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1；分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0C1（2，2，2A1（0，0，2E（2，1，0设平面A1EC1的法向量为元=(x,y,z)，则，即，令x＝1，则y=﹣1所以，设直线AC1与平面A1EC1所成角为θ,==则sinθ=|cos(〉|===所以直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为(Ⅲ)解：B（2，0，0丽-(-2,0,2)，设点B到平面A1EC1的距离为d，则d所以点B到平面A1EC1的距离为.【点评】本题考查线面平行的判定，考查空间向量的方法求线面角，求点到面的距离，属于中档题.1815分）设圆C的圆心在x轴的正半轴上，与y轴相交于点A（0且直线y＝x被圆C截得的弦长为4.（1）求圆C的标准方程；（2）设直线y=﹣x+m与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由.【分析】（1）设圆心C（a，0a＞0，半径为r，由垂径定理列关于a与r的方程，结合点在圆上联立求得a与r的值，则圆C的方程可求；（2）设M（x1，y1N（x2，y2）是直线y=﹣x+m与圆C的交点，联立直线方程与圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可得MN的中点H的坐标，假如以MN为直径的圆过原点，则|OH|＝|MN|，由此列式求解m值，则直线MN的方程可求.【解答】解1）设圆心C（a，0a＞0，半径为r，由垂径定理得∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝10；（2）设M（x1，y1N（x2，y2）是直线y=﹣x+m与圆C的交点，将y=﹣x+m代入圆C的方程，可得2x24+2m）x+m2﹣6＝0.Δ=﹣4（m2﹣4m﹣160.x1+x2＝m+2假如以MN为直径的圆过原点，则|OH|＝|MN|，∵圆心C（2，0）到直线MN的距离d=,∴|MN|=,又由|OH|＝|MN|，则有2+2＝10﹣,整理得m2﹣2m﹣6＝0，解得m=.经检验，m＝1时，直线MN与圆C相交，∴MN的方程为y=﹣x+1+或y=﹣x+1﹣.【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题.1915分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝2，PA＝4，E为棱BC上的点，且BE＝BC.(Ⅱ)求平面PAC与平面PCD所成角的余弦值；(Ⅲ)设Q为棱CP上的点（不与C、P重合且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值.【分析】(Ⅰ)以A为原点，AB、AD、AP所在的直线为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求,再由线面垂直的判定定理可得答案；(Ⅱ)求出平面PAC、平面PCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；>|＝可得答案.>【解答】解：(Ⅰ)证明：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0E（2，1，0D（0，2，0C（2，4，0B（2，0，0P（0，0，4所以=(2,-1,0)，瓜=(2,4,0)，丽=(0,0,4)，所以，所以DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC＝A，所以DE⊥平面PAC.=(2,-1,0)是平面PAC的一个法向量，且可-(0,2,-4)，,设平面PCD的一个法向量为元=(x,y,z)，所以，即，令z=﹣1，则x=﹣2，y＝2，所以=(