河北省沧州市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2024-2025学年高二上学期9月质量检测数学试题本卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知向量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得.【详解】因，对于A选项，由可得：，易知的值不存在；对于B选项，由可知不成立；对于C选项，；对于D选项，故选：D.2.直线，，若，则这两条平行直线间的距离为（）A.或0 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，得到或，再分别验证一下，最后结合两平行线间的距离公式得到即可.【详解】因为直线，平行，所以，解得或，当时，两条直线重合是一条直线，不符合题意；当时，直线，，两直线平行，所以这两条平行直线间的距离为，故选：C3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系，可得答案.【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，又圆C的圆心，半径，所以，且，所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.故选：B.4.下列命题中正确的是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为D.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则【答案】C【解析】【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B选项错误；对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为，C选项正确；对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，D选项错误.故选：C.5.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出的取值范围【详解】将曲线的方程化简为即表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：由圆心到直线的距离等于半径2，可得：解得或结合图象可得故选D【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题6.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8

②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．7.在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（）A.平面 B.直线与平面所成角的正弦值为定值C.平面平面 D.点到平面的距离为定值【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，令，得，令，得，，对于A，，显然，即，，而，平面，因此平面，A正确；对于B，由平面，平面，得，因为，，平面，则平面，于是为平面的一个法向量，，设直线与平面所成角为，则不是定值，B错误；对于C，由选项A知平面，即为平面的一个法向量，而，则，即有，又，平面，因此平面，则平面平面，C正确；对于D，显然，因此点到平面的距离为，为定值，D正确.故选：B8.设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解.【详解】因为圆：的标准方程为；圆：的标准方程为：所以和的圆心坐标分别为、，半径，，所以直线的斜率，而直线的斜率为1所以直线与直线垂直，如图，所以当与和共线时最小，此时，又此时，，所以最小值为.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错不得分.9.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（）A. B.C. D.的长为【答案】AC【解析】【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长.【详解】∵，故A正确.∵.故B错误.又∵，.，；，..∴.故C正确.∵，∴.故D错误.故选：AC.10.已知圆，则（）A.圆与直线必有两个交点B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2【答案】AC【解析】【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D.【详解】对于A，将直线整理得，由，知，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，故A正确；对于B，圆的圆心到直线的距离为，所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B错误；对于C，将圆化成标准形式为，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，解得，故C正确；对于D，连接，因为为切点，所以，所以，且当最小时，最小，所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，所以，所以，故D错误.故选：AC.11.如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（）A. B.三棱锥的外接球的半径为C.当异面直线和所成的角为时， D.点F到平面与到平面的距离相等【答案】ACD【解析】【分析】在菱形中，过点作直线，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量求出线线角判断AC；求出点到平面距离判断D；分析棱锥外接球球心并求出球半径判断B.【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，则，由，得，则，对于A，，，则，于是，A正确；对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为，则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上，因此，三棱锥的外接球，B错误；对于C，，由异面直线和所成的角为，得，整理得，而，解得，C正确；对于D，，设平面与平面的法向量分别为，，令，得，，令，得，而，则点F到平面的距离，点F到平面距离，显然，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为______小时.【答案】【解析】【分析】首先根据已知条件作出图形，圆半径，利用锐角三角函数的定义可求出BE的长，易知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长，进而求出弦长，最后用弦长除以台风的移动速度即可求解.【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点.在中，由锐角三角函数，得，在中，由勾股定理，得，所以，因为台风中心的移动速度为，所以B城市处于危险区内的时间为.故答案为：2.13.设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围.【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则有，，，，则，得，所以，，显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是.故答案为：14.已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为______【答案】.【解析】【分析】取中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案.【详解】取中点为，连接，如图所示：则，又，，故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为，因为，，所以，即，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线，.（1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；（2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.【小问1详解】设原点O到直线m的距离为，则，解得或；【小问2详解】由解得，即m与n的交点为.当直线l过原点时，此时直线斜率为，所以直线l的方程为；当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得，所以直线l的方程为.故满足条件的直线l的方程为或.16.已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，设出圆的方程，再结合两点之间的距离公式，以及直线垂直的性质，即可求解．（2）先求出直线的定点，再判断定点在圆内，再结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．【小问1详解】依题意，圆心在轴上，可设圆的方程为，圆与直线相切于点，，解得，，故圆的方程为．【小问2详解】直线：，，令，解得，直线过定点，又圆的方程为．所以圆心，半径，，故定点在圆的内部，当直线与直线垂直时，弦取得最小值，，，，弦的最短长度为．17.如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【小问1详解】∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，故又∵，，∴∵，∴，∴∴，又∵，，平面∴平面【小问2详解】取的中点，连接，则，由(1)可知，∵，∴平面，又∵∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，∵平面，∴，四边形为矩形，∴平面的一个法向量为.设平面的一条法向量为，，由得令，则，平面一个法向量为则平面与平面的夹角的余弦值为∴平面和平面夹角的余弦值为18.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．（1）若为棱中点，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，位于靠近点三等分点处满足题意.【解析】【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.【小问1详解】取中点，连接，分别为的中点，，底面四边形是矩形，为棱的中点，，．，，故四边形是平行四边形，．又平面，平面，平面．【小问2详解】假设在棱上存在点满足题意，在等边中，为的中点，所以，又平面