2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1.若xy≠−1，且4x2+9x+3=03y22.11+2+11+2+33.已知正实数a，b，c满足a+b+c=6，则a2+184.已知函数y=|x2+2x−a+3|，当−2≤x≤1时，y有最大值5，则a5.已知△ABC中，BC上的一点D，2BD=CD，∠DAC=30°，则∠ABD的最大值为______．6.若点T为线段BC中点，AT⊥DT，且AT=2，DT=1，AB//CD，BC=13，则ABCD=7.如图，在△ABC中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若BOOE=92G，O，C共线，△GEF的面积为11，则△OBC的面积为______．8.已知整数x，y，z满足xy+yz+zx=118，则x2+y9.已知x，y，z是大于1的正整数，且(x+1y)(y+1z)(z+110.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若BC=6，AB=3，∠ABD=30°，则BD=______．二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.(本小题8分)

已知P(3,4)，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx(x>0,k>0)与矩形的BP，AP分别交于D，C，△COD的面积为4.5．

(1)判断并证明直线CD与AB的关系．

(2)求k的值．

(3)若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求12.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，OH⊥BC于H．

(1)求证：2OH=AD．

(2)证明：B，O，D，C四点共圆．

(3)若BE=2CE=2，求DE．

参考答案1.−32.202320253.18

4.1或7

5.90°

6.3

7.30

8.118

9.12

10.411.解：(1)如图1，

CD//AB，理由如下：

由题意得，

C(3,k3)，D(k4,4)，

∴BD=k4，AC=k3，

∴PD=PB−BD=3−k4=12−k4，PC=PA−AC=4−k3=12−k3，

∴PDPC=34，

∴PDPC=PBPA，

∵∠P=∠P，

∴△PCD∽△PAB，

∴∠PDC=∠PBA，

∴CD/​/AB；

(2)如图2，

作DG⊥OA于G，

∵S△AOC=S△DOG=12k，

∴S△COD=S四边形AOCD−S△AOC=(S△DOG+S梯形ACDG)−S△AOC=S梯形ACDG，

∴12(AC+DG)⋅PD=4.5，

∴(4+k3)⋅(3−k4)=9，

∴k1=6，k2=−6(舍去)，

∴k=6；

(3)如图2，

取点A′(−3,0)，B′(0,−4)，

则直线A′B′与直线AB关于O对称，

连接EO，并延长交A′B′于H，连接FH，

则OE=OH，

∵M是EF的中点，

∴OM=12FH，

∴当FH最小时，OM最小，

作直线QH//AB，交y轴与Q，且使QR12.解：(1)根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC，

∵BF是直径，

∴FA⊥AB，FC⊥BC，

∵D为垂心，

∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，

∴FA//CD，FC//AD，

∴AFCD是平行四边形，

∴AF=CD，

∵∠BAC=60°，OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴OH=12OB，

设半径为r，BM=32r，

∴BC=3r，

又∵OH=12CF，

∴AD=2OH；

(2)∵D为垂心，

∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，

∴∠ACD=30°，

∴∠CDM=60°，

∴∠BDC=120°，

∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，

∴B、C、D、O四点共圆；

(3)设DE=x，

∵BE=2CE=2，

∴CE=1，

∵在直角△B