2024-2025学年河南省鹤壁高中高三（上）第二次月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省鹤壁高中高三（上）第二次月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x<0时，f(x)>0.给出以下四个结论：①f(0)=0；②f(x)可能是偶函数；③f(x)在[m,n]上一定存在最大值f(n)；④f(x−1)>0的解集为{x|x<1}.共中正确的结论的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知a=log47，b=log930，c=eln32A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a3.定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且当x>0时，不等式f(x)>−xf′(x)恒成立，则函数g(x)=xf(x)+lgA.1 B.2 C.3 D.44.设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是(

)A.P(B)=914 B.P(AB)=67

C.P(A|B)=15 5.将函数y=x−12cos2x+12，x∈[0,π4]的图像绕原点逆时针旋转θ角，得到曲线C.A.12 B.ππ+2 C.236.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB=c2，且|CA+CBA.π6 B.π3 C.π47.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2=A.19 B.7−23 C.3−28.已知R上的可导函数f(x)的函数图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为(

)A.(−1,0)∪(1,+∞)

B.(−∞,−2)∪(1,2)

C.(−∞,−1)∪(1,+∞)

D.(−1,1)∪(2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2满足|z1−4i|=|z1−5i|，|z2−1+2i|=2(i为虚数单位A.|z2−z−1|的最小值为12

B.|z2−z1|10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D−ABC和E−ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则(

)A.该几何体的表面积为332

B.该几何体的体积为36

C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直

11.已知集合A，B满足B={(x,y,z)|x+y+z=11，x，y，z∈A}，则下列说法正确的是(

)A.若A={−2,0,1,13}，则B中的元素的个数为1

B.若A={x|x=2k+1,k∈N}，则B中的元素的个数为15

C.若A=N+，则B中的元素的个数为45

D.若A=N，则B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3：2.根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为

．13.若点P(x,y)是曲线3x2+2314.已知θ∈(0,π2)，sin(θ−π4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ex，g(x)=f(1−x)+f(1+x)．

(1)判断函数g(x)的奇偶性并予以证明；

(2)若存在x使得不等式g(x)⩽m成立，求实数m16.(本小题15分)

为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据(单位：小时)：

甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；

乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．

假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．

(Ⅰ)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．

(Ⅱ)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为s12、乙单位职工户外运动时长的方差为s22，写出s12与17.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，且VA−BCD=36．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)在棱AD上是否存在点E，使二面角E−BC−D的大小为18.(本小题17分)

已知圆M：(x+5)2+y2=9的圆心为M，圆N：(x−5)2+y2=1的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．

(1)证明：曲线C为双曲线的一支；

(2)已知点P(2,0)19.(本小题17分)

设函数y=F(x)的定义域为I，若x0∈I，曲线y=F(x)在x=x0处的切线l与曲线y=F(x)有n个公共点，则称(x0,F(x0))为函数F(x)的“n度点”，切线l为一条“n度切线”．

(1)判断点(1,f(1))是否为函数f(x)=x−2x−3lnx的“2度点”，说明理由；

(2)设函数g(x)=ex+ax2−ex．

①直线参考答案1.B

2.C

3.C

4.C

5.A

6.C

7.D

8.A

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.0.946

13.1214.−215.解：(1)函数g(x)为偶函数，

证明：因为函数f(x)=ex，g(x)=f(1−x)+f(1+x)，

所以g(x)=f(1−x)+f(1+x)=e1−x+e1+x，

又因为g(x)的定义域为R，对于∀x∈R，都有−x∈R，

而且g(−x)=e1−x+e1+x=g(x)，

所以g(x)为偶函数．

(2)因为存在x使得不等式g(x)⩽m成立，

所以有g(x)min⩽m，

由基本不等式可得g(x)=e1−x+e16.解：(Ⅰ)样本中有9名乙单位职工，其中有2人的户外运动时长不足20小时，

所以乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工的概率约为29，

故乙单位约有1800×29=400名职工参加此次体检；

(Ⅱ)从甲单位中随机选出1人，其夏天户外运动时长不少于35小时的概率为510=12，

从乙单位中随机选出1人，其夏天户外运动时长不少于35小时的概率为39=13，

由题设，X的可能取值为0，1，2，3，

则X0123P1511所以X的数学期望E(X)=0×16+1×512+2×13+3×112=43；

(Ⅲ)17.(1)证明：∵AB=AD，O为BD中点，∴OA⊥BD；

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA⊥BD，

∴OA⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，∴OA⊥CD．

(2)解：取CD，BC中点G，F，连接OG，OF，

建立空间直角坐标系如下图所示，

∵S△BCD=12×2×32=32，∴VA−BCD=13S△BCD⋅OA=36OA=36，解得：OA=1，

∴B(12,−32,0)，C(12,32,0)，D(−12,32,0)，A(0,0,1)，∴BC=(0,3,0)，AD=(−12,32,−1)，AB=(12,−32,−1)，18.解：(1)证明：易知圆M的圆心为M(−5,0)，圆N的圆心为N(5,0)，

设圆E的圆心为E(x,y)，半径为r，

因为圆M半径为3，圆N半径为1，

所以|EM|=r+3，|EN|=r−1，

此时|EM|−|EN|=4<|MN|=25，

由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为4的双曲线的右支，

又M(−5,0)，N(5,0)，

所以动圆的圆心E的轨迹方程为x24−y2=1(x≥2)，

即曲线C的方程为x24−y2=1(x≥2)；

(2)设直线l的方程为x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1≥2，x2≥2，

联立x=my+tx24−y2=1，消去x并整理得(m2−4)y2+2mty+t2−4=0，

此时m2−4≠0且Δ=16(m219.解：(1)点(1,f(1))为函数f(x)=x−2x−3lnx的“2度点”，理由如下：

因为f(x)=x−2x−3lnx，所以f′(x)=1+2x2−3x，f′(1)=0，

则函数f(x)在点(1,−1)处的切线方程l：y=−1，

将切线l的方程与f(x)=x−2x−3lnx联立得x−2x−3lnx+1=0，

记ℎ(x)=x−2x−3lnx+1，

因为ℎ′(x)=1+2x2−3x=x2−3x+2x2=(x−1)(x−2)x2，

当1<x<2时，ℎ′(x)<0，当0<x<1和x>2时，ℎ′(x)>0，

则ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

所以ℎ(x)在x=1处取得极大值，ℎ(1)=0，

ℎ(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，

所以ℎ(x)在x=2处取得极小值，

ℎ(2)=2−3ln2=lne2−ln8，因为e2<8，所以ℎ(2)<0，

又因为ℎ(e2)=e2−2e2−6+1=e2−2e2−5>0，

所以ℎ(x)在(2,+∞)上存在唯一零点，

则点(1,f(1))为函数f(x)=x−2x−3lnx的“2度点”．

(2)①设直线y=2x−1与曲线y=g(x)相切于点P(x1,2x1−1)，

因为g(x)=ex+ax2−ex，所以g′(x)=ex+2ax−e，

则2x1−1=ex1+ax12−ex1ex1+2ax1−e=2，整理得ex1(x1−2)+ex1+2x1−2=0，

对于给定函数p(x)我们定义它的导数为