数学建模材料

数学建模论文格式

（-）论文形式：科学论文

科学论文是对某一课题进行探讨、研究，表述新的科学研究成果或创见的文章。

注意：它不是感想，也不是调查报告。

（二）论文选题：新颖，有意义，力所能及。

要求：

有背景.

应用问题要来源于学生生活及其周围世界的真实问题，要有具体的对象和真实的数据。理论问题要

了解问题的研究现状及其理论价值。要做必要的学术调研和研究特色。

有价值

有一定的应用价值，或理论价值，或教育价值，学生通过课题的研究可以掌握必须的科学概念，提

升科学研究的能力。

有基础

对所研究问题的背景有一定了解，掌握一定量的参考文献，积累了一些解决问题的方法，所研究问

题的数据资料是能够获得的。

有特色

思路创新，有别于传统研究的新思路；

方法创新，针对具体问题的特点，对传统方法的改进和创新；

结果创新，要有新的，更深层次的结果。

问题可行

适合学生自己探究并能够完成，要有学生的特色，所用知识应该不超过初中生（高中生）的能力范

围。

（三）（数学应用问题）数据资料：来源可靠，引用合理，目标明确

要求：

数据真实可靠，不是编的数学题目；

数据分析合理，采用分析方法得当。

（四）（数学应用问题）数学模型：通过抽象和化简，使用数学语言对实际问题的一个近似描述，以

便于人们更深刻地认识所研究的对象。

要求：

抽象化简适中，太强，太弱都不好；

抽象出的数学问题，参数选择源于实际，变量意义明确：

数学推理严格，计算准确无误，得出结论；

将所得结论回归到实际中，进行分析和检验，最终解决问题，或者提出建设性意见；

问题和方法的进一步推广和展望。

（五）（数学理论问题）问题的研究现状和研究意义：了解透彻

要求：

对问题了解足够清楚，其中指导教师的作用不容忽视；

问题解答推理严禁，计算无误；

突出研究的特色和价值。

（六）论文格式：符合规范，内容齐全，排版美观

1.标题：是以最恰当、最简明的词语反映论文中主要内容的逻辑组合。

要求：反映内容准确得体，外延内涵恰如其分，用语凝练醒目。

2.摘要：全文主要内容的简短陈述。

要求：

1）摘要必须指明研究的主要内容，使用的主要方法，得到的主要结论和成果；

2）摘要用语必须十分简练，内容亦须充分概括。文字不能太长，6000字以内的文章摘要一般不超

过300字；

3）不要举例，不要讲过程，不用图表，不做自我评价。

3.关键词：文章中心内容所涉及的重要的单词，以便于信息检索。

要求：数量不要多，以3-5各为宜，不要过于生僻。

（七）.正文

1）前言：

问题的背景：问题的来源；

提出问题：需要研究的内容及其意义；

文献综述：国内外有关研究现状的回顾和存在的问题；

概括介绍论文的内容，问题的结论和所使用的方法。

2）主体：

（数学应用问题）数学模型的组建、分析、检验和应用等。

（数学理论问题）推理论证，得出结论等。

3）讨论：

解释研究的结果，揭示研究的价值，指出应用前景，提出研究的不足。

要求:

1）背景介绍清楚，问题提出自然;

2）思路清晰，涉及到得数据真是可靠，推理严密，计算无误；

3）突出所研究问题的难点和意义。

5.参考文献：

是在文章最后所列出的文献目录。他们是在论文研究过程中所参考引用的主要文献资料，是为了说

明文中所引用的的论点、公式、数据的来源以表示对前人成果的尊重和提供进一步检索的线索。

要求：

1）文献目录必须规范标注；

2）文末所引的文献都应是论文中使用过的文献，并且必须在正文中标明。

（初等模型）

1.以下是一个数学游戏：

（1）甲先说一个不超过6的正整数，乙往上加一个不超过6的正整数，甲再往上加一个正整

数，...，如此继续下去。规定谁先加到50谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？

（2）如将6改为n,将50改为N,问题又当如何回答？

2.甲乙两人约定中午12：00至1：00之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等待对方

10分钟，求这两人能相遇的概率。

3.某人由A处到位于某河流同侧的B处去，途中需要去河边取些水，问此人应如何走才能使

走的总路程最少？

4.敏感问题的调查

5.地面是球面的一部分，（直径约为12.72X10公里），显然，如果高层建筑的墙是完全垂

直于地面的则它们之间必不会平行。设一建筑物高为400米，地面面积为2500平方米，问顶面

面积比地面面积大多少？

6.建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：（1）若你行走的方向是顺风且雨

的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其

他情况下，你都应以最快的速度行走。

7.消防队员救火时不应离失火的房屋太近，以免发生危险。请建模分析并求出消防队员既安

全又能发挥效应的最佳位置。

8.已知在气体中音速V与气压P、气体的密度P有关，试求它们之间的关系。

9.风车的功率P与风速V、叶面的顶风面积S及空气的密度P有关，试求它们之间的关系。

（微分方程模型）

1.一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k>0。设融化中

雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8,问雪堆全部融化还需要

多长时间？

2.从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第­•小时大约融化了1/4

（1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）

（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？

3.一展开角为a的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），

试求漏斗中的水流光需要多少时间？

4.容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设卜分钟后温度计读数为70度，

又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。

5.一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小

时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？

6.设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水,

容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后

容器里的盐水中还含有多少净盐？

7.某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,

该伞降兵的初始下落速度为0,经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6/

试球给伞降兵下落的速度v（t）,并求其下落的极限速度。

8.1988年8月5日英国人MikeMcCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上

跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。

9

9.证明对数螺线r=Ae不上任一处的切线与极径的夹角a的正切为一常数，（tana=心）

10.实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一

包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果

会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？

11.生态学家估计人的内禀增长率约为0.029,（3口1961年世界人口数为30.6亿（3.06X109）

而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少

（2）何时将是世界人口增长最快的时候？

12.早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（叱=4/其中儿为常数），（1）求肿瘤的增

dt

倍时间。。根据统计资料，一般有。e（7,465）（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多

大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故。是确定肿瘤性质的重要

参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人

肿瘤直径增大速度的公式

t

?

D=Do2

13.正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10Um,重约0.001ug.,（1）当患者被查

出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期

已有30。天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌

细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使

病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计••个可行的治疗方案（医生认为

当体内癌细胞数小于10$个时即可凭借体内免疫系统杀灭。

14.设药物吸收系数左1＜小（"为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的

峰值（峰浓度）级达峰时间。

15.医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生

副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓

度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。

16.在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在

1950年做过检测，测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个，已知碳14的半衰期为5568年，

试求这些壁画的年龄（精确到百年）。

17.2000年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳14仅为原有量的14%,

试计算该动物大约生活在什么时候。

18.1956年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓，从该墓中发掘到的文物的每克

每分钟衰减数为3.06个，试确定该古墓的年代。

19.实验测得一克镭在一年中会衰变掉0.44毫克，据此你能推算出镭的半衰期吗？

20.根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量的乘

积成正比。设初始时刻溶液中两种物质的数量分别为A和B,两物质反应的质量之比为a:b,

求t时刻溶液中生成物的数量x⑴。

21.牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5

•c,法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度，一小时后再次测量，测的体温约为30.5

度，试推测该受害者的受害时间。

22.已知铀238的半衰期为4.51-10年，已测出某颜料每克白铅中铀238的分解数为100个/

每分钟，试计算：

（1）每克白铅中有多少铀238分子

（2）铀在这种白铅中所占的百分比有多大？

23.人们普遍认为新产品的畅销期为x〈力位于0.2K至0.84之间，试求新产品畅销期的持续

时间长度。

24.某人每天由饮食获取2500大卡的热量，其中新陈代谢约需1200大卡，每公斤体重约需运

动消耗16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于10000大卡，求此人体重的增长公

式及极限体重。

25.由于各级火箭的质量不同，4应当是不同的。请对三级火箭求出最优设计。

26.在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试

建一模型研究这一问题。

27.医生发现，麻疹有以下明显特征：（1）潜伏期大约为1/2周，在潜伏期内的孩子从表面

上看完全是正常的，但他（她）却会把疾病传染给别的孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被

隔离且病愈后具有免疫能力（2）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一-些。考虑这

两个特征并选用适当的参数建模，使结果大致有1/2周的潜伏期及大约两年的周期性。

28.人工肾的功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通。人工肾里流动着某

种液体，流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜渗透到人工肾中流

动的液体里，试建立模型来描写这一现象。

29.自治系统平衡点的稳定性也可利用等斜线来讨论。例如，对（3.23）曲线/（x1；x2）=0和

g（x1；x2）=0可以证明：任一轨线都必垂直地穿过的等斜线而水平地穿过g的等斜线。利用

这-点画出P-P模型平衡点周围的轨线。

=勺（&-axj-Z?x2）

30.丝=々（-勺+61-打）是某一捕食系统的数学模型，其中包〉与。研究此捕食系统,

dtca

证明：不管开始时食饵々多么丰富，捕食种群叼最终必将绝灭。

31.大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你会遇

到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏

感性。

32.香烟的过滤嘴有多大作用？与使用的材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清

华大学姜启源教授的“数学模型”书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立的模型与

那里给出的模型作一比较，看看你自己的模型建得如何）。

（逻辑模型）

1.设P为任一正整数且p不是某数的完全平方，证明P的平方根必为无理数

2.证明自然数中有无穷多个素数

3.证明每两个相邻的奇素数之和必可表示为3个大于1的整数的乘积，例如3+5=2X2X2,

7+11=2X3X3等。

4.一条直线将平面划分成两部分,两条直线最多能将平面划分成4部分，……，n条直线最多

可将平面划分成多少部分？请证明你的猜测。

5.证明在7阶两色完全图中必存在4个3阶单色完全图

6.9名学者参加一次国际会议，他们发现：（1）任意3人中至少有两人可以用同一语言交谈

（2）每人会讲的语言至多为3种，（注意：并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有3人

可用同一语言交谈。

7.将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。证明：不论怎样着色,

总可以从此完全图中找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。

8.举例证明：存在只含两个三阶单色完全图的6阶双色完全图。

9.证明：在7阶双色完全图中至少存在4个三阶单色完全图。

10.举例证明：存在只含4个三阶单色完全图的7阶双色完全图。

11.给九个定点的完全图用红蓝两种颜色对边着色，如果所含的任意三角形中至少含有一条红

边，证明：必可找到四个顶点，他们之间的连线均为红边，（即其中必含有一个用红边连成的

4阶完全图）。

12.在一次9个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这9人中必可找出4

人，他们是两两相识的。

13.某教室中共有9排椅子，每排均有7把，学生恰好坐满教室。现教师要求每一学生都必须

与其前、后、左、右的同学之一交换座位。请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实

现的。

14.有一个8X8格的正方形迷宫，任意相邻的两格间都有门相通，考虑以卜问题：（1）项从

最左下的格子进入迷宫，不重复地进入每一格子一次，最后由最右上方的格子走出迷宫，问这

一想法能否实现。(2)仍从最下格进入迷宫，想进入每一格子一次最后从某格走出迷宫，这一

想法在什么情况下是可以实现的？

15.画出两个网络，根据这两个网络可以构造出两个不同的10阶完美长方形(不能相似)

16.设f(n)是正整数n的函数，其值为非负整数且：(1)f(m+n)-f(m)-f(n)=0或

1(2)f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333

求f(2002)

17.令f(x)=—+x+ll,你会发现f(l)=13,f(2)=17,f(3)=23,f(4)=31,……，

所有计算结果都是素数。据此猜测：对一切正整数n,f(n)均为素数。这一猜测对吗？请研究

这一问题，并给出你的结果。

18.请按德.拉.鲁拜尔法则作出一个7阶的魔方

19.证明n阶魔方的行和、列和等均为+1),例如，你上题求得的7阶魔方的行和等

应为175»

20.研究为什么可以用德.拉.鲁拜尔法则来构造奇数阶的魔方是十分有趣的，你愿意试一下

吗？(提示：方法之一是研究其中的对称性，你不妨可以用定义、定理、推论的方法来逐步证

明。方法之二是将所有的数都减去1，然后利用n进制来表示所有的数，仔细观察一下，你就

会找到原因了)

21.设计出一种调整方法，利用图11.10中的4个3阶魔方构造出一个6阶魔方。得出你的6

阶魔方后，总结一下你获得成功的原因，或许你还能想出别的办法来。

22.计算例7中的城2、城3各应负担多少费用。

23.某公司场地如交给甲经营预计年获利为10万元，交给乙经营预计年获利为50万元，交给

丙经营预计获利为60万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为100万元。试用Shapley公式计

算，在甲乙丙共同经营时各方应分配到的利益。

24.若只有两名候选人，证明简单多数规则满足Arrow的公理1-5

25.举例说明简单多数规则和Borda数规则不能满足Arrow的所有公理。

26.议会有100个席位，分别为4个党派所拥有，党派A、B、C、D各拥有的席位数为40、30、

20和10席。设法律规定提案被通过至少需达到2/3多数赞成，试用Shapley的公式计算各党

派在议会中的权重，(设同党派议员投票一致)。

27.设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。试证明：

(1)只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。

(2)若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，(不

论它拥有多少席位)。

28.设某实验可能出现n种结果，则每次实验提供的平均信息量为嫡。证明：如将实验设计成

出现每种结果的概率相等(均为1/n),则能使每次实验提供的平均信息量最大(离散实验的

最大嫡原理）。

29.猜数是最古老的数学游戏之一，有各种各样的玩法。下面的猜数游戏比较简单：甲先想好

一个不超过三位（0T99之一）的数字让乙猜。在猜数时甲可以随便改变自己想好的数，但不

能与此前已经回答过的问题相矛盾。乙可提问题，但甲只回答是或者不是。（1）试计算乙最少

要提问几次，才能讲出甲的数字。（2）设计个使乙能通过最少次数提问而讲出甲想的数字的

提问方法。

30.在例16伪币鉴定的实验中，第二次测试是最关键的一步，请考虑一下我们为什么要这样

设计测试。我们有这样的把握，如果用这种方法也无法保证在三次测试里一定鉴定出伪币，则

不可能有方法保证在三次测试后一定找到伪币。你知道原因吗？

31.举例证明：对多种商品的情况，按八一/。定义的物价指数均不可能同时满足公理系统

的要求。

o

32.举一实例说明Laspeyres公式I=不满足公理（7）。

qP

33.关于物价指数的8条公理不是互相独立的，证明（1）（2）（3）可推出（4）,（2）（3）

（7）可推出（5）。

公交车的调度

杜克勤童颜李科

摘要：本文解决的是一个公交车调度问题，目的是用尽可能少的车来运送乘客，

同时不能让乘客等待时间过长，也不能超载。

文中提出了一种解决本问题的新颖的模型。通过分析知，一个时区内需要

的车只与该时区内车站的最大转移客流量有关，于是我们对题目所给的数据进

行一系列变换处理，求出每个时段发的车的最大转移客流量，得到一个新的表格。

根据最大转移客流量，用线性规划的方法可以求出我们这个模型需要发车次数的

最小值，然后综合考虑乘客的等待时间等我们可以给出各个时区的发车次数，进

而确定全天发车时间表，由发车时间表，我们同样用线性规划方法求出需要的最

少车辆数。

用我们构造的模型，求出了一个可行的调度计划，并给出了发车时刻表。每

个方向的全天发车次数为237,需要的57辆公交车。通过编程模拟得出平均等

待时间2.17min和平均满载率81.6%,对这个解进行了评价，说明了本模型的特

点，并指出了进一步优化改进的方向。最后用一个模拟搜索方法又求出一个解，

并与第一个解相比较。

一问题的提出

这是一个公共汽车调度问题。题目给出了来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调

查和运营资料

该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，题目给出的是典型的一个工作日两

个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准

载客100人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客

候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%,

一般也不要低F50%。

我们的目标就是根据题目所给的这些统计资料，把调度问题抽象成一个明确完整的数学

模型，并求解，根据我们的解，给公交公司制定一个公交车调度方案和起点站的发车时刻表，

使公交公司能够有效降低成本，但又不能牺牲乘客的利益。

二基本假设

1.1.候车队伍有良好的秩序；即要保证乘客先来先乘车的原则；

2.2.忽略其它情况对公交车的影响，即公交车以20公里/小时的速度匀速行驶；不计乘

客上、下车的时间及公交车起动、加速、滑行、制动时间（因为题中给的是平均速度）；

3.3.从i：°°-G+l）：0°时间段内到达某站的乘客数服从均匀分布：

4.4.公交公司只对公交车进行调度但在允许的范围内不限制乘客上车；既只要该车乘客

数不大于120则允许乘客上车，直到达到120为止；

5.5.每个时间段的发车间隔时间是确定的而且平均的o

三符号说明与概念引进

3.1概念引进

11时区--我们规定两相邻正点之间的单位时间间隔为一个时区，并给之编号

5：00-6：001时区

6：00-7：002时区

21：00-22：0017时.区

22：00-23：0018时区

22跨时区--当一辆公交车从，时区出发在到达目的地之前已经进入下一个，+1时区

时，我们就称为产生了跨时区。

33站间转移客流量/（，，/）-…有多少乘客乘坐，时区发出的车经过j车站到达）+1车站

（包括在/车站上车的乘客，）。

44如果一个乘客是在，•时区来到,车站乘车的，我们称该乘客来自，时区

3.2符号说明

1L、4、k……h分别代表各个时区内发车的时间间隔

2〃1〃2〃3…〃分别代表各个时区内发车的总次数

3在i时区j车站的净上车客流量

4站间转移客流量（见上面定义）

5IT（'，/）：/车站来自，•时区的人被发自，一1时区的车运走的数量

6N（i,j）：i时区内发出的所有车在/车站运走的净乘客数量（上车人数减下车人数）。

四问题的分析

我们应该在满足乘客的等待时间要求的前提下，合适地安排发车次数，得到发车时刻表，

使得发车次数尽可能的少，而且用到的车辆尽可能少。

我们的目标是求每一个时区内发车的次数，发车的次数由在该时区内发出的车要要运

送的乘客数量决定，那么我们就要求各个时区发出的车分别要运送的乘客数。知道了要运送

的乘客数，就可以用线性规划求发车车次〃知道了发车车次，我们进而可以列出发车

时刻表，通过时刻表，可以用线性规划求最少车辆。

五模型的建立和求解起点Ak点

5:00

数量为4）：

当j=l时.，上车的乘客数为：人+“6、，；

下车的乘客数为：d5+d6xt

当24/417时，上车的乘客数为：M,-»,xr+w.+1xr

下车的乘客数为：4-4r+4+产

当j=18时，上车的乘客数为：U22-«22XZ

下车的乘客数为：^22~^22Xt

我们再引入两个附加假设：

附加假设一：假设，时区发出的第一•辆与最后•辆车到达/车站的时刻分别为乙0）,JO）,在

。W到f20）这个时间间隔内，乘客的到来服从均匀分布。

（原来假设一个时区里来人是均匀的；当求出在40）到GO）内来的人数后，再认为这段时间内来

人均匀）

附加假设二：假设i时区发出的车能够把G0）-，20）这个时间间隔内来到,车站的乘客全部运走。

下面我们要解决的问题：具体求出，时区发出的车要运多少乘客

命题一：在考虑车站转移客流量时，在一个站我们分别考虑上下车人数与我们考虑净上车

人数是等价的。

命题二：每个时区内公交车的发车次数的下限由这个时区内相邻两站间最大转移客流量

maxM（i,1）决定。

证明：maxM（‘，1’）表示在i时区要经由/车站向下的乘客，我们要保证人能被运走，但又不能超载，

<maxA/（z,J）

即满载率不能超过120%,那么如果‘120，必然导致该站的部分乘客滞留。

命题三：在第，时区来•/车站的乘客是被发自时区和发自i时区的车共同运走的，而且被时

区的车运走的乘客TTG，力占•/车站总乘客的比例由•/车站距始发站的距离决定。

推论：第i时区内发的车从/车站运走的乘客来自于i时区和i+1时区，运送的i+1时区的乘客

1（i+L））占总乘客的比例也由,车站距始发站的距离决定。

由这四个命题我们可以得出的一个算法：

1）1）计算i时区•/车站净上车人数的"）（f=l,2,---17,18.j=13,12,11,•••2,1,0）.

2）2）计算加（0）和（G+1，/）口-（，力为在7时区来的乘客被"1时区发出的车运

走的数量，*（'+L加为从i时区发的车运送的在i+1时区来的乘客）

3）3）计算，时区发出的车需从/车站运走的乘客的数量'（'，/）,

4）4）计算i时区，车站的转移客流量例（对于上行方向来说）,

即i时区内发出的车从起点站到j站的净上车人数之和。

5）5）据i时区内各车站的最大转移客流量maxM（i,j）和需要的发车次数〃，的关系：

max加（'，/）<%*120

从而确定〃，的最小值。

用以上算法，将原表格变换成为一个新的表格，用来求发车次数。

我们编了一个程序来计算每个车站由i时区出发的车的转移客流量，最后求的结果列表如下：（各

个时区的最大转移客流量用粗体标出）

表1：上行方向的各个车站的转移客流量

博弈论的数学模型

作者：竺可桢学院01混合班

王大方何需邹铭

摘要

博弈论现在得到了广泛的应用，涉及到人的决策问题都可以用博弈论的模型加以解释。本文首

先用数学的方法表述实际生活中的博弈行为，并导出一般情况下的博弈的结果，进而讨论些不同

的外部约束条件对博弈过程的影响。我们用经济学中的垄断竞争现象作为博弈问题的一个实例，讨

论生产者在不同状态下的决策，进而分析双方共谋的动机和可能性。

(-)基本博弈模型的建立

一，博弈行为的表述

博弈的标准式包括：

1.1.博弈的参与者。

2.2.每一个参与者可供选择的战略集。

3.3.针对所有参与者可能选择的战略组合，每一个参与者获得的利益在n人博弈中，

用Si为参与者i的可以选择战略空间，其中任意一个特定的纯战略为Si，其中任意特定的纯战

略为Si，s£Si,

n元函数5(si.S2,……sn),当n个博弈者的决策为“S2,……s”时,表示第1各参与者的收益

函数。

二，博弈的解

’当博弈进入一个稳定状态时，参与者选择的战略必然是针对其他参与者既定战略的

最优反应，在此状态下没有人愿意单独背离当前的局势。这个局势叫纳什均衡：

在n个参与者标准式博弈，G=｛S|.S2.....Sn；川，U2.....Un｝中，若战略组合｛S|*,S2*......s；｝

满足对每一个参与者i,Si*是针对｛sj.S2*,……Si；,Si+J……S；｝的最优反应战略，，目标战略组合

｛sj,s2".S；｝为该博弈的纳什均衡。即：Ui｛S；.S2*Si-；,Si*,S*I*Sn*｝\Ui｛S|*.S2\S”*,

Si，Si+/...s；｝,对一切sgSi均成立。

纳什于1950年证明在任何有限个参与者，且每个参与者可选择的纯战略为有限个的博弈中，均

存在纳什均衡。(包括混合战略)混合战略指认某种概率分布来取一个战略空间中的战略，在本文中

不加讨论。

在一般情况中，纳什证明保证了我们的均衡分析有意义。

三，博弈实例：单阶段博弈古诺竞争

在古诺竞争中，少数厂商通过改变产量来控制价格，以使他们的收益最大化。

我们作如下假设：

1.1.厂商生产的商品是相同的，消费者没有对某家厂商的偏好。

2.2.市场上价格与供给量的函数为p=a-bQ,且供给增加不会导致过剩，而仅仅使价格降低，即

厂商可以将生产的产品全部售出。

3.3.厂商都是理性的，即面对既定的情况都做出决策使自己利益最大化。

4.4.信息是完全的，每个厂商都知道其他厂商时理性的，且福个厂商知道别人是理性的这一事

实为所有参与者的共识。

(二)博弈模型的求解与讨论

为了简单起见，我们从一家企业的情况做起：

只有一家企业时，目标收益函数u=Q(a-bQ)

针对maxu的解为Qo=a/2b,u()=a2/4b

当有两家企业时，设产量分别为Q”Q2,则

p=a-b(Q]4-Q2)

UI(Qi，Q2)=p*Qi=Q[a-b(Q1+Q2)]

U2(Q"Q2)=p*Q2=Q[a-b(Q1+Q2)]

纳什均衡点QJ,Qj为方程组

血/SQi=()

(i)

网/双=0(2)的解。

整理，得到

2bQi+bQ2=a(3)

bQi+2bQ2=a(4)

解得Qi*=Q2*=a/3b>对应的U|=U2=a2/9b

纳什均衡点是一个极值点，一旦达到该点时双方都没有率先改变的动机。

下面我们讨论纳什均衡点的孤立性，即在对方初始决策不在纳什均衡时，双方能否通过理性的

利益最大化策略使博弈形势变化至纳什均衡点。

(1)式表示厂商1的最优函数，在给定对方产量Q时它根据(1)来使自己收益最大，由(3)式,

厂商最优函数为Q尸(a-bQ2)/2b同样(2)时表示厂商(2)的最优函数，由(4)式，厂商2的最

优函数为Q2=(a-bQi)/2b

这是两条直线，如图，交点E为纳什均衡点。

QI

AB为厂商1的最优函数，CD为厂商2的最优函数，

当双方的初始选择点为A,即Qi=0,Q2=a/b,A在厂商1最优函数上，故厂商1不会改变，但

厂商2针对Qi=0的最有点为C,于是双方的决策点转移到C,在C点厂商1会调整自己的产量时双

方决策点到F,然厂商2又会调整策略到CD上，以此类推，最后将到达E点，在第一象限的任何

初始选择点，按以上分析双方都能经过一系列调整到达E点。

在完全信息的假设下，上面这一系列的调整过程在任何一方决策之前就能被预测到，任何一个

厂商都回绝的任何一个异于E点的决策都不是在给定条件下最好的选择，于是双方会不约而同的按

E点做出产量决策。但是当

Q产Q2=l/2*a/2b(5)时双方才能获得最大收益。

2

Q!=Q2=l/2*a/4b(6)

这一方面说明纳什均衡点并不是•个最好的决策点，另一方面也说明与独家垄断比起来两家厂

商的竞争提高了社会效应，社会总产量从a/2b增加到了2/3*a/b=2a/3b。

当厂商数增加至n家时，模型变为

r

p=a-b*E'i=iQi(7)

5=p*Qi，i=L2,...n(8)

A%/5Q,=o1=1,2...n(9)

由归纳法可证明(9)可化为方程组(以矩阵形式表示)

21

12]1

112....1

U1....12)⑴

由等性r数分四可知，该方程组有唯一非零解

QI*=Q2*=-..Qn*=a/(n+l)b,

Ui,=a2/(n+l)2b

社会总产量为na/(n+1)b。

这说明h厂商垄断竞争也必有纳什均衡点，同样方法可证明纳什均衡点不是孤立的，于是理智

的各方均会按均衡点做产量决策。

另外n越大，竞争越彻底，社会总产量越高。当n很大时，总产量趋于a/b,此时价格p为0,

这时价格p为0,此时这个模型不适用。因为在n较小，(一般小于5)时垄断厂商才有能力通过自

己的产量来控制价格。

厂商们的整体最好选择是Qj=Q2*=……Q；==a/2nb,分别能获得收益，a?/4nb。显然n越大，厂

商们理性博弈的结果和他们的最好选择点间的差距越大。

(三)多阶段博弈与共谋

以上可以看出，作为博弈者的厂商很有必要共谋限制产量，但最好的选择点是不稳定的，率先

违约的一方都能获取额外利润，因此需要一些条件来约束双方的行为。另外共谋只有在长期过程中

才有效益，双方需要不断检查是否已经违约，并决定自己是否要违约，每次这样的过程就是上文的

单阶段博弈。

这里的信息条件为每企业在n阶段可以观察的前n-1阶段博弈结果。规则为一旦对方违约，自

己就违约，且永不守约，这为双方所共识。

我们新引入一个时间贴现因子v,0<v<l,用来计算以后阶段收益的现值，如已知下一阶段收益

为R,则折合到当阶段相当于收益为vR。一开始双方约定共同生产a/4b,每阶段收益为a?/8b,一直

守约，双方的收益为

a2(l+v+v2+...)/8b=a2/[8(1-v)b](10)

对先违约的一-方，根据对方a2/4b的产量，由(3)和(4),它的最优产量为3a/8b,该阶段收益

为

[a-b(3/8+1/4)a/b]*3/8*a/b=9a2/64b(11)

此后双方都明白共谋破裂，均按a/3b的均衡产量生产。设一方在N阶段违约，则收益为a2

(l+v+v2+...vNI)/8b+9vN/64*a2/b+vN+1*a2/[(1-v)ab](12)

(12)-(10),得[VN/64-VN+1/7,2(1-V)]*a2/b

解得当v<0.529时，先违约方有利，且违约越早，额外利润最高。此时共谋很难达成。

(四)共谋与监督问题的深入

长期博弈中，人们需要一套更为复杂的机制来维持一种非纳什均衡，以维持利益的最大化。和

之前的那个模型不同，在每一次作单阶段博弈时，人们不仅仅通过前一次的结果，而是通过一种长

期的经验来对对手做出判断。这里涉及一个信誉问题，他是一个标证不确定因素的概率，这样的模

型使得我们可以根据对手不同的策略作出最有利于自己的决断。合作的结果一般出现在离博弈结束

较远的阶段，而在最后几个阶段的博弈中博弈者往往只注重当前的利益。

我们提出的维护声誉的策略是“投桃报李”，即下一次作的决策与对手上一次的决策相同，将上

文中的垄断竞争模型修改如下：

1.1.理性博弈者B知道博弈者A有P的概率选择投桃报李的策略，有(1-P)的概率选择其他策

略(此时A即成为一个理性的人)。A也知道B时理性的。

2.2.在每个阶段N,双方都同时作决策，都知道前N-1次彼此的决策结果。一旦A未使用“投

桃报李”的原则而理性地做出利益最大化决策，则B就把A当作理性的，这一点也成为AB双

方的共识。此后的博弈退化到上文讨论的一-般完全信息理性博弈，得到的解为纳什均衡点。

单阶段博弈

对于单阶段博弈，由上文中(5)式的讨论，合作意味着厂商生产a/4b的产量，否则厂商将按

利润最大化原则生产。首先违约的厂商将生产3a/8b,获利9a2/64b,而后所有厂商均会按a/3b生产，

获利a2/9b。(为了描述方便，这里将常系数a2/b略去，下同)双方面对的策略-收益矩阵为

A\B合作不合作

合作(1/8,1/8)(5/48,5/36)

不合作(5/36,5/48)(1/9,1/9)

两阶段博弈

在两阶段博弈中，理性的B在第二阶段将选择不合作。在第一阶段开始时他要推测A的情况，

A有P的概率为投桃报李类型的，于是，若B在第一阶段选择合作，则B对第•阶段预期收益为

P*l/8+(l-P)*5/48(12)

B对第二阶段的预期收益为P*5/36+(l-P)*l/9(13)

(因为若A不是投桃报李型的，在第•阶段结束时B就会知道这一事实，双方在第二回合便选

择纳什均衡点。)

若B在第一阶段选择不合作，则B生产a/3b,(这里不合作并非生产3a/8b,因为此时B不知道

A是否为理性的博弈者，经验算我们发现a/3b的产量决策比3a/8b的决策有更高的期望受益)。于

是B对第一阶段的期望收益为5P/36+(l-P)/9;(14)

B对第二阶段的期望收益为1/9；(15)(此事无论A是否理性，双方都不会合作)。

当PN52%时，讨论式(12)+(13)-[(14)+(15)]

所以在两阶段博弈中，只要估计A会有52%的可能投桃报李，B就会选择合作。

考虑模型中信息假设，A也完全明白B以上的想法，于是A也至少有装扮“投桃报李”的动机。

三阶段博弈

现在扩展成三阶段的情况，只要B在第一阶段合作，后来的两个阶段又退化至两阶段博弈的结

果。由上文的分析,B对三个阶段的期望收益为

u,=P/8+5/48(l-P)

U2=P/8+(1-P)/9

U3=5P/36+(1-P)/9

总期望收益U1+U2+U3=47/144+P/16(16)

如果B在第一阶段不合作，则无论A是否为投桃报李型的在第二阶段都不会合作。而理性的B

在第三阶段肯定会不合作。

如果此时B在第二阶段继续选择不合作，则B从这种背离中获得的各阶段期望收益为

u,=5P/36+(l-P)/9U2=1/9U3=1/9

总期望收益UI+U2+U3=1/3+P/36(17)

比较(16),(17),得，当P220%时，式(17)＞式(16),B就没有动机在第一阶段背离。

如果B在第一阶段不合作，在第二阶段合作，第三阶段不合作，则他的各阶段期望收益为

U|=5P/36+(l-P)/9U2=5/48U,=5P/36+(l-P)/9

总期望收益为P/18+47/144恒小于(16)式，此时B也没有动机在第一阶段背离。

综上，只要A有20%的可能为投桃报李型的，B在前两阶段就没有背离合作的动机。

对于A,一旦他在第一阶段就背离合作，那么自第二阶段起A为理性的就成为博弈双方的共识,

此时他的期望收益为5/36+1/9+1/9=13/36

而A如果始终合作，其均衡收益为1/8+1/8+1/9=13/36

所以在三阶段时A是否要背离合作无所谓，不过这只是由于本问题数据特殊性的巧合。

多阶段的扩展

从上面的三个阶段扩展就可以看出，随着阶段数的增多，每个博弈者更多的会考虑长久的收益

情况，而非眼前。这意味着之需要一个很小的信誉概率P,就有可能约束对方不发生背叛的行为。

当共有T阶段博弈时，我们可以用归纳法证明理性的双方在从1到T-2阶段选择合作，而在T-1

和T阶段按照上文讨论的两回合博弈行动。假设任何t(t<T)博弈中上述假设均成立。

如果A在t<T-l的任意阶段不合作，则他是理性的便在以后的阶段成为共识，他在t期的收益

为5/36,以后均为1/9,总收益为(t-1)/8+5/36+(T-t)/9

而A的均衡收益为从1到T-2阶段每一阶段均为1/8,T-1的收益为5/36,最后一期为1/9。显

然提前违约的收益小于均衡收益。

对于B,由两阶段博弈可知，B没有在前T-2阶段合作，T-1阶段不合作的动机，B只可能再tW

T-3的阶段背离合作。一•旦B在t阶段背离合作，则无论投桃报李的还是理性的A都将在t+1阶段

不合作，于是在前t+1阶段B无法确认A是否为理性，从t+2阶段起双方的博弈等同于一个T-(t+l)

阶段的博弈。

由归纳假设，这后一部分博弈中双方会合作到T-2阶段，然后按照上文的两阶段博弈进行。B

的总收益为

u=1/8*(t-1)+5/36+5/48+[T-2-(t+2)+l]*l/8+[P/8+(l-P)*5/48+5P/36+(1-P)/9J

这小于B从1到T的均衡应益(T-2)/8+[P/8+5(l-P)/48+5P/48+(l-P)/9]

所以B也没有只背离一次的动机。

更为一般的情况是在前(T-3)次博弈中B有多次的背离与合作，则按以上方法多次使用归纳法,

可以发现获得的期望收益更少。其根本原因是率先背约者无法判断对方的真正类型，所以无法保证

自己的利益能够最大化，而一旦约定破裂后修复的成本很高，使得背信弃义的额外收益比双方合作

来的少。(5/36+5/48)<2*1/8)这样的模型就使得共谋更有约束力。

小结与进一步的研究

本文主要为静态博弈问题建立了数学模型，并用他分析了一个实例：垄断市场上的古诺竞争和

共谋。在静态博弈中，数学上的极大值就是博弈的均衡解。理性决策迫使人们的行为向利益极大值

点移动，而信息问题是理性决策最重要的前提条件，可以说不同的信息条件可以推导出不同的理性

决策。本文讨论的是最完美的信息假设：完全信息。它不仅指双方彼此了解对方的情况，而且彼此

知道对方了解自己情况这一事实，以此类推，等等，最后形成了一个无穷的递归链。最后讨论的投

桃报李模型不是完全信息的，但是它也有一套为双方所共知的评判标准来约束双方的决策。总之，

本文讨论的模型是双方都知道规则的情况下进行的博弈，这是一个对实际博弈相当理想化的简化。

在这样的简化下，如何妥善的处理无穷信息递归链，是个有待进一步研究的问题。而就垄断这个经

济问题本身而言，本模型最大的理想化就是价格与供给量成次函数关系，进一步可将这个函数关

系拟合得更符合实际，由此还可推导出不同的收益函数和多个纳什均衡点，做出进一步分析。

参考文献

罗伯特.吉本斯：《博弈论基础,APRIMERINGAMETHEORY》

约瑟夫.斯蒂格利茨：《经济学》

张涛方城等，基于累积期望差异评价策略的重复博弈仿真研究《系统工程.》2002,20(3).-87-91

霍沛军双寡头的经济捕鱼策略《数学的实践与认识》2002,32(2).-201-205

薛伟贤，冯宗宪，陈爱娟寡头市场的博弈分析《系统工程理论与实践》，2002Vol.22No.11

交通流问题数学模型的初级讨论

材料科学与工程01级3010921002郭杨3010921074柯小行

本篇用微观分析着眼于交通流运行中每一辆机动车的运动情况。每一辆车被当作•个质点来处

理。这种处理方法的前提是己知每一辆车的位置，速度，和加速度。本篇只讨论最简单的模型，即

理想化为在一条平直公路上行驶的车辆，车辆之间不允许超车。在t〈=0的时候，所有车辆均以匀

速行驶。在t=0+时，领头的车开始偏离UO一段时间，这样就对原来稳定的状态产生了波动，使他们

调节自身的速度来协调这种波动。主要有以下两个方面：

1.1.对于连着的两辆车，在哪种情况下，前-一辆车的偏离行为会导致后一辆车的过度补

偿行为？即后一辆车的调整是否超过了所需要的调整范围，从而产生了一种类似于钟摆式简谐运

动的振动。若这种振动的幅度不随时间衰减，就形成了车流问题的“局部稳定”。

2.对于一列车辆，在哪种条件下，领头车辆引起的小小扰动会随着他的继续行驶而增

大，从而引起这一列中车辆之间的碰撞？这是车流问题中的渐进稳定性问题。

为了解决这两个问题，本篇将具体讨论解决时间滞后的不同方程。

二.背景

现代社会的F1常活动在极大程度上依赖于安全高效的交通流。在过去的一些建模的例子中都有

不同程度的讨论这个问题。它能帮助降低交通阻塞和交通事故，从而实现更好的路况，设计出更好

的交通灯体以及行之有效的交通法规。本篇从简单的模型出发，分层逐步细化模型的讨论及求解，

以期能对交通流问题作另一种特别的阐述。

三.建模及求解

1.1.瞬时速度的控制

取公路为x轴，车辆运动的方向为x正向。为T时刻第n辆车的位置。

vn(t)=x„(t)且v„(O=w0(?<0)

为方便起见，取一个参考系，以“。的速度为参考速度

匕这样即为初始条件

做第•个近似处理，假设第N辆车的司机根据它与前一辆车的相对速度来调整自身车速，

则有

〃2=狗一“2),小=%(〃2一%),...(1.1)

""+1一册+i),n=l,2,3,...N(1.2)

作为一个简单的模型，假设所有司机反应灵敏程度相同，即力一致，是一个常数，据有关实验，

(GENERALMOTORS所做的实验)，丸介于0.3~0.45~之间，取4=0.37ST

一旦领头的车偏离“。则由初始条件及通式(6.2)可依次算出明«)，(n=1,2,3,…N)

对于整个车流问题，我们关心的是它的稳定性，即领头车辆的扰动会不会引起放大，因此我们假设

%(f)=sin电，并展开成傅力叶级数，有

M

"2⑴=u\e~sin%+sin(&f-(j)2)]

,〃=(1+?-)-"2三cos。,

2

其中U为振幅，02为初相，且2(1.4)

由于ffoo时，MJ*”

由(1.3)有

2

u3(t)-u(sin(202)+cot]e"+sin(c9/—2a)}