第二章 第2讲 函数的单调性与最值

第二章函数第2讲函数的单调性与最值课标要求命题点五年考情命题分析预测借助函数图

象，会用符号

语言表达函数

的单调性、最

大值、最小

值，理解它们

的作用和实际

意义.确定函数的单

调性(单调区

间)2023北京T4；2021全国卷

甲T4；2020全国卷ⅡT9本讲每年必考，命题

稳定.命题热点有讨论

函数的单调性，利用

函数的单调性比较大

小、解不等式、求最

值等，也常与函数的

奇偶性、周期性及对

称性综合命题.函数单调性的

应用2023新高考卷ⅠT4；2023新

高考卷ⅡT6；2020新高考卷

ⅠT8；2020新高考卷ⅡT7；

2019全国卷ⅢT11课标要求命题点五年考情命题分析预测借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们

的作用和实际意义.与函数的最

值(值域)有

关的问题2022北京T14题型既有选择题、填空题，也有解答题(常与导数综合命题)，单独考查时难度不大，与导数综合时难度中等偏上.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时重点进行常规题型训练，并适当关注创新性命题.

1.函数的单调性单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有①

⁠，那

么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别

地，当函数f(x)在它的定义域上单调递

增时，我们就称它是增函数.当x1＜x2时，都有②

⁠，那

么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别

地，当函数f(x)在它的定义域上单调递

减时，我们就称它是减函数.f(x1)＜f(x2)

f(x1)＞f(x2)

单调递增单调递减图象描述

自左向右图象是③

⁠的

自左向右图象是④

⁠的注意

(1)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(2)“函数

f

(

x

)的单调区间为

M

”与“函数

f

(

x

)在区间

N

上单调”是两个不同的概

念，显然

N

⊆

M

.(3)注意“增(减)函数”与“单调递增(减)”的区别，只有在定义域上单调递增(减)，

才能称它是增(减)函数.上升

下降

规律总结1.函数单调性的两个等价变形若∀

x

1，

x

2∈

D

(

x

1≠

x

2)，则

2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有⑤

⁠；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M.

(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M.

结论M是函数f(x)的最大值.M是函数f(x)的⑥

⁠.注意

闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最

值一定在端点处取得.f(x)≤M

最小值

1.以下说法正确的是(

D

)A.对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数C.若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)D.闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到D12342.[教材改编]函数

y

＝｜

x

｜－1的单调递减区间为(

B

)A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(－∞，－1)D.(－1，＋∞)B1234

(－∞，2)∪(2，＋∞)

1234

1234

命题点1

确定函数的单调性(单调区间)例1

(1)[2023北京高考]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(

C

)A.f(x)＝－lnxD.f(x)＝3｜x－1｜C例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3(2)[全国卷Ⅱ]函数

f

(

x

)＝ln(

x

2－2

x

－8)的单调递增区间是(

D

)A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)[解析]由

x

2－2

x

－8＞0，得

x

＜－2或

x

＞4.因此，函数

f

(

x

)＝ln(

x

2－2

x

－8)的定

义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞).(先求函数

f

(

x

)的定义域)易知函数

y

＝

x

2－2

x

－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，函数

y

＝lnt

为(0，＋∞)上的增函数，由复合函数的单调性知，

f

(

x

)＝ln(

x

2－2

x

－8)的

单调递增区间是(4，＋∞).故选D.D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3方法技巧判断函数的单调性的方法(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法；(4)性质法.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3训练1

(1)函数

g

(

x

)＝

x

·｜

x

－1｜＋1的单调递减区间为(

B

)C.[1，＋∞)

B例1训练1例2例3例4训练2例5训练3(2)[多选]下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(

ABC

)A.y＝ex－e－xB.y＝lgx2C.y＝2x＋2cosx

ABC例1训练1例2例3例4训练2例5训练3命题点2

函数单调性的应用角度1

比较大小

A例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3(2)[2024吉林长春东北师大附中校考改编]函数

f

(

x

)的定义域为(0，＋∞)，对于∀

x

，

y

∈(0，＋∞)，

f

(

xy

)＝

f

(

x

)＋

f

(

y

)，且当

x

＞1时，

f

(

x

)＜0.则

a

＝

f

(sin3)，

b

＝

f(ln3)，

c

＝

f

(21.5)的大小关系是(

A

)A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a

A例1训练1例2例3例4训练2例5训练3方法技巧利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，应先将自变量的值转化到同一个单调区间内，再利用函数的

单调性求解.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3角度2

求解不等式例3

(1)[全国卷Ⅰ]函数

f

(

x

)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若

f

(1)＝－1，则

满足－1≤

f

(

x

－2)≤1的

x

的取值范围是(

D

)A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3][解析]

∵函数

f

(

x

)为奇函数，且

f

(1)＝－1，∴

f

(－1)＝－

f

(1)＝1，由－1≤

f

(

x

－

2)≤1，得

f

(1)≤

f

(

x

－2)≤

f

(－1)，(将常数转化为函数值)又函数

f

(

x

)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤

x

－2≤1，∴1≤

x

≤3.故选D.D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

A.(－∞，5)C例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3方法技巧利用函数的单调性求解或证明不等式的策略(1)将不等式转化为

f

(

x

1)＞

f

(

x

2)的形式，(2)根据函数

f

(

x

)的单调性“脱去”函数符号“

f

”化为形如“

x

1＞

x

2”或“

x

1＜

x

2”的不等式求解，注意必须在同一单调区间内进行.若不等式一边没有“

f

”，而是常数，则应将常数转化为函数值.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3角度3

已知函数单调性求参数的值或取值范围例4

(1)[2023新高考卷Ⅰ]设函数

f

(

x

)＝2

x

(

x

－

a

)在区间(0，1)单调递减，则

a

的取值范

围是(

D

)A.(－∞，－2]B.[－2，0)C.(0，2]D.[2，＋∞)

D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

A.(0，1)B.(3，6)C.(1，4]D.(1，2]

C例1训练1例2例3例4训练2例5训练3方法技巧已知函数的单调性求参数的取值范围的方法根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图象的升

降情况，再结合图象求解.注意

若分段函数是单调函数，则不仅要各段上函数单调性一致，还要在整个定义

域内单调，即要注意分界点处的函数值大小.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

A.(0，2]B.(0，2)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)

A例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

A.f(2x)≤f(x2)B.f(2x)≥f(x2)C.f(2x)＝f(x2)D.不确定B例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

当

x

≥0时，令2

x

＝

x

2，得

x

＝2或

x

＝4.结合图象可知，当0≤

x

＜2时，4＞2

x

＞

x

2≥0，则

f

(2

x

)＞

f

(

x

2)，当2≤

x

≤4时，

4≤2

x

≤

x

2≤16，则

f

(2

x

)≥

f

(

x

2)，当

x

＞4时，2

x

＞

x

2＞16，则

f

(2

x

)＞

f

(

x

2).综上所述，当

x

≥0时，

f

(2

x

)≥

f

(

x

2).故选B.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3(3)[2023山东模拟]不等式

x

6－(2

x

＋3)＞(2

x

＋3)3－

x

2的解集是(

A

)A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析]由不等式

x

6－(2

x

＋3)＞(2

x

＋3)3－

x

2，得(

x

2)3＋

x

2＞(2

x

＋3)3＋(2

x

＋3).

设函数

f

(

t

)＝

t

3＋

t

，易知

f

(

t

)在R上单调递增，因为

f

(

x

2)＞

f

(2

x

＋3)，所以

x

2＞2

x

＋3，解得

x

＞3或

x

＜－1.故选A.A例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

(－∞，－3]∪[1，＋∞)例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

0(答案不唯一)

1

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3方法技巧求函数最值(值域)的方法(1)单调性法；(2)图象法；(3)基本不等式法.注意

对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数等进行转化，对于无法变形化简

的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，2]

D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3(2)[2024重庆市渝北中学模拟]已知

f

(

x

)＝2＋log3

x

，

x

∈[1，81]，则

y

＝[

f

(

x

)]2＋

f

(

x

2)的最大值为

⁠.

22

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3

1.[命题点1/2023贵州安顺模拟]若定义在R上的函数

f

(

x

)，对任意

x

1≠

x

2，都有

x

1

f

(

x

1)＋

x

2

f

(

x

2)≥

x

1

f

(

x

2)＋

x

2

f

(

x

1)，则称

f

(

x

)为“

H

函数”.现给出下列函数，其中是“

H

函数”的有

.(填上所有正确答案的序号)①

f

(

x

)＝

x

2－2

x

＋3；②

f

(

x

)＝2

x

－1；③

f

(

x

)＝lg(

x

－1)；

②④

12345[解析]根据题意，对任意

x

1≠

x

2，都有

x

1

f

(

x

1)＋

x

2

f

(

x

2)≥

x

1

f

(

x

2)＋

x

2

f

(

x

1)恒

成立，则有

f

(

x

1)(

x

1－

x

2)－

f

(

x

2)(

x

1－

x

2)≥0，即[

f

(

x

1)－

f

(

x

2)](

x

1－

x

2)≥0，当

x

1＜

x

2

时，

x

1－

x

2＜0，则

f

(

x

1)－

f

(

x

2)≤0，即

f

(

x

1)≤

f

(

x

2)，所以若函数

f

(

x

)为“

H

函数”，则函数

f

(

x

)在R上为增函数或常数函数.对于①，因为

f

(

x

)＝

x

2－2

x

＋3的图象开口向上，对称轴为

x

＝1，所以

f

(

x

)在(－∞，1)上单调递减，在

(1，＋∞)上单调递增，故其不是“

H

函数”.对于②，易得

f

(

x

)＝2

x

－1在R上单调递增，满足“

H

函数”的定义.对于③，

f

(

x

)＝lg(

x

－1)的定义域为(1，＋∞)，不满足“

H

函数”的定义.

12345

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞c＞b

D123453.[命题点2角度2]已知定义在R上的函数

f

(

x

)满足

f

(

x

)＝

f

(－

x

)，且

f

(

x

)在(－∞，

0]上单调递减，若不等式

f

(

ax

＋2)≤

f

(－1)对任意的

x

∈[1，2]恒成立，则

a

的最大

值为

⁠.

－1

12345

[－1，0)123455.[命题点3/2023河北唐山联考]若函数

f

(

x

)与

g

(

x

)对任意的

x

1，

x

2∈[

c

，

d

]，都有

f

(

x

1)·

g

(

x

2)≥

k

，则称函数

f

(

x

)与

g

(

x

)是区间[

c

，

d

]上的“

k

阶友好函数”.已知函

数

f

(

x

)＝2022

x

－1与

g

(

x

)＝

x

2－(

a

＋1)

x

＋2－

a

是区间[1，2]上的“3阶友好函

数”，则实数

a

的取值范围是

⁠.

12345

12345

1.[2024河北省唐山市第二中学模拟]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是

(

C

)B.f(x)＝｜x｜D.f(x)＝2｜x－1｜C1234567891011121314

1234567891011121314

A.(－∞，3]B.(2，3)C.(2，3]D.[3，＋∞)

C12345678910111213143.设函数

f

(

x

)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(

D

)B.y＝｜f(x)｜在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数D1234567891011121314

12345678910111213144.[2024广东七校联考]若函数

f

(

x

)＝2｜

x

－

a

｜＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则

a

的取值范围是(

B

)A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]B1234567891011121314[解析]函数

f

(

x

)＝2｜

x

－

a

｜＋3的大致图象如图所示，其形状如一个“V”，开

口向上，顶点坐标为(

a

，3)，对称轴方程为

x

＝

a

.由于函数

f

(

x

)＝2｜

x

－

a

｜＋3在

区间[1，＋∞)上不单调，因此需满足对称轴

x

＝

a

在直线

x

＝1的右侧，则

a

＞1，故

选B.1234567891011121314

A.f(a)＞f(b)＞f(c)B.f(b)＞f(a)＞f(c)C.f(a)＞f(c)＞f(b)D.f(c)＞f(a)＞f(b)[解析]因为

y

＝e

x

是增函数，

y

＝e－

x

是减函数，所以

f

(

x

)＝e

x

－e－

x

在(0，＋∞)

上单调递增，且

f

(

x

)＞0.又

f

(

x

)＝－

x

2在(－∞，0]上单调递增，且

f

(

x

)≤0，所以

f

(

x

)在R上单调递增.又

c

＝log20.9＜0，0＜

b

＝log32＜1，

a

＝50.01＞1，即

a

＞

b

＞

c

，所以

f

(

a

)＞

f

(

b

)＞

f

(

c

).A12345678910111213146.[2024浙江名校联考]已知函数

y

＝log2(

ax

2－

x

)在区间(1，2)上单调递增，则实数

a

的取值范围为(

D

)D.[1，＋∞)

解得

a

≥1.故选D.D1234567891011121314

B1234567891011121314

1234567891011121314

A.当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.当a＞0时，f(x)的值域为RBCD1234567891011121314

∵

f

(

x

)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，∴A错误.

12345678910111213149.[2024河南郑州模拟]函数

f

(

x

)＝4

x

－2

x

＋1－1的值域是

⁠.[解析]由题知

f

(

x

)＝(2

x

)2－2·2

x

－1，令2

x

＝

t

(

t

＞0)，得

m

(

t

)＝

t

2－2

t

－1＝(

t

－

1)2－2(

t

＞0)，由于

m

(

t

)＝(

t

－1)