第五章 第2讲 等差数列

第五章数列第2讲等差数列

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.等差数

列的基

本运算2023新高考卷ⅠT20；2023全国卷乙T18；2023全国卷甲T5；2022新高考卷ⅡT3；2022全国卷乙T13；

2021新高考卷ⅡT17；2021北京T6；2019全国卷ⅠT9；2019全国卷ⅢT14本讲的命题热点为等差数列的基本运算、等差数列的判定与证明、等差数列的性质的应用、等差数列前n项和的最值，在客观题和主观题中都有可能出现，难度中等.考查学生的函数与方程思想和数学运算能力.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等差数列的通项公式和前n项和公式及其变形应用，同时也要关注等差数列与其他知识的综合运用.课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.等差数列的判定与证明2023新高考卷ⅠT7；2022全国卷甲T17；2021全国卷乙T19；2021全国卷甲T18本讲的命题热点为等差数列的基本运算、等差数列的判定与证明、等差数列的性质的应用、等差数列前n项和的最值，在客观题和主观题中都有可能出现，难度中等.考查学生的函数与方程思想和数学运算能力.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等差数列的通项公式和前n项和公式及其变形应用，同时也要关注等差数列与其他知识的综合运用.等差数列的性质2020全国卷ⅡT4；2020新高考卷ⅠT14等差数列前n项和的最值2022全国卷甲T17

1.等差数列的概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的①

都等于②

⁠

⁠，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差

通常用字母

d

表示.(2)等差中项如果

a

，

A

，

b

成等差数列，那么

A

叫做

a

与

b

的③

，且

A

＝

④

⁠.差

同

一个常数

等差中项

(3)等差数列的通项公式及其变形通项公式：⑤

，其中

a

1是首项，

d

是公差.通项公式的变形：

an

＝

am

＋(

n

－

m

)

d

(

m

，

n

∈N*).说明

由

an

＝

dn

＋(

a

1－

d

)可知，当

d

≠0时，

an

可看作关于

n

的一次函数.an

＝

a

1＋(

n

－1)

d

规律总结等差数列的单调性当

d

＞0时，数列{

an

}为递增数列；当

d

＜0时，数列{

an

}为递减数列；当

d

＝0时，

数列{

an

}为常数列.2.等差数列的前

n

项和

3.等差数列的性质(1)等差数列项的性质设数列{

an

}，{

bn

}均为等差数列.a.若

k

＋

l

＝

m

＋

n

(

k

，

l

，

m

，

n

∈N*)，则

ak

＋

al

＝

am

＋

an

，特别地，若

p

＋

q

＝

2

m

，则⑦

.反之不一定成立.b.若{

an

}公差为

d

，则{

a

2

n

}也是等差数列，公差为⑧

⁠.

c

.{

pan

＋

qbn

}(

p

，

q

为常数)也是等差数列.d.若{

an

}与{

bn

}有公共项，则{

an

}与{

bn

}的公共项从小到大排成的新数列也是等差

数列，首项是第一个相同的公共项，公差是{

an

}与{

bn

}的公差的⑨

⁠

⁠.ap

＋

aq

＝2

am

2

d

最小公倍数

e.若{

an

}公差为

d

，则

ak

，

ak

＋

m

，

ak

＋2

m

，…(

k

，

m

∈N*)组成公差为⑩

⁠的

等差数列，即下标成等差数列，则相应的项也成等差数列.

md

(2)等差数列前

n

项和的性质设

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和.

b.

Sm

，

S

2

m

－

Sm

，

S

3

m

－

S

2

m

，…(

m

∈N*)是等差数列.

a

1

1.[教材改编]如果三角形的三个内角成等差数列，则中间角的大小为

⁠.[解析]由题意可设三个内角分别为

x

－

d

，

x

，

x

＋

d

，则有(

x

－

d

)＋

x

＋(

x

＋

d

)

＝180°，可得

x

＝60°.60°

1234562.若等差数列{

an

}满足

a

7＋

a

8＋

a

9＞0，

a

7＋

a

10＜0，则当

n

＝

时，{

an

}的

前

n

项和最大.[解析]由

a

7＋

a

8＋

a

9＞0可得

a

8＞0，由

a

7＋

a

10＜0可得

a

8＋

a

9＜0，所以

a

9＜

0，所以当

n

＝8时，{

an

}的前

n

项和最大.8

1234563.[教材改编]已知{

an

}为等差数列，且

a

20＝30，

a

30＝20，则

a

50＝

⁠.

0

1234564.[教材改编]某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，

每经过一年，其价值减少20万元.当设备价值低于购进价值的5％时，设备将报废，

则该机器最多使用

年.[解析]设使用

n

年后，该设备的价值为

an

万元，则易知{

an

}是以(220－20)为首

项，－20为公差的等差数列，所以

an

＝(220－20)＋(

n

－1)×(－20)＝220－20

n

.令

220－20

n

≥220×5％，得

n

≤10.45，所以该设备最多使用10年.10

1234565.已知等差数列{

an

}的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为

261，则该数列的项数为

⁠.

19

1234566.[易错题]已知数列{

an

}满足

a

1＝1，

an

＋

an

＋1＝

n

，则

a

20＝

⁠.[解析]因为

an

＋

an

＋1＝

n

，所以

a

1＋

a

2＝1，

a

2＋

a

3＝2，…，

a

19＋

a

20＝19.因为

a

1＝1，所以可得

a

1＝1，

a

3＝2，

a

5＝3，

a

7＝4，…，和

a

2＝0，

a

4＝1，

a

6＝2，

a

8＝3，…，奇数项、偶数项分别构成等差数列，所以

a

2

k

＝

k

－1(

k

∈N*)，所以

a

20

＝10－1＝9.9

123456

命题点1

等差数列的基本运算例1

[2023全国卷甲]记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和.若

a

2＋

a

6＝10，

a

4

a

8＝45，则

S

5＝(

C

)A.25B.22C.20D.15

C例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

(1)若3

a

2＝3

a

1＋

a

3，

S

3＋

T

3＝21，求{

an

}的通项公式；

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4(2)若{

bn

}为等差数列，且

S

99－

T

99＝99，求

d

.

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4方法技巧1.等差数列基本运算中常用的数学思想方程思想等差数列中有五个量a1，an，d，n，Sn，一般可“知三求二”，通过列

方程(组)求解.整体思想将已知和所求都用a1和d表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解.2.等差数列基本运算中常用的设元技巧若三个数成等差数列，可将三个数设为

a

－

d

，

a

，

a

＋

d

；若四个数成等差数列，

可将四个数设为

a

－3

d

，

a

－

d

，

a

＋

d

，

a

＋3

d

.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

A.64B.100C.128D.132

C例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4(2)[2022全国卷乙]记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和.若2

S

3＝3

S

2＋6，则公差

d

＝

⁠.[解析]因为2

S

3＝3

S

2＋6，所以2(3

a

1＋3

d

)＝3(2

a

1＋

d

)＋6，化简得3

d

＝6，解

得

d

＝2.2

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4命题点2

等差数列的判定与证明例3

[2021全国卷甲]已知数列{

an

}的各项均为正数，记

Sn

为{

an

}的前

n

项和，从下

面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4方法技巧等差数列的判定与证明的方法定义法an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4(2)[多选/2023福建莆田九中质检]已知数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，则下列结论正确的

是(

BCD

)A.若数列{Sn}为等差数列，则数列{an}为等差数列BCD例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4命题点3

等差数列的性质例4(1)[新高考卷Ⅰ]将数列{2

n

－1}与{3

n

－2}的公共项从小到大排列得到数列

{

an

}，则{

an

}的前

n

项和为

⁠.

3

n

2－2

n

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4训练3

(1)数列{

an

}，{

bn

}均为等差数列，且

a

1＝－5，

b

1＝－15，

a

2025＋

b

2025＝

100，则数列{

an

＋

bn

}的前2025项和为

⁠.

81000

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4命题点4

等差数列前

n

项和的最值

(1)证明：{

an

}是等差数列.

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4(2)若

a

4，

a

7，

a

9成等比数列，求

Sn

的最小值.

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4方法技巧求等差数列前

n

项和

Sn

的最值的方法

例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4训练4

等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，若∀

n

∈N*，

Sn

≤

S

7，则数列{

an

}的通项公

式可能是

(

B

)A.an＝16－3nB.an＝15－2nC.an＝2n－14D.an＝2n－15[解析]因为数列{

an

}是等差数列，且∀

n

∈N*，

Sn

≤

S

7，所以该数列从第8项起为

非正数，即

a

7≥0，

a

8≤0.对于A，

a

7＝16－3×7＝－5＜0，故A不正确；对于B，

a

7＝15－2×7＝1＞0，

a

8

＝15－2×8＝－1＜0，故B正确；对于C，

a

7＝2×7－14＝0，

a

8＝2×8－14＝2＞

0，故C不正确；对于D，

a

7＝2×7－15＝－1＜0，故D不正确.故选B.B例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4

1.[命题点1/2021新高考卷Ⅱ]记

Sn

是公差不为0的等差数列{

an

}的前

n

项和，若

a

3＝

S

5，

a

2

a

4＝

S

4.(1)求数列{

an

}的通项公式；

1234(2)求使

Sn

＞

an

成立的

n

的最小值.

12342.[命题点2/多选]两个等差数列{

an

}和{

bn

}，其公差分别为

d

1

和

d

2

，其前

n

项和分

别为

Sn

和

Tn

，则下列说法正确的是(

AB

)B.若{Sn＋Tn}为等差数列，则d1＋d2＝0C.若{anbn}为等差数列，则d1＝d2＝0AB1234

1234

(1)证明：数列{

bn

}是等差数列.

1234(2)求{

an

}的通项公式.

1234

A.15B.16C.17D.14

C1234

1.[2024河南名校模拟]设

Sn

是等差数列{

an

}的前

n

项和，若

a

2＋

a

5＋

a

8＝15，则

S

9

＝(

C

)A.15B.30C.45D.60

C12345678910111213141516

A.21B.48C.75D.83

C12345678910111213141516

123456789101112131415163.[2024吉林白城模拟]已知等差数列{

an

}是递增数列，且满足

a

3＋

a

5＝14，

a

2

a

6＝

33，则

a

1

a

7＝(

C

)A.33B.16C.13D.12

C123456789101112131415164.[2023陕西宝鸡模拟]已知首项为2的等差数列{

an

}的前30项中，奇数项的和为

A

，

偶数项的和为

B

，且

B

－

A

＝45，则

an

＝(

B

)A.3n－2B.3n－1C.3n＋1D.3n＋2[解析]在等差数列{

an

}中，首项

a

1＝2，设其公差为

d

，由前30项中奇数项的和为

A

，

偶数项的和为

B

，

且

B

－

A

＝45，可得－

a

1＋

a

2－…－

a

29＋

a

30＝15

d

＝45，

解得

d

＝3，∴

an

＝

a

1＋(

n

－1)

d

＝2＋3(

n

－1)，即

an

＝3

n

－1，故选B.B123456789101112131415165.[多选/2024山东模拟]已知等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，公差为

d

，

a

3＝

a

1－

4，

S

7＝154，则(

AC

)A.d＝－2B.a1＝30C.－320是数列{an}中的项D.Sn取得最大值时，n＝14AC12345678910111213141516

123456789101112131415166.[2023广州市二检]在数列{

an

}中，

a

1＝2，

am

＋

n

＝

am

＋

an

(

m

，

n

∈N*)，若

akak

＋1＝440，则正整数

k

＝

⁠.[解析]

解法一令

m

＝1，则

an

＋1＝

an

＋

a

1，即

an

＋1－

an

＝2，所以数列{

an

}是

以2为首项，2为公差的等差数列，即

an

＝2＋(

n

－1)×2＝2

n

，又

k

为正整数，所以

akak

＋1＝2

k

×2(

k

＋1)＝440，即

k

(

k

＋1)＝110，解得

k

＝10或

k

＝－11(舍去).故填

10.解法二(列举法)令

m

＝

n

＝1，则

a

2＝

a

1＋

a

1＝4；令

m

＝1，

n

＝2，则

a

3＝

a

1＋

a

2＝6；令

m

＝

n

＝2，则

a

4＝

a

2＋

a

2＝8.通过观察找规律可知，数列{

an

}是以2为

首项，2为公差的等差数列，即

an

＝2＋(

n

－1)×2＝2

n

，又

k

为正整数，所以

akak

＋1＝2

k

×2(

k

＋1)＝440，即

k

(

k

＋1)＝110，解得

k

＝10或

k

＝－11(舍去).故填10.10

123456789101112131415167.[2024江西抚州模拟改编]在数列{

an

}中，已知

an

＋1－

an

＝

an

＋2－

an

＋1，

a

1013＝

1，则该数列前2025项的和

S

2025＝

⁠.

2025

12345678910111213141516

123456789101112131415169.[2024浙江普陀中学模拟]已知正项数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

a

1＝2.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

10.[2024四川南充校考]若一个凸

n

(

n

∈N*)边形的最小内角为95°，其他内角依次增

加10°，则

n

的值为(

B

)A.6或12B.6C.8D.12

B1234567891011121314151611.[2024湖北孝感高中模拟]设等差数