4.4 对数函数（原卷版）

.4对数函数知识点一对数函数的概念及应用【【解题思路】判断一个函数是对数函数的方法【例1-1】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（）A．B．C．D．【例1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则．【变式】1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥2．（22-23高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数为对数函数的是（

）A．（，且） B．C． D．3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）点，都在同一个对数函数上，则t=.知识点二对数函数有关的定义域【【解题思路】求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.【例2-1】（23-24高二上·四川成都·期末）函数的定义域为.【例2-2】（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为.【变式】1．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为．3．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域：(1)；(2)．知识点三对数函数模型的应用【【解题思路】对数函数应用题的解题思路(1)依题意，找出或建立数学模型．(2)依实际情况确定解析式中的参数．(3)依题设数据解决数学问题．(4)得出结论．【例3】（23-24贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（

）A． B． C． D．【变式】1．（2024山东青岛）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（

）（附：）A． B． C． D．2．（2024湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995.A．126 B．150 C．197 D．1993．（2024北京海淀·期末）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍知识点四对数函数过定点【例4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点．【例4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点.【例4-3】（2024·陕西渭南）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为.【变式】1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）过定点．2（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像恒过定点，则点的坐标是．3．（2024·陕西西安）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为．知识点五对数函数的图象及应用【【解题思路】对数函数图象的变换方法(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．【例5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（

）A．①⑤ B．②⑥C．③⑦ D．④⑧【例5-2】（2024·广东深圳）已知，且，则函数的图象一定经过（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【例5-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式】1．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像：(1)；(2)；(3)；(4).知识点六比较对数值的大小【【解题思路】比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．【例6-1】（23-24高一上·上海·假期作业）利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.(1)和；(2)和；(3)和，其中且；(4)和.【例6-2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【例6-3】（2024·天津南开）已知，，，则（

）.A． B． C． D．【变式】1．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，（，且）．2．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（23-24·山东临沂·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．知识点七解对数不等式【【解题思路】对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．【例7-1】（24-25高一上·上海·单元测试）不等式的解集为．【例7-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为．【变式】1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数，其中，若，则实数x的取值范围是．2（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为．3．（23-24重庆·期末）已知函数则不等式的解集为考点八反函数【例8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的反函数，则．【变式】1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为．2．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是、．3．（24-25高一上·上海·课后作业）若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为．重难点一对数型函数的单调性【【解题思路】形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．(3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．【例9-1】（23-24浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【例9-2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例9-3】（23-24高二下·黑龙江·期末）若函数在上单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式】1．（23-24四川·期中）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调递增区间为．3．（23-24江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．重难点二对数型函数的值域【例10-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为．【例10-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是．【例10-3】．（23-24四川雅安·阶段练习）若函数的值域为R，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式】1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．42．（23-24江西南昌·期末）已知函数的定义域和值域都为，则（

）A． B．C． D．不存在3．（2024·贵州黔东南）若函数的值域为.则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值为．5．（24-25高一上·全国·假期作业）函数的值域是．重难点三对数型函数性质的综合应用【例11】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点．(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间．【变式】1．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数，且．(1)求的定义域；(2)求不等式的解集．2．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和．(1)求函数的解析式；(2)令，求的最小值及取最小值时x的值．单选题1．（23-24浙江温州·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（

）A．① B．② C．③ D．④3．（2024·天津北辰）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．（23-24湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．5．（2024·上海闵行）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（

）．A． B．C． D．7．（23-24山东聊城·期末）已知函数，若，则的值可以为（

）A． B． C． D．8．（2024·江苏南）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．多选题9．（2024高二下·浙江·学业考试）若函数，则下列选项正确的是（

）A．定义域为 B．值域为C．图象过定点 D．在定义域上单调递增10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（

）A．有最大值，在上为增函数B．有最大值，在上为减函数C．有最小值，在上为增函数D．有最小值，在上为减函数11．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数填空题12．（23-24广西玉林·期末）已知函数，则的定义域是；单调增区间为.13．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的值域为．14．（23-24上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为.解答题15．（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数．（1）当时，求