沪教版 初中数学 整式的运算

整式的运算

一、知识梳理

(-)考点总结：

1、代数式

2、列代数式

3、代数式的值

4、整式的概念

5、整式的运算

(-)考点讲解

考点一代数式

定义：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫代数式。

注意：(I)单个数字与字母也是代数式；(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式

中都含有等号；

考点二列代数式

1.列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中与数量有关的词表示出来，就是列代数式。

2.代数式的书写要求

(1)代数式中出现的乘号通常用“♦”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，

仍用“X”号。

(2)数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序，

如式子(a+b)-2-a应写成2a(a+b)。

(3)带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘。

(4)在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写

(5)在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在

式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a

米,(2a-b)kg。

注意：列代数式的关键是找出问题中的数量关系及公式，如：路程=速度x时间。售价=标价X折扣率；质量=密

度*体积等等，另外要想正确列出代数式，必须正确理解问题中的关键词语，如“和、差、积、商、大、小、多、少”

等。

考点三代数式的值

1.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

2.求代数式的值的基本步骤：

(1)代入，一般情况下，先对代数式进行化简，再将字母的数值代人；

(2)计算时按代数式里的运算关系计算出结果。

说明：

①代数式中的字母所取的值，要使代数式有意义：

②一个代数式中的同一字母要用同一个数值去代替，且注意多个字母情形下的对应关系，切忌张冠李戴；

③为了避免混淆，注意括号前原来省略乘号的地方要添上乘号，当代入的字母是负数时，代入后应加上括号,

另外字母是分数时，遇到乘方也要加括号。

考点四整式的概念

1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所

有字母的指数的和叫做单项式的次数，特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。

注意：(1)TT是个数，不能把它当成字母。如TTXy2的系数是TT,次数是3,不能错写成系数是1,次数是4。

2x3y2_1口

(2)像a,oln'-己等都是单项式。特别地，像(TT+目)也是单项式。

(3)单项式的次数应是字母的指数和，与系数没有任何关系。如105x2y次数是2+1=3,而不是5+2+1=8。

2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做

常数项；在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

注意：(1)像国这样的代数式也是多项式；(2)多项式的项数指的是合并完同类项后的项数。

3.整式：单项式与多项式统称为整式。

4.升(降)幕排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多

项式按这个字母升(降)嘉排列。

5.同类项：所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项，

考点五整式的运算

1.整式的加减

(1)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并法则：把同类项中的系数相加，

所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

(2)去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面的各项都不改变符号；括号前面

是号，把括号和它前面的号去掉，括号里面的各项都改变符号，符号表示：+(a+b)=a+b；-(a+b)=-a-bo

(3)添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里面的各项都不改变符号；所添括号前面是号，括到括

号里面的各项都改变符号。符号表示：a+b=+(a+b)；-a-b=-(a+b)。

(4)整式加减的步骤：有括号先去括号；有同类项，先合并同类项。

说明：添括号法则在北师大版教材中没有出现，但整式加减运算较多；去括号和添括号是互逆的。

2.整式的乘法

(I)幕的运算性质：am.an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an-bn,amEln=am-no

(2)零指数扇和负指数幕:a°=1(aWO)；

(3)单项式乘以单项式：将系数与同底数的基分别相乘。

(4)单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

(5)多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

特殊的多项式乘以多项式

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

注意：要掌握以上两种公式的结构特征。

3.整式的除法

(1)单项式除以单项式：将系数及同底数事分别相除。对五只在被除式中出现的字母则连同它的指数保留在

商中。

(2)多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

4.累的运算

(1)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

g|]am-an=am+n(m、n都是正整数)。

(2)幕的乘方，底数不变，指数相乘，

即(am)n=amn(m、n都是正整数)。

(3)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘，

即(ab)n=an・bn(n是正整数是

(4)同底数基相除，底数不变，指数相减，

HPam1i]ar'=ani'n(a#0,m、n都是正整数)。

(5)整式的混合运算：先乘方，后乘除，最后加减，如有括号，就先算括号里面的，说明：要尽量使用公式

或运算律时，使运算过程简捷。

(三)易混知识清单

知识归纳

易混点一同类项的概念及运用。

1.所含字母相同。2.相同字母的指数也分别相同。

易混点二不能准确把握单项式、多项式、同类项及整式等的差异，从而导致判断或运算错误。

易混点三运用去括号与添括号法则。当去括号时，括号前是号，把括号和它前面的号去掉，括号里各项

都改变符号：有多层括号时，依去括号法则，可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号，由外及内，添括号时

反之。

易混点四由于混淆基的四条运算性质而导致运算错误。

(1)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。am-an=am+n(m,n为正整数)。

（2）同底数基相除，底数不变，指数相减。amEan=am-n（m,n为正整数）。

（3）幕的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n=amn（m,n为正整数）。

（4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的基相乘。（ab）n=anbn（n为正整数）。

易混点五（a-b）n与（b-a）n的关系

当n为奇数时两者互为相反数，当n为偶数时，两者相等。

二、经典习题

（一）方法篇

方法一分类讨论法：根据同类项的概念；寻找同类项的过程就是把多项式的项按所含字母及字母的次数进行分类。

在寻找中，如果几个单项式所含的字母的顺序不同，可以根据乘法的交换律把字母按照一定的顺序（如英文字母表

顺序）排列好，以便比较其字母是否相同，只有所含字母完全相同，而且相同字母的指数也分别相同的两个单项式

才是同类项。在多项式中，若有几组同类项，要分类进行合并化简。

例1下列四组中的两项是同类项的是（）

ArB.>b与5ab2B.0.5ab与塾

C.-2x2y3与5y3x2D.3a与2b

例2已知a+b=m,ab=-4,化简（a-2）（b-2）的结果是（）

A.6B.2m-8C.2mD.-2m

例3观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律:

（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：

①。日4x0+1=4x1-3

（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式。

（二）精析篇

例1某公园一块草坪的形状如图2-6所示（阴影部分），用代数式表示它的面积为

图2-6

例2如果代数式4y2-2y+5的值为7,那么代数式2y2-y+1的值等于（）

A.2B.3C.-2D.4

例3下列算式是一次式的是（）

-ab

A.8B.4a+3bC.OD.H

例4下列各式中，与x2y是同类项的是（）

A.xy2B.2xyC.-x2yD.3X2y2

例5化简m-n-（m+n）的结果是（）

A.2mB.-2mC.-2nD.2n

例6下列运算正确的是（）

A.x9[±]x3=x3B.（-x4）3=-x12

C.x2-x4=x8D.（x2+x3）2=x4+x5+x6

例7计算2x2・（-3）x3的结果是（）

A.-6x5B.6x5C,-2x5D.2x5

例8己知x?+y2=25,x+y=7,且x>y,则x-y的值为多少？

（三）易错篇

易错题一为鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那

么每度电价按a元收费；如果超过100度，那么超过部分每度电价按b元收费。某户居民在一个月内用电160度,

他这个月应缴纳电费是元（用含a、b的代数式表示）。

0

易错题二若9xa+bya-b与国欧83是同类项，那么（）

A.a=-1,b=2B.a=1,b=-2

C.a=・2,b=1D.a=2,b=-1

易错题三

（1）计算x2y3®]（xy）2的结果是（）

A.xyB.xC.yD.xy2

（2）a3-a4[±]a5=°

(3)下列计算正确的是()

A.2x3-3x2=6x6B.x3+x3=x6

C.x10[±]x5=x2D.x40x5y=S

(4)下列运算中，正确的是()

T

A.2a+3b=5abB.3a-2=|3ajC.(-x)5-(-x)3=-x8D.(-1)0=1

易错题四下列计算正确的是()

A.(-4X)-(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x

B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3

C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2

D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2

三、学生练习

1.买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要元。

2.数字解密：若第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8,…，观

察并猜想第六个数应是。

3.碳氢化合物的化学式：CH4、C2H6、C3H8、C4H10,…观察其化学式的变化规律，则第n个碳氢化合物的

化学式为。

4.按一定的规律排列的一列数依次为：口，口，S,匠运二运，…按此规律排列下去，这列数中的第7个

数是.

9~9~9~9~iolfiol[To_ibl

5.观察下列各等式的数字特征：…，将你所发现的规律用含

字母a、b的等式表示出来：。

6.观察下列等式：2=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…通过观察，用你发现的规律确定

22。。6的个位数字是。

7.在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并后的项数可以是项式。

8.若(0-x)3=ao+aix+aax2+a3x3,则(ao+a2)2-(ai+as)2的值为。

2

9.观察下列各式：0,x,X,2x3,3x35x5,8x6,o按此规律写出的第10个式子是。

10.计算：(J3)2=。

11.下列运算正确的是()

A.0=±2

B.2-3=-6

C.x2-x3=x6

D.(-2x)4=16x4

12.下列运算中，正确的是()

A.0J3=2a4

B.H-0=a6

C.a6C3a3=a2

D.(ab2)2=a2b4

13.如图2-1,边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，小明将图中的阴影部分拼成了一个矩形,

如图2-2这一过程可以验证()

A.a2+b2-2ab=(a-b)2

B.a2+b2+2ab=(a+b)2

C.2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)

D.a2-b2=(a+b)(a-b)

14.下列运算正确的是()

A.2x5-3x3=-x2

B.2t3+ES=2E^

C.(-x)5-(-x2)=-x10

D.(3a6x3-9ax5)+(-3ax3)=3x2-a5

15.计算：(x-y)2-(x+y)(x-y)«

16.化简：2a(a-b)-2a2+3abo

17.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：4=22-02,12=42-22,

20=62-42因此4,12,20这三个数都是神秘数。

(1)28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为

什么？

(3)两个连续奇数(取正整数)的平方差是神秘数吗？为什么？

18.去括号:4(a-b)-[-a(-b2-a2)]»

19.填空：(1)a2m-U=a3；

(2)(x3y2)4s(x3y)5=。

20.单项式-lilxa+byaT与3x2y是同类项，则a-b的值为

)

A.2B.0

C.-2D.1

21.已知m-n=3,求代数式3-m+n的值

22.如图2-3,用黑白两种颜色的正方形纸片按黑纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案:

第I个第2个第3个

图2-3

(1)第4个图案中有白色纸片张；

(2)第n个图案中有白色纸片张。

23.用火柴棒如图2-4所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第4个图形需要根火柴棒，第n

个图形需要根火柴棒(用含n的代数式表示)。

(I)(2)(3)

图24

24.在很小的时候，我们用手指练习过数数。一个小朋友按如图2-5所示的规则练习数数，数到2006时.，对

应的指头是(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)。

.17--

图2-5

25.如图2-7所示的是小明用火柴棒搭的1条，2条，3条，…“金鱼”，则搭，n条“金鱼”需要火柴棒根。

I条2条3条

图2・7

26.当x=-2时代数式(x+2)2-x(x+1)的值等于()

A.2B.-2C.4D.-4

27.当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3)的值等于()

A.-4B.4C.-2D.2

28.若单项式4xm与・x2yM的和是单项式，则m=,n=。

29.若2amb2m+3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式，则m,Fl的值分别是()

A.1.2B.2,1C.1,ID.1,3

30.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是()

A.(a-b)2=a2A2

B.(-2a3)2=4a6

C.a3+a2=2a5

D.-(a-1)=-a-1

2

31.观察下列单项式：0,3x,8x3,15x324x5,…按此规律写出第13个单项式是o

32.下列各式正确的是()

A.(x3)2=x5

B.(a+b)(b-a)=a2-b2

C.5x2y-3x2y=2

D.x5-x=x6

33.计算(-3a3)包2的结果是()

A.-9a4B.6a4

C.9a3D.9a4

34.已知a-b=b-c=口，a2+b2