李建军-半导体器件模拟及数值分析第四章 晶体管的模拟

第四章双极晶体管特性(tèxìng)模拟哈尔滨工业大学(威海)微电子中心(zhōngxīn)王新胜共七十二页四十年代末双极晶体管问世后不久，就出现(chūxiàn)了其理论模型。为了能用解析方法求解这些微分方程，做了许多近似处理（例如小注入，基区杂质均匀分布等），然而实际晶体管往往并不满足这些近似，所以得到的结果一般没有实际意义。采用数值分析的方法取消了那些近似条件，可以求出符合实际模型的结果。共七十二页抽象的BJT模型共七十二页基本(jīběn)方程及边界条件§4-1npn晶体管的基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页一维形式4.1.1基本(jīběn)方程npn晶体管的基本方程(fāngchéng)和二极管的相同。基本方程及边界条件共七十二页4.1.1基本(jīběn)方程

产生(chǎnshēng)率和复合率也分别采用和二极管相同的。

对于具有高电阻率集电区的npn晶体管（近代器件的一般结构），杂质分布示意图如下。基本方程及边界条件共七十二页np

nEBx=0x=wC4.1.1基本(jīběn)方程基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页np

nEBx=0x=wC4.1.2边界条件如图所示，发射极位于x=0，集电极位于x=w，即晶体管的总厚度为w。为求解晶体管内各个区的电势分布，载流子浓度分布p(x)及n(x)，必须首先(shǒuxiān)找出这三个基本变量的边界条件。在发射区和集电区，端点满足电中性和热平衡条件，其边界条件和二极管的边界条件是一样的。需要注意的是，发射区和集电区都是n型区，运用同样的推导过程，得基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页4.1.2边界条件基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页4.1.2边界条件基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页4.1.2边界条件在发射极和集电极的边界条件，可以向二极管的一样(yīyàng)推导得出。基本(jīběn)方程及边界条件电极边界位于x=0和x=w，满足电中性条件应该，即共七十二页4.1.2边界条件基本(jīběn)方程及边界条件P区耗尽区N区-aa

共七十二页4.1.2边界条件基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页4.1.2边界条件得边界条件基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页4.1.2边界条件

然而上面的方程(fāngchéng)并不是充分的，因为它们只是表示偏压(VBE-VBC)加在集电极和发射极之间，并没有体现出发射结上加有VBE的偏压，因而不能表现出电子从发射区注入到基区的情况，为了把这个效应包含在内，就必须引入基区中点的空穴准费米势和空穴浓度之间的关系。设基区中点为xB，则基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页基区中点的空穴(kōnɡxué)浓度为np

nEBx=0x=wCxB4.1.2边界条件根据(gēnjù)定义得将此式代入方程得基本方程及边界条件共七十二页4.1.2边界条件这就是在基区中点建立起的电势的附加边界条件。应该注意的是，基区的电子浓度n(xB)和之间没有类似的关系式。作为多数载流子，空穴的准费米势在基区内具有平坦的分布，换言之，它与热平衡条件的偏差(piānchā)可以忽略不计。相反，电子的准费米电势在基区内随发射极偏压VBE的变化出现明显的变化，因此，对基区的少数载流子（电子）未建立基区中点的约束。基本(jīběn)方程及边界条件共七十二页npn晶体管稳态方程(fāngchéng)§4-2npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.1稳态的基本(jīběn)方程npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.2基本(jīběn)方程差分化npn晶体管稳态方程(fāngchéng)如图3-4所示，N=1和N=L分别对应于端点x=0和x=w，N称为主网格点，网格距为h(M)。在相邻两个主网格点的中间，再设辅助网格点M，辅助网格距为。

.x=0M-1MM+1x=w1N-1NN+1N+2L阳极阴极..h(M-1)h(M)h(M+1)图3-4区间网格化，主辅两套网格共七十二页连续性方程的差分方程电流密度方程的差分方程4.2.2基本(jīběn)方程差分化npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.2基本(jīběn)方程差分化npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.2基本(jīběn)方程差分化Poisson方程(fāngchéng)的差分方程(fāngchéng)npn晶体管稳态方程共七十二页差分(chàfēn)方程4.2.2基本(jīběn)方程差分化npn晶体管稳态方程[])()()()1()()()()1()(321NnNpNqNNNNNN-+G-=+++-eygygyg共七十二页4.2.3

差分(chàfēn)方程线性化npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.3差分(chàfēn)方程线性化npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.3差分(chàfēn)方程线性化npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页3333333323232313131)1()()1()1()()1()1()()1(fNcNbNaNncNnbNnaNpcNpbNpa=+++-++++-++++-dydydydddddd2232323222222212121)1()()1()1()()1()1()()1(fNcNbNaNncNnbNnaNpcNpbNpa=+++-++++-++++-dydydydddddd1131313121212111111)1()()1()1()()1()1()()1(fNcNbNaNncNnbNnaNpcNpbNpa=+++-++++-++++-dydydydddddd4.2.3差分(chàfēn)方程线性化npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.4基区中点方程(fāngchéng)=+++-)()1()()()()1()(NFNyNCNyNBNyNAddd

前面曾经(céngjīng)指出，对于晶体管，必须包括基区中点条件

即要对矩阵方程在基区中点xB处稍加修正。当N=NB(基区中点网格点)，方程的具体形式为npn晶体管稳态方程共七十二页4.2.4基区中点方程(fāngchéng)npn晶体管稳态方程(fāngchéng)=+++-)()1()()()()1()(NFNyNCNyNBNyNAddd共七十二页4.2.4基区中点方程(fāngchéng)[])x(n)x(pBiBqyexp-=[][])N()N(p)N(p)N()N(n)N(p)N(p)N(p)N(pBBBBBiBBBBdyqqdyqyd00000exp-=--+=+=Talory级数展开另外(lìnɡwài)，由基区中点约束条件[])N(n)N(pBiBqyexp-=得)N()N(p)N(pBBBdyqd0-=于是，得npn晶体管稳态方程共七十二页4.2.4基区中点方程(fāngchéng)比较(bǐjiào)上面的两个式子发现，NB点空穴浓度p(NB)及电势必须同时满足两个互相独立的方程，这是不可能的。)N()N(p)N(pBBBdyqd0-=npn晶体管稳态方程共七十二页4.2.4基区中点方程(fāngchéng)实际上，矩阵(jǔzhèn)方程=+++-)()1()()()()1()(NFNyNCNyNBNyNAddd的方程数和未知数数量已经相等，都是3(L-2)，如果再由求其满足)N()N(p)N(pBBBdyqd0-=就等于方程数比未知数的数目多一个，将使方程组无法求解。npn晶体管稳态方程共七十二页4.2.4基区中点方程(fāngchéng)方程组最上面一个方程(fāngchéng)是NB点的空穴连续性方程，第二个方程是NB点电子连续性方程，最下面一个是NB点的Poisson方程。解决上述多出一个方程的矛盾，可以通过忽略上面方程中最上面的空穴连续性方程，而以)N()N(p)N(pBBBdyqd0-=npn晶体管稳态方程共七十二页4.2.4基区中点方程(fāngchéng)来代替(dàitì)，即得到这就是晶体管的基区中性点方程。当N等于其他网格点时，和二极管完全相同。npn晶体管稳态方程共七十二页npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.5迭代(diédài)运算的初值前面说了，对矩阵方程组的迭代(diédài)，除了在基区的中点要用基区中点方程代替外，其余各个步骤和二极管相同。从p,n和的初值开始，迭代地计算增量因子如果所有的组元均变得足够小，则迭代结束。迭代过程还是先求平衡态时npn晶体管的,n(x),p(x)的分布。载流子浓度初值的选取和二极管一样，也是认为整个器件是电中性的，于是=+++-)()1()()()()1()(NFNyNCNyNBNyNAdddnpn晶体管稳态方程共七十二页4.2.5迭代(diédài)运算的初值npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页4.2.5迭代(diédài)运算的初值用前面的初值迭代运算后，得到平衡态或零偏置下npn晶体管的载流子浓度p(x),n(x)及电势分布。计算npn晶体管直流偏置下的p(x),n(x),时，载流子浓度的初值可以直接用前一偏压的结果p1(x),n1(x)，但电势分布因为要满足边界条件，不能直接用。与二极管一样，将外加电压的变化，均匀地降在加电压的区域(qūyù)中。对共基极接法，xB处电势不变，E、C二端随外加电压变化。假定工作条件为VBE1,VBC1时的真正电势为，可求得新工作条件VBE2,VBC2时的解，E、C外加电压的变化VBE2-VBE1及VBC2-VBC1应均匀地降在EB及CB区域，于是应为npn晶体管稳态方程共七十二页4.2.5迭代(diédài)运算的初值npn晶体管稳态方程(fāngchéng)共七十二页§4-3npn晶体管瞬态模型(móxíng)npn晶体管的瞬态模型(móxíng)共七十二页二极管瞬态特性的模拟，是首先建立二极管稳态或直流模型，已知t=t0时刻的有关电学参量，通过对时间(shíjiān)的差分，得到二极管的瞬态模型。对晶体管而言，同样可以在直流模型的基础上对时间差分，得到其瞬态模型。二极管模型和晶体管模型之间的关系以及直流特性和瞬态特性计算间的关系示于图4-1。npn晶体管的瞬态模型(móxíng)共七十二页npn晶体管的瞬态模型(móxíng)二极管稳态模型(móxíng)基区中点条件晶体管稳态模型时间导数二极管瞬态模型基区中点条件晶体管瞬态模型时间导数图4-1共七十二页计算(jìsuàn)举例§4-4npn晶体管直流稳态解计算(jìsuàn)举例共七十二页一、计算用的数据输入1.掺杂函数(hánshù)的确定

现以npn晶体管为例，计算其在若干个偏置条件下的直流稳态解。在所有的输入数据中，最基本的数据是掺杂(chānzá)函数。它可以用理想化的形式或者由试验任意地给出。我们假定每个扩散层都是高斯分布，即计算举例共七十二页一、计算(jìsuàn)用的数据输入

如图4-2所示，这个函数代表有一个衬底或具有恒定施主浓度CNB的外延层和三个扩散层组成的剖面分布。三个扩散层包括：从发射区一侧表面(biǎomiàn)扩散的p层---基区；n型层形成发射区；从集电区一侧扩散的n型层。pn+n-WNE5mn+图4-2发射区基区外延层N+衬底WPB10mWNB30mWNC5mCNE

CPB

CNBCNC1.掺杂函数的确定计算举例共七十二页一、计算用的数据(shùjù)输入1.掺杂函数(hánshù)的确定

为了进行计算，给定数据CNE=1020cm-1(发射区扩散层的表面浓度），CNC=1020cm-1(N+衬底扩散层表面掺杂浓度)，CPB=1017cm-1(基区浓度)，CNB=1015cm-1(外延层浓度)，WNE=5µm(发射区厚度)，WPB=10µm(基区厚度)，WNB=30µm(外延层厚度)，WNC=5µm(N+区扩散厚度)，pn+n-WNE5mn+图4-2发射区基区外延层N+衬底WPB10mWNB30mWNC5mCNE

CPB

CNBCNC计算举例共七十二页一、计算(jìsuàn)用的数据输入

载流子浓度(nóngdù)如图4-3所示，1.掺杂函数的确定计算举例共七十二页一、计算(jìsuàn)用的数据输入

区间网格化最简单的方案是从发射极端至集电极端的整个间距上均匀地进行划分。但事实上，对于总长为几微米的小型(xiǎoxíng)晶体管来讲，可以采用均匀划分方案，在这种情况下，总的网格点数在50至100的范围内，比较容易处理。然而，如果对上述例子也采用均匀划分，则将使60%的网格点位于高电阻率的集点区，在此区间载流子和电场都没有显著变化，因此设置太多的点是没有意义的。相反，如果减少总的网格点数，则位于发射区和基区的网格点数变得太少，以致失去了主要的数据资料。解决这个问题的办法则是采用非均匀的网格化方案，对于发射区和基区采用细密的间距，在结附近的区域内采2.区间网格化计算举例共七十二页一、计算(jìsuàn)用的数据输入采用最短距离的精细(jīngxì)间距；而对于高阻率的集电区则采用稀疏的间距，在集点区边界的扩散区，采用较短距离的粗略间距。根据这个原则，确定了总体方案。如下表所示。2.区间网格化细密间距—0.5

m精细间距—0.05

m稀疏间距—2

m粗略间距—1

m计算举例共七十二页区域间距（

m）网格点数各部分长度n发射区0.5840.3/0.220.50.130.30.0580.40.130.30.2/0.320.5P基区0.51680.3/0.220.50.130.30.0580.40.120.20.240.80.4/0.8/1/1.643.8n集电区211221220.5126总数9050计算(jìsuàn)举例共七十二页1.数据表二、计算结果图4-4示出了VBC保持在-1V，VBE从0.5V变到0.9V时载流子的分布，图4-5示出了对应的电场的分布。

计算(jìsuàn)举例2.计算结果与器件(qìjiàn)内部的现象A发射结低正偏置情况

下面研究器件内部的电子、空穴以及电势（电场）的分布。首先研究器件在最基本的工作状态----工做在有源区，即发射结处于正向偏置、集电结处于反向偏置。共七十二页由图4-4可以(kěyǐ)看出，在发射结偏压较低(0.5~0.74V)时，从发射极注入的电子浓度随距离的增加而衰减，在位于x=15µm处的集电结上，电子浓度最小。这是小注入状态的典型分布。计算(jìsuàn)举例2.计算结果与器件内部的现象图4-4小注入大注入共七十二页集电结存在一个高的负电场区，或者(huòzhě)等效地说，在集电结区内清楚地存在着一个集电结耗尽层（如图4-5c所示）。出现在集电结耗尽层内的最小电子浓度是一个随VBE而变的函数。计算(jìsuàn)举例2.计算结果与器件内部的现象图4-5c共七十二页接下来观察空穴的分布。在外加VBE时，存在于P型基区内的空穴反相地注入到发射区，如图4-4所示，虽然靠近发射结x=5µm处的发射区内的非平衡空穴浓度向左侧陡峭地衰减下去，但是发射区内的非平衡空穴浓度却仍有很大的数值。在较低的偏置条件下，集电结一侧的空穴分布几乎具有(jùyǒu)相同的形状，即接近耗尽层时空穴陡峭低衰减。在绝大部分基区内，电子浓度远低于空穴浓度，而多数载流子和少数载流子浓度之间的很大差别正式小注入计算(jìsuàn)举例图4-4状态的特征。共七十二页下面研究同样低偏置时的电场分布。在发射结处，有一个(yīɡè)对应于势垒的很窄的正峰(如图4-5a)，峰值随着VBE的增加而降低。因而引起电子和空穴的注入在向基区过渡时，电场改变符号并且变小。为了清楚，计算(jìsuàn)举例图4-5a见图4-5b，当VBE=0.6V时，x=7.25处电场等于-88.8V/cm。在该点，经计算证明，电子总电流(-0.32A/cm2)的百分之六十五是漂移电流分量。因此虽然基区内的电场很小，但是基区内电场对电子漂移具有重要作用。前面已经提过，在集电结耗尽层内有一个负的高峰，图4-5b共七十二页该负峰有助于收集已到达集电区边界的电子，位于更右侧的区域（峰）已不包含非平衡载流子，因此他简单(jiǎndān)地起欧姆电阻的作用。计算(jìsuàn)举例共七十二页B发射结高压正偏置

当VBE=0.76V以上时，电子分布(fēnbù)的形状基本上是在集电结内发生变化。随着VBE增大耗尽层消失而被大量的非平衡电子和空穴所充满，这些现象正是大注入状态的特征。称为基区扩展效应。

VBE进一步加大，非平衡电子和空穴将会扩展到高阻集电区中去，在VBE=0.9V时，分布的尾部几乎达到重掺杂的集电区扩散区。计算(jìsuàn)举例共七十二页VBE=0.5~0.9V,VBC=-1V时载流子分布(fēnbù)小注入大注入图4-4二、计算结果计算(jìsuàn)举例共七十二页发射区电场(diànchǎng)分布图4-5a二、计算结果计算(jìsuàn)举例共七十二页基区电场(diànchǎng)分布图4-5b二、计算结果计算(jìsuàn)举例共七十二页集电区电场(diànchǎng)分布图4-5c二、计算结果计算(jìsuàn)举例共七十二页2.计算结果与器件内部(nèibù)的现象二、计算结果C集电结高反偏置当集电极偏置电压VBC=-10V时，载流子和电场的分布分别(fēnbié)示于图4-6和图4-7。由图可见电子浓度在集电结耗尽层内发生显著变化，特别是在低发射结偏压时。由于集电结偏压较高，集电结要比图4-4所示的宽度宽，因此电子浓度最小值有一平坦的波形。此外，从小注入向大注入的