理论力学 第五章

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第五章刚体(gāngtǐ)动力学的基本概念制作与设计山东大学工程力学系共六十七页返回(fǎnhuí)首页TheoreticalMechanics

引言刚体：即在任何情况下变形可以忽略不计的物体。研究物体(wùtǐ)在力作用下平衡规律的科学平衡：物体相对于某一惯性参考系（地面可近似地看成是惯性参考系）保持静止或作匀速直线运动的状态。第二篇动力学共六十七页

返回(fǎnhuí)首页TheoreticalMechanics第五章刚体(gāngtǐ)动力学的基本概念§5.1力与力的投影(ForceandProjection)共六十七页

TheoreticalMechanics有向线段长度代表力的大小线段的方位和指向代表力的方向(fāngxiàng)

线段的起点表示力的作用点5.1力与力的投影(tóuyǐng)5.1.1力的概念力是物体之间的相互机械作用

力是定位矢量,用有向线段表示用黑体大写字母F表示力矢量用白体字母F表示力的大小。

在国际单位制中，力的单位为牛顿（N）

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力的分类(fēnlèi)按力的相互作用的范围(fànwéi)分为集中力(CF)分布力(UDF){水池池底所受的水压力为均布力;侧壁所受的水压力是按三角形规律分布的分布力.分布力的集度返回首页5.1力与力的投影5.1.1力的概念共六十七页xyz

TheoreticalMechanics力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量(shǐliàng)的标量积直角坐标系Oxyz的单位(dānwèi)矢量为i、j、k，力F在各轴上投影

返回首页1.直接投影法FFzFxFy5.1.2力的投影O5.1力与力的投影共六十七页

TheoreticalMechanics返回(fǎnhuí)首页5.1.2力的投影(tóuyǐng)2.二次投影法在直角坐标系中力F的矢量式F=Fxi+Fyj+Fzk

xyzFOFxyFyFxFz5.1力与力的投影共六十七页

TheoreticalMechanics已知力F在直角坐标轴上的三个投影，其大小和方向(fāngxiàng)分别为5.1.2力的投影(tóuyǐng)返回首页5.1力与力的投影共六十七页

TheoreticalMechanics将力F沿直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)轴方向分解

F=Fx+Fy+Fz力F沿直角坐标轴分量与在相应(xiāngyīng)轴上投影有Fx=Fxi,，Fy=Fyj，Fz=Fzk

值得注意:以上各式是在直角坐标系中推导的，在非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一个重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由几何运算转换为代数运算。返回首页5.1力与力的投影5.1.2力的投影共六十七页

TheoreticalMechanics例题力F2在各坐标轴上的投影(tóuyǐng)：

力F3在各坐标轴上的投影(tóuyǐng)：例图中a=b=m，c=m。力F1=100N，F2=200N，F3=300N，方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。力F1在各坐标轴上的投影：返回首页解：5.1力与力的投影共六十七页

返回(fǎnhuí)首页TheoreticalMechanics第五章刚体(gāngtǐ)动力学的基本概念§5.2力的分类及其基本公理Classificationandaxiomsofforce

共六十七页

TheoreticalMechanics返回(fǎnhuí)首页5.2力的分类(fēnlèi)及其基本公理作用与物体的多个力称为力系(Forcesystem)。按照力在空间位置的分布情况，力系可分为：平面力系(Plane)空间力系(Space)按照力作用线是否具有特殊关系，力系分为：汇交力系(Concurrent)平行力系(Parallel)

任意力系(Random)共六十七页

TheoreticalMechanics静力学的理论体系是在此基础上建立(jiànlì)起来的

公理一:(力的平行四边形法则,ParallelogramLaw)作用于物体某一点的两个力的合力(hélì)，亦作用于同一点上，其大小及方向可由这两个力所构成的平行四边形的对角线来表示。返回首页5.2力的分类及其基本公理共六十七页

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公理二(二力平衡公理Twoforces’equilibriumaxiom)作用于刚体上的两个(liǎnɡɡè)力平衡的必要和充分条件是：这两力大小相等，方向相反，并作用于同一直线上。返回(fǎnhuí)首页5.2力的分类及其基本公理共六十七页

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公理三(加减平衡力系公理Axiomofadditionandsubtractioncounterweightsystem)

在作用于刚体上的任何一个力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变(gǎibiàn)原力系对刚体的作用效应。返回(fǎnhuí)首页5.2力的分类及其基本公理共六十七页

TheoreticalMechanics返回(fǎnhuí)首页5.2力的分类(fēnlèi)及其基本公理

推理一(力的可传性原理,Principleofforcetransfer)

作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移动到刚体内任一点，而不改变该力对刚体的作用。共六十七页

TheoreticalMechanics返回(fǎnhuí)首页5.2力的分类(fēnlèi)及其基本公理

推理二(三力平衡汇交定理,Theoremofthreeconcurrentforces)

如果刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。共六十七页

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公理四(作用(zuòyòng)与反作用(zuòyòng)定律,PrincipleofActionandReaction):两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在相互作用的两个物体上。返回(fǎnhuí)首页5.2力的分类及其基本公理共六十七页

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公理(gōnglǐ)五(刚化公理,AxiomofRigidization)

:变形体受已知力作用而成平衡状态，若将该物体变成刚体(刚化)，则平衡状态不受影响。返回(fǎnhuí)首页5.2力的分类及其基本公理共六十七页

返回(fǎnhuí)首页TheoreticalMechanics第五章刚体(gāngtǐ)动力学的基本概念§5.3

力矩与力偶MomentandCouple共六十七页

TheoreticalMechanics5.3力矩(lìjǔ)与力偶5.3.1力对轴之矩力F对z轴之矩可由三角形Oab面积(miànjī)的两倍表示当力与轴平行（Fxy=0）或相交时（h=0），力对轴之矩等于零。力对轴之矩：力对轴之矩是代数量，它的大小等于力在垂直于轴的平面上的投影与此投影至轴的距离的乘积，它的正负号则由右手螺旋规则来确定。

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TheoreticalMechanics5.3.2力对点之矩其大小(dàxiǎo)为MO(F)=r×F

在直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系Oxyz中，矢径r=xi+yj+zk，力F=Fxi

+Fyj+Fzk。力对点之矩的矢积表达式可写为行列式形式

力F对O点之矩:矢径r与力F的矢积返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics若力F

作用(zuòyòng)在Oxy平面内，即Fz≡0，z≡0，如图力F对此平面内任一点O之矩，实际上是此力对通过O点垂直于Oxy平面的z轴之矩MO(F)=r×F

=(Fxy–Fyx)k

力F对O点之矩总是沿着z轴方向，可用代数量(shùliàng)来表示MO(F)=Mz(F)=±Fh=±2△OAB

在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定逆时针为正，顺时针为负。

5.3.2力对点之矩返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics5.3.3合力矩(lìjǔ)定理作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴）之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。这一结论称为伐里农定理(dìnglǐ)(Varignon'stheorem)或合力矩定理。MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)Mz(FR)=Mz(F1)+Mz(F2)

返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics力对点之矩在过该点任意轴上的投影(tóuyǐng)等于力对该轴之矩，这一关系称为力矩关系定理。5.3.4

力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系(guānxì)设过任一点O之直角坐标轴为x、y、z，返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics力F对O点之矩、力F对通过O点的z轴之矩的大小(dàxiǎo)分别为式中

为两三角形平面(píngmiàn)之间的夹角，即mO(F)与z轴之夹角。5.3.4

力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics5.3.5力偶(lìǒu)大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力称为力偶。

二力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面，两作用线的垂直距离d称为力偶臂。

力偶是一种基本力学量,力偶对刚体的作用，只有(zhǐyǒu)转动效应.力偶是一种特殊的力系。返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics设rBA和rAB分别表示图中的矢径和，矢量M=rBA×F=rAB×F

称为力偶(lìǒu)(F,F

)的力偶矩矢量，简称为力偶矩矢。在图中空间任取一点(yīdiǎn)O，则A、B两点的矢径，用rA、rB表示，

rBA=rA–rB。力偶对O点之矩

MO(F,F')=MO(F)+MO(F')=rA×F+rB×F'=(rA–rB)×F=rBA×F

所以

MO(F,F')=M

力偶的等效和性质5.3.5力偶返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics（1）力偶矩矢量M与矩心的选择无关，因而是一个自由矢量。（2）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力偶作用面的方位及力偶的转向。（3）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为(chēnɡwéi)力偶的等效性。力偶对刚体的作用完全(wánquán)决定于力偶矩矢。5.3.5力偶返回首页5.3力矩与力偶共六十七页

TheoreticalMechanics力偶矩在平面问题(wèntí)中视为代数量，记为M

M=±Fd

正负号分别由力偶的转向(zhuǎnxiàng)决定。力偶的等效性：现计算组成力偶的两个力对任一点力矩之和，即5.3.5力偶返回首页所以5.3力矩与力偶共六十七页

返回(fǎnhuí)首页TheoreticalMechanics第五章刚体(gāngtǐ)动力学的基本概念§5.4约束与约束反力（ConstraintandConstraintReactions）共六十七页

TheoreticalMechanics基本概念自由体非自由体主动力约束：对非自由体预先给定的限制运动(yùndòng)几何条件约束力：约束对物体的作用力方向：

与约束所能阻止的物体的运动或运动

趋势的方向相反

作用点：在约束与被约束物体的接触点

5.4约束(yuēshù)与约束(yuēshù)反力返回首页共六十七页

TheoreticalMechanics约束(yuēshù)的分类柔性体约束(yuēshù)

光滑面约束光滑圆柱形铰链约束链杆约束单面约束双面约束{中间柱铰链固定柱铰链支座滚动柱铰链支座{返回首页5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics5.4.1柔性(róuxìnɡ)体约束柔软、不可伸长(shēnchánɡ)的约束物体特点:只能承受拉力，不能承受压力约束力是沿其中心线的拉力返回首页FPFP5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics5.4.2光滑(guānghuá)面约束光滑面约束：与物体相接触(jiēchù)的是另一物体的光滑表面特点：作用在接触处；沿接触处的公法线指向物体返回首页点接触时，约束力为集中力。线或面接触，用分布力的合力来表示。5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics滑块为双面约束(yuēshù)5.4.2光滑(guānghuá)面约束返回首页5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics单面约束的约束反力只能限制物体沿一个方向的运动，方向一般能事先(shìxiān)确定。双面约束(yuēshù)的约束(yuēshù)反力方向只能假设，其真实方向由计算值的正负号确定。几点讨论返回首页5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics1.光滑(guānghuá)球铰链汽车(qìchē)变速器的操纵杆底部是一个典型的光滑球铰链约束。简图这种作用实质是光滑面约束5.4.3光滑铰链约束返回首页5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics5.4.3光滑铰链(jiǎoliàn)约束1.光滑(guānghuá)球铰链约束力作用于接触点，方向沿径向指向球心，也可用三个大小未知的正交分力表示约束力。返回首页5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics物体(wùtǐ)之间若用铰链连接，这种铰链称为中间球铰链。返回(fǎnhuí)首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics2光滑圆柱形铰链(jiǎoliàn)约束中间(zhōngjiān)柱铰链用销钉连接两个钻有相同大小孔径的构件，就构成了中间柱铰链约束。运动特性∶圆柱形销钉约束，只允许两构件绕销钉轴线有相对转动。返回首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics销钉(xiāodīng)对构件的约束力，其作用点在接触处，总是沿销钉(xiāodīng)的径向，指向其中心。也可将圆柱铰链约束用两个(liǎnɡɡè)大小未知的正交分力表示，其作用点在圆柱的中心上。返回首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics将中间铰链相连的两构件之一固定在支承物上，便成为(chéngwéi)固定柱铰链支座约束，简称固定铰支座。固定(gùdìng)柱铰链支座返回首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics简图及约束力画法固定柱铰链支座返回(fǎnhuí)首页5.4.3光滑(guānghuá)铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics约束只限制物体沿支承(zhīchénɡ)面法线方向的运动滚动柱铰链(jiǎoliàn)支座返回首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics简图及约束力画法(huàfǎ)：支座(zhīzuò)约束力的方向沿支承面法线，作用点在铰链中心。返回首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanicsFyFxFN约束(yuēshù)模型返回(fǎnhuí)首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics轴承(zhóuchéng)常见的两种轴承:

向心轴承，它限制转轴的径向平移，并不限制它的轴向运动和绕轴转动，它相当于铰链(jiǎoliàn)支座。返回首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics向心推力轴承，它限制转轴的径向(jìnɡxiànɡ)平移，又限制它的轴向运动，只允许绕轴转动。向心(xiànɡxīn)推力轴承向心轴承返回首页5.4.3光滑铰链约束5.4约束与约束反力共六十七页

TheoreticalMechanics工程上，把只受两个力作用，且处于平衡状态(zhuàngtài)的刚体称为二力杆或二力构件。二力杆所受的两个力必定大小相等、方向相反,并沿两个受力点的连线。两端用光滑铰链与物体连接，中间(zhōngjiān)不受力(包括自重在内)的刚性直杆称为链杆。链杆是二力杆，既能受拉，又能受压，因此，链杆的约束力沿其中心线，指向事先难以确定，通常假设它受拉。返回首页5.4约束与约束反力5.4.3光滑铰链约束共六十七页

TheoreticalMechanics5.4.4固定(gùdìng)端约束物体在空间各个方向上的运动（包括平移和转动）都受到约束的限制，这类约束称为(chēnɡwéi)固定端约束。对平面情形，固定端约束的约束力只剩下三个分量，即两个约束力分量和一个约束力偶。返回首页5.4约束与约束反力共六十七页

返回(fǎnhuí)首页TheoreticalMechanics§5.5物体(wùtǐ)的受力分析和受力图Forceanalysisandforcediagram第五章刚体动力学的基本概念共六十七页

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受力分析：将研究的物体(wùtǐ)或物体(wùtǐ)系统从与其联系的物体(wùtǐ)中分离出来，分析它的受力状态。两个(liǎnɡɡè)步骤：1.选择研究对象，取分离体解除它受到的全部约束，将其从周围的约束中分离出来，并画出相应的简图，这一过程称为取分离体。5.5物体的受力分析和受力图受力分析返回首页共六十七页

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2.画受力图在分离体图上，先画上所有的主动力，再依据去掉的约束特征，逐个画上相应的约束力，然后(ránhòu)标明各力的符号,这个简图称为受力图。画受力图(lìtú)画受力图时，应注意以下几点：（1）明确研究对象，画出它所受的主动力。（2）一定要按照上节所讲的约束类型去画各约束力的作用线和指向。返回首页5.5物体的受力分析和受力图共六十七页

TheoreticalMechanics（3）在物系问题中，宜先画整体受力图，再画各物体的受力图，各分离体之间的作用力必须满足作用与反作用定律的关系。（4）内力不画在分离体上。（5）如果分离体与二力杆相连，一定(yīdìng)要按二力杆的特点去画它对分离体的作用力。画受力图(lìtú)返回首页5.5物体的受力分析和受力图共六十七页

TheoreticalMechanics例1-3构架中BC杆上有一导槽，DE杆上的销钉可在其中滑动。设所有接触面均光滑，各杆的自重(zìzhòng)均不计，试画出整体及杆AB、BC、DE的受力图。画出整体(zhěngtǐ)的受力图B、D、H处的约束力均为内力，不画出例题FAyFAxFCxFAyF返回首页5.5物体的受力分析和受力图共六十七页

TheoreticalMechanics导槽给销钉(xiāodīng)的约束力应垂直于导槽画出杆AB的受力图(lìtú)画BC杆受力图画出DE的受力图例题FAyFAxFCxFCyF'BxF'DyF'ByF'DxFBxFByF'NHFNHFDxFDyF返回首页5.5物体的受力分析和受力图共六十七页

TheoreticalMechanics例1-4结构中固结在I点的绳子绕过定滑轮O，将重物P吊起。各杆之间用铰链连接，杆重不计。试画出下列指定物体的受力图：（1）整体；（2）杆BC；（3）杆CDE；（4）杆BDO连同(liántóng)滑轮和重物；（5）销钉B。整体(zhěngtǐ)受力图例题FAyFAxFA返回首页5.5物体的受力分析和受力图共六十七页

TheoreticalMechanics杆BC受力图(lìtú)杆BDO连同滑轮和重物(zhònɡwù)受力图销钉B受力图例题杆CDE受力图返回首页FBxFByDOHGBF'DyF'DxF'TFDyFDxFTFExFEy．EDCIF'CBF'BF'ByF'BxFBABCFCFB5.5物体的受力分析和受力图共六十七页

TheoreticalMechanics例题返回(fǎnhuí)首页5.5物体的受力分析(fēnxī)和受力图例5.1

如图（a）所示，绞车通过钢丝绳牵引重为W的矿车沿斜面轨道匀速上升。试画出矿车的受力图。解：（1）取矿车为研究对象。将矿车从钢丝绳和轨道的约束中分离出来，画出其简图。

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TheoreticalMechanics例题返回(fǎn