高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：11 椭圆（学生版+解析版）

专题11椭圆

一、单选题

1.（2019•浙江省高二期末）椭圆工+丁=1的长轴长为（）

4

A.1B.2C.D.4

22

2.（2020.黑龙江省铁人中学高二月考（文））方程』一+"—=1表示椭圆的必要不充分条件是（)

4+加2-m

A.me（-l,2）B.me（^4,2）

C.mD.me（-l,4-co）

3.（2020•咸阳市教育教学研究室高三一模（文））椭圆2/—加/=1的一个焦点坐标为（0,-/），则实数

m=（）

2222

A.-B.-C.-----D.-----

3535

Y2V2

4.（2020.定远县育才学校高二月考（文））已知片，区是椭圆需+1=1的两焦点，过点区的直线交椭圆于

点A、B,若|明=5,则|AK|+|跖|=（）

A.11B.10C.9D.16

5.（2020•安徽省高二期末（文））已知椭圆。的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2,离心率等于

詈，则该椭圆的标准方程为（）

2222

AA•-%----1---y--=I1B0.--y----1%=1I

204204

22

C.工+f=iD.—+y2=l

55

尤2v2

6.（2020•天津市实验中学滨海学校高三一模）设椭圆C：讶+方=l（a>/,>0）的左、右焦点分别为£、

F2,P是C上的点。6_16巴，ZPFtF2=30°,则。的离心率为（)

A.®B.-C.-D.显

6323

22

7.（2020•北京高三月考）已知曲线C的方程为工-±=1，则是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”

ab

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

8.（2020.安徽省六安一中高二开学考试（理））点P为椭圆2-+2-=1上任意一点，E/为圆

1615

N:（x—1）2+V=i的任意一条直径，则而.而的取值范围是（）

A.(8,24)B.[8,24]C.[5,21]D.(5,21)

9.（2020.定远县育才学校高二月考（文））已知椭圆工+二=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4,

259

那么点M到另一个焦点的距离等于（）

A.1B.3C.6D.10

223

10.（2020•安徽省高三三模（理））已知椭圆r=+*v=1（a>6>0）的离心率为彳，左，右焦点分别为耳，

F2,过左焦点耳作直线与椭圆在第一象限交点为P,若△PFE为等腰三角形，则直线PFy的斜率为（）

A.B.2^1C.4A/5D.

787

二、多选题

11.（2020•海南省高三零模）已知P是椭圆C:二+产=1上的动点，。是圆。：（8+1）2+;/=!上的动点，

65

则（）

A.C的焦距为6B.C的离心率为我

6

C.圆。在C的内部D.|PQ|的最小值为半

12.（2020•高密市第一中学高三月考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心尸为一个焦点的椭圆,

如图所示，己知它的近地点A（离地面最近的点）距地面加千米，远地点8（离地面最远的点）距地面〃千

米，并且尸、48三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为

A.a-c—m+RB.a+c-n+RC.2a-m+nD.b=yl(m+R)(n+R)

x2y2

13.（2020•南京市秦淮中学高二期末）在平面直角坐标系中，椭圆靛+”=1（〃＞。＞0）上存在点P,

使得其中耳、居分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）

11l3

A.—B.-C.3日-6D.—

424

三、填空题

14.（2020.定远县育才学校高二月考（文））焦点在X轴，两准线间的距离为粤1,焦距为26的椭圆方

程为.

22

15.（2019•浙江省高二期中）若方程一二+二一=1表示椭圆，则实数〃，的取值范围是；当机=-1

机+2\-m

时，椭圆的焦点坐标为.

22

16.（2020•黑龙江省高三一模（理））已知椭圆C：1+三=1的左、右焦点分别为£,F2,如图4B是

过月且垂直于长轴的弦，则写的内切圆方程是.

17.（2020•合肥一六八中学高三月考（理））已知两定点A（—1,0）和8（1,0）,动点P（x,y）在直线/：）＞=x+3

上移动，椭圆。以A,B，为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为.

四、解答题

18.（2019•肃宁县第一中学高二月考）求下列椭圆的标准方程：

（1）焦点在X轴上，离心率e=|,且经过点2；

（2）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点尸（3,0）.

19.（2019•甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理））椭圆的两个焦点的坐标分别为R（-2,0）,F2

（2,0）,且椭圆经过点（与-1）

22

（1）求椭圆标准方程.

（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率.

20.（2020•河北省深州市长江中学高二月考）

已知椭圆C的两焦点分别为耳卜2枝,0）、用2衣0）,长轴长为6.

⑴求椭圆C的标准方程；⑵已知过点（0,2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长

度.

22

21.（2019♦江苏省淮阴中学高三月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆斗+9=］（。＞。＞0）

的焦点为£（-c,0）,E（c,0）,点A为上顶点，直线交椭圆于点反

（2）若A招，Bg,求椭圆的离心率.

22.（2020•萍乡市湘东中学高二期中（文））已知椭圆的中心在原点，焦点在4轴上，离心率为也，且经

2

过点M（4,l）,直线/：y=x+/n交椭圆于不同的两点A,B.

(1)求椭圆的方程；

(2)求利的取值范围.

22

23.(2020・江西省高三其他(理))已知椭圆的焦距为2击，短轴长为2血・

(1)求C的方程；

(2)若直线y=x+2与。相交于A、3两点，求以线段为直径的圆的标准方程.

专题11椭圆

一、单选题

1.(2019•浙江省高二期末)椭圆土+丁=1的长轴长为()

4

A.1B.2C.273D.4

【答案】D

【解析】

2

由三+丁=1可得/=4,即。=2

4-

所以长轴长为2a=4

故选：D

22

2.(2020.黑龙江省铁人中学高二月考(文))方程上一+二一=1表示椭圆的必要不充分条件是()

4+2-m

A./Tie(-1,2)B.mG(-4,2)

C.nz£(Y,-l)D(-l,2)D.(-l,+oo)

【答案】B

【解析】

4+m>0

22

方程上一+二一=1表示椭圆的充要分条件是2-m>0

4+2-m

4+机。2-m

解得：me(-4,-1)U(-1,2),

所以me(T,,2)是正确选项的真子集，

对照四个选项，只有(-4,2)符合.

故选：B.

3.(2020.咸阳市教育教学研究室高三一模(文))椭圆2/—加/=i的一个焦点坐标为则实数

m=()

2222

A.-B.一C.--D.---

3535

【答案】D

【解析】

二+工--1/r\11

椭圆的标准方程为11—I由于该椭圆的一个焦点坐标为0,—&,则--------=2,

-v'm2

2m

解得加=-■!.

故选：D.

22

4.(2020・定远县育才学校高二月考(文))己知耳，鸟是椭圆器+三=1的两焦点，过点"的直线交椭圆于

点4、3,若|明=5,则。耳|+忸用=()

A.11B.10C.9D.16

【答案】A

【解析】

如图，

由椭圆三+二=1可得：/=16,则。=4

169

乂|M|+忸制+|AB|=4a=16

且|明=5

则|时|+忸耳|=11

故选A

5.（2020•安徽省高二期末（文））已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2,离心率等于

半，则该椭圆的标准方程为（

)

2237

A.-----1-----=IB.

204204

2

X1

c.21+Y=ID.—+V2=1

55

【答案】C

【解析】

22

设椭圆C标准方程为：4+二=1(。>Z>>0).

a2b2

•.♦短轴长为2,.・.28=2,解得：b=L

•.•离心率e=£=2石,乂/=〃+/=1+，，：./=5，

a5

2

••・椭圆C的标准方程为匕+/=1.

5

故选：C.

22

6.（2020•天津市实验中学滨海学校高三一模）设椭圆。：鼻+}=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳、

玛，P是C上的点PgJ•大玛，NP£g=30。，则。的离心率为（）

A瓜11

B.-C.一D.B

6323

【答案】D

【解析】

设|Pg|=x,•••「玛，耳乙，4耳马=30。,

.•.伊耳|=2%,闺用=小，

又归耳|+|尸闾=勿，闺闾=2c

•"•2a=3x,2c=-\/3x，

.•.C的离心率为：e=—=—•

la3

故选：D.

r22

7.（2020•北京高三月考）已知曲线C的方程为二-2v-=1,则“〃犷”是"曲线C为焦点在x轴上的椭圆”

ab

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

若。>方>0,则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，

若曲线C为焦点在X轴上的椭圆，则满足a>-人>0,

即a>0,b<0,满足。>方，即必要性成立，

即“〃>h”是“曲线C为焦点在x轴上的桶圆”的必要不充分条件.

故选：B.

丫22

8.（2020•安徽省六安一中高二开学考试（理））点P为椭圆二+2v-=1上任意一点，EF为圆

1615

N:（x—l）2+y2=i的任意一条直径，则屋.而的取值范围是（）

A.（8,24）B.18,24]C.[5,21]D.（5,21）

【答案】B

【解析】

由题意，屋.所=（而+屉）•（而+标）=（而+诟）•（而一亚）=|所『—]屉『

又EF为圆N:（x—l）2+/=1的任意一条宜径，则|屉卜1,

在椭圆看+看=1中，有。一。』两|4a+c,即3«|丽小5,

所以，8<|^V|2-1<24,故厚.而=|两的取值范围为区24].

故选：B.

9.（2020•定远县育才学校高二月考（文））已知椭圆工+上=1上一点”到椭圆的一个焦点的距离等于4,

259

那么点M到另一个焦点的距离等于（）

A.1B.3C.6D.10

【答案】C

【解析】由椭圆方程可得,,a-2=25,2a=10,由椭圆的定义可得点M到另一焦点的距离等于6,故选C.

V-223

10.（2020•安徽省高三三模（理））己知椭圆二+v/=1（a>8>（））的离心率为丁左，右焦点分别为片，

马，过左焦点耳作直线与椭圆在第一象限交点为P,若△助鸟为等腰三角形，则直线2耳的斜率为（）

、4及R7逝

C.475

------------D.------------D.半

78

【答案】A

【解析】

因为点尸在第一象限，所以|心|>|2"|,

c35

因为e=—==,所以a=

a53

4

当|尸/"斗月鸟|=2。时，|2乙|=2〃-2°=§。满足|刊">上西|,

4c2+而

___________9-7,

8c2__9

所以sinNP6月

40

sinZP^F；

所以tanNP"6

77

cosZPF}F2

9

所以直线PF】的斜率为W1,

7

4

当|PgR耳心|=2c时，|防|=2。一|「工|=2。-2。=§。〈|月耳，不符合题意.

综上所以直线PF、的斜率为逆.

7

故选：A

二、多选题

11.（2020•海南省高三零模）已知P是椭圆C:二+产=1上的动点，。是圆O:（x+l）2+y2=J.上的动点,

65

则（）

A.C的焦距为逐B.C的离心率为粤

C.圆。在C的内部D.|尸。|的最小值为今5

【答案】BC

【解析】

依题意可得c=后斤=6,则C的焦距为26，6=4=叵.

设P(x,y)(—^6<x<屈)，

44I

+->->—，

555

所以圆。在C的内部，且IPQI的最小值为

故选：BC.

12.（2020.高密市第一中学高三月考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,

如图所示，己知它的近地点A（离地面最近的点）距地面，〃千米，远地点8（离地面最远的点）距地面〃千

米，并且尸、A、8三点在同一直线上，地球半径约为A千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为

2a、2）、2c,则（）

A.a-c=m+RB.a+c=〃+RC.2a=m十九D.b=+R)(〃+R)

【答案】ABD

【解析】

因为地球的中心是椭圆的•个焦点，

m-a-c-R

并且根据图象可得I八，(*)

n=a+c-R

s.a-c=m-vR,故A正确；

a+c=n+R.故B正确；

(*)两式相加m+〃=2。-2/?,可得2。=m+〃+2R,故C不正确；

m+R=a—c/、/、

由(*)可得＜+R+，两式相乘可得(m+R)(〃+R)=〃-—c

•.,a2-c2=b2，

:.h2=+/?)(〃+H)n〃=+/?)(〃+H),

故D正确.

故选：ABD

炉+区

13.（2020•南京市秦淮中学高二期末）在平面直角坐标系尢Oy中，椭圆部+从=1（4>人>0）上存在点P,

使得"=3叫，其中耳、鸟分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）

11L3

A.—B.-C.3>/5-6D.—

424

【答案】BD

【解析】

,、PF.-3PF、3aa

设椭圆的焦距为2c（c>0）,由椭圆的定义可得°二"，解得朋=?，尸鸟=彳，

1r1十—乙aLL

7c1c1c

由题意可得，解得一》一，又0〈一<1,所以，一《一<1,

3。」a2a2a

—<a+c

12

所以，该椭圆离心率的取值范围是

故符合条件的选项为BD.

故选：BD.

三、填空题

14.（2020・定远县育才学校高二月考（文））焦点在工轴，两准线间的距离为与5,焦距为2石的椭圆方

程为.

22

【答案】—+^-=1

94

【解析】

ca218>/5

2x—=-----

c5

22

设椭圆方程为2+方=1（。>〃>0）,依题意<2c=2逐,

'''Y=82+c2

解得a-3,h-2,c—>/5.

22

所以椭圆方程为%土+Lv=i.

94

22

故答案为：二-+）-=1

94

V22

15.（2019•浙江省高二期中）若方程上~+工V=1表示椭圆，则实数加的取值范围是;当机=-1

m+2l-m

时，椭圆的焦点坐标为.

【答案】（-2,-g）U（-g,l）；（0,-1）,（0,1）.

【解析】

①根据椭圆的方程特征，方程—L+-2—=i表示椭圆，则

m+2l-m

m+2>0

*1-777>0解得：ITlE(—2,——)U(—~3)：

zn+2wl-m

2

②加=一1时，椭圆的方程/+上=1,焦点在y轴，其坐标分别为(0,—1),(0/)

2

故答案为：①旅g(-2,-])U(-±1)；②(0,-1),(0,1)

22

22

16.(2020•黑龙江省高三一模(理))已知椭圆。：弓_+与=1的左、右焦点分别为6，F2,如图AB是

过耳且垂直于长轴的弦，则A43玛的内切圆方程是.

【答案】+y2=g

【解析】

由已知，A(—2,*)，8(-2,-手)，鸟(2,0),设内切圆的圆心为«,0)。>一2),半径为r,则

S&ABF、=葭ABXF[F,=gX(AB+AF,+BF2)xr=^-x4axr,故有x4=4瓜r,

'2223

2248

解得r=1,由|/一(一2)|=§,，=一§或t=(舍)，所以AA5层的内切圆方程为

4

2

4+y=

x-\—9-

3

4A44

+2-

故答案为:-y-

379

17.(2020•合肥一六八中学高三月考(理))已知两定点A(-1,0)和6(1,0),动点P(x,y)在直线/：y=x+3

上移动，椭圆。以A,B，为焦点且经过点P,则椭圆。的离心率的最大值为.

【答案】亚

5

【解析】

由题意得，2c=|AB|=2,所以c=l,2a=\PA\+\PB\

当。取最小值时，椭圆。的离心率有最大值，

设点A(-l,0)关于直线/：y=x+3的对称点为A(x,y),

上=7

x+1x--3

则〈解得，C

上=七1+3卜=2

122

所以A'(—3,2),

则+归同=怛川+归耳>|A'5|,所以2a>\AB\=2s/5,

所以当a=J5时，椭圆的离心率最大，

此时，£=」=立

ay/55

故答案为：—

5

四、解答题

18.(2019•肃宁县第一中学高二月考)求下列椭圆的标准方程:

⑴焦点在“轴上，离心率e=|,旦经过点A呼,”

(2)以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0).

222

【答案】（1）—+^-=1；（2）—+y1或匕+二=1

25169'819

【解析】

22

(1)因为焦点在X轴上，即设椭圆的标准方程为多+2=13>6>0),

a~h~

754l

'衣①’

7

3,2222

c=—a,:,b=a-c=a,^b2=—a2.@,

25

754x25

把②代入①，得一7+—r=l，解得力=25,;.〃=16,

4a-16a-

二椭圆的标准方程为—+^-=1.

2516

22

（2）若焦点在工轴上，设方程为1+鼻=1（。>/,>0）.

ab

因为桶圆过点P（3,0）,所以方+/=1，又2a=3x2力，，。=3/=1

丫2

椭圆的标准方程为二+V1,

9'

22o2

若焦点在y轴上，设方程为=+£=1（。〉。〉0）.因为椭圆过点P（3,O）,,所以］+a=1,又

2a=3乂2b,;.a=9,b=3.•.椭圆的方程为工+工=1

819

222

综上，所求的椭圆方程是土+y2=l或匕+土=1

9-819

19.（2019•甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理））椭圆的两个焦点的坐标分别为Fi（-2,0）,

（2,0）,且椭圆经过点冷-3

22

（1）求椭圆标准方程.

（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率.

22

【答案】（1）椭圆的标准方程为：£—+工=1,

106_

（2）椭圆的长轴长：2yd短轴长2通，离心率6=君7平.

【解析】

22

（1）设椭圆的标准方程为（a>b>0）,

a，b’

则2a=J（慨+2）?+（-*1）（-|~2）+（-■!）=235

即a=J记，

又；c=2,

b2=a2-c2=6,

22

故椭圆的标准方程为：工+工一=1,

106

（2）由（I）得：

椭圆的长轴长：2伍，

短轴长2企，

离心率e=j「伍.

V105

20.（2020•河北省深州市长江中学高二月考）

已知椭圆C的两焦点分别为6卜28,0）、鸟（2枝,0）,长轴长为6.

⑴求椭圆C的标准方程；⑵已知过点（0,2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长

度.

【答案】⑴二+亡=1；⑵迪

915

【解析】

⑴由耳卜F2（2^2,0j,长轴长为6

得：。=2，5,々=3所以〃=1

22

，椭圆方程为'+±二1

91

22

⑵设A（jq,y）,8（七,必），由⑴可知椭圆方程为二+、-=1①，

V宜线AB的方程为y=X+2②

把②代入①得化简并整理得IOJC2+36x+27=0

一…1827

所以玉+々=一二，再无2=记

述

又|明=

5

21.（2019•江苏省淮阴中学高三月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆二+1=1(。>Z?>0)

b1

的焦点为耳（-。,0）,E（c,0）,点A为上顶点，直线期交椭圆于点儿

（2）若AF21BB，求椭圆的离心率.

【答案】（1）（2）浮

【解析】

（1）因为a=及，c=l,所以椭圆的方程为1+9=1,直线A5:y=x+1,

（2

X_14

<2+）2=>3x2+4x=0,所以1=0或工=—,

13

J=x+1

41

所以点5的坐标为（一§,一§）.

（2）设忸用=%,则忸闻=2。一x,

因为点A为上顶点，所以|M|=|A7^|=a,

因为6，所以/+（20—x）2=（a+x）2,所以