2024-2025学年北师版中学数学八年级上册7.5.1三角形内角和定理 教学课件

第七章平行线的证明第七章平行线的证明7.5

三角形内角和定理第1课时

学习目标1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）2.应用三角形内角和定理解决相关问题.（难点）我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.

一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.新课导入

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.【思考】除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？【探究】在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的内角和定理的证明新课讲解【验证】三角形三个内角的和等于180°.

求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，∴∠B=∠1，(两直线平行,内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1，(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.【想一想】同学们还有其他的方法吗？【思考】多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6m

在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.★思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.★作辅助线【例1】

如图，在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.例题讲解【例2】

如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.【例3】

在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋

15)°，从而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，

33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是

_________三角形.

1.在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠

C=.

3.在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°随堂训练三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180°课堂小结1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50当堂检测2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______.BACD4132E40°（280°3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．【变式题】如图,BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，你能写出∠BPC与∠A

之间的数量关系吗？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠A