2024-2025学年北师版中学数学九年级上册 2.2用配方法求解一元二次方程（第2课时） 教学课件

第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.1

用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法求解复杂的一元二次方程

学习目标12会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

(重点）能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）

复习新课导入配方法解方程的基本思路

把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解．

在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.方程配方的方法配方法解方程的基本步骤一般步骤方法一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方四开开平方利用平方根的意义直接开平方五解解两个一元一次方程移项，合并知识讲解★用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：①x2+6x+8=0;②3x2+18x+24=0.问题2：用配方法来解x2+6x+8=0.

解：移项，得x2+6x=-8

,配方，得（x+3）2=1.开平方,得x+3=±1.解得

x1=-2,x2=-4.想一想怎么来解3x2+18x+24=0.

用配方法解方程：3x2+18x+24=0.

解：方程两边同时除以3,得

x2+6x+8=0.

移项，得x2+6x=-8,配方,得（x+3）2=1.开平方,得x+3=±1.解得

x1=-2,x2=-4.

结论：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.例1例2

解方程：(1)

3x2+8x-3=0.

解：两边同除以3,得

x2+

x-

1=0.配方,得x2+x+()2-()2-1=0,

即（x+）2-

=0.移项,得

x+=±

,即x+=

或x+=.所以x1=,x2=

-3.

配方，得

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得3x2－6x=-4,x2－2x=－,x2－2x+12=－

+12，即(x－1)2=－.

试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.例3★配方法的应用配方法的应用

类别

解题策略求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=21．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（

）

A．1B．-1C．1或9D．-1或9随堂训练C2.解下列方程：解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.解：（2）3x2+6x-9=0.（1）4x2-6x-3=0；3.应用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.解：（1）2x2-

4x+5=2(x-

1)2+3,

所以当x=1时，有最小值，为3.

（2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4,

所以当x=2时,有最大值，为-4.课堂小结配方法方法步骤一移