2024-2025学年北师版中学数学九年级上册 2.3用公式法求解一元二次方程（第2课时） 教学课件

第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.3

用公式法求解一元二次方程第2课时

利用一元二次方程解决面积问题学习目标12掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）新课导入复习交流知识讲解几何图形与一元二次方程探究问题：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）

分析:这本书的长宽之比

：

正中央的矩形长宽之比

：

，上下边衬与左右边衬之比

：

.9797设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬宽度之比为：97

解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm.依题意,得解方程得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.思考

如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？

解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意,得解得故上、下边衬的宽度为:故左、右边衬的宽度为:答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.例1如图，某小区在一个长为40m，宽为26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144m2，求甬路的宽度.

分析：将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为x

m，则草坪总面积为(40-2x)(26-x)m2，所列方程为(40-2x)(26-x)＝144×6.我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些.

如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m2时，求AB的长．例2解：设AB长为xm，则BC长为(50－2x)m.根据题意，得x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15.当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应该舍去．当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，所以x＝15满足条件．答：AB的长为15m.随堂训练CB1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(

)A．

x(x－10)＝900B．

x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900D．2[x＋(x＋10)]＝9002．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x

m，则可列方程为(

)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．

x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝03．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则它的两条直角边长分别为

．4.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为x

cm，那么x满足的方程为

．

x2＋40x－75＝02cm，7cm5．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形温室的宽为

xm，则长为2x

m．根据题意，得(x－2)(2x－4)＝288.解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14.所以2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.6.

如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.

解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米.列方程,得（20-x)(32-x)=540，整理,得x2-52x+100=0，解得x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.图1图27．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4cm2.根据题意，得x(5－x)＝4.

解得x1＝1，

x2＝4.∵当x＝4时，2

x＝8>7，不合题意，舍去．∴x＝1.答：1s后，△PBQ的面积等于4cm2.(2)设y秒后，PQ＝5cm，则(5－y)2＋(2y)2＝25.解得y1＝0(舍去)，

y2＝2.∴

y＝2.答：2s后，PQ的长度等于5c