2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第49炼 等差数列性质含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第49炼等差数列性质含答案第49炼等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项（3）如果为等差数列，则注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。比如，则不一定成立②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：，递增；，递减。5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可（2）由通项公式可得：作用：①这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式②，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。（3）当时，因为而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当时，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即。而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处。（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值7、由等差数列生成的新等差数列（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列。如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（2）已知等差数列，设，，则相邻项和成等差数列（3）已知为等差数列，则有：①为等差数列，其中为常数②为等差数列，其中为常数③为等差数列①②③可归纳为也为等差数列8、等差数列的判定：设数列，其前项和为（1）定义（递推公式）：（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）（3）前项和公式：注：若，则从第二项开始呈现等差关系（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项二、典型例题：例1：设等差数列的前项和为，且，，则_________思路：由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以答案：小炼有话说：关于等差数列钱前项和还有这样两个结论：（1）若，则（本题也可用此结论：，从而利用奇数项和与中间项的关系可得）（2）若，则有例2：已知数列为等差数列，若，则_______思路：条件与所求都是“”的形式，由为等差数列可得也为等差数列，所以为的等差中项，从而可求出的值解：为等差数列也为等差数列答案：例3：设为等差数列的前项和，，则（）A.B.C.D.思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于的方程，解出后即可确定通项公式或者数列中的项解：思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知，从而联想到可用表示，即，所以等式变为：，所以可得。答案：A小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。例4：在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（）A.B.C.D.思路：由观察到的特点，所以考虑数列的性质，由等差数列前项和特征可得，从而可判定为等差数列，且可得公差，所以，所以，即答案：B例5：已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____思路：，所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有：，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值：答案：小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前项和可搭建桥梁：，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。例6：已知等差数列中，，则此数列前项和等于（）A.B.C.D.思路：求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以答案：D例7：已知等差数列中，，则的值为___________思路：条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：，可得：，解得，考虑，所以答案：小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同时在等差数列中相邻项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值例8：等差数列有两项，满足，则该数列前项之和为（）A.B.C.D.思路：可根据已知两项求出公差，进而求出的通项公式，再进行求和即可解：答案：C例9：在等差数列中，，若其前项和为，且，那么当取最大值时，的值为（）A.B.C.D.思路一：考虑从的项出发，由可得，可得，因为，所以，从而最大思路二：也可从的图像出发，由可得图像中是对称轴，再由与可判断数列的公差，所以为开口向下的抛物线，所以在处取得最大值答案：D例10：设首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是___________思路：将用进行表示，从而方程变形为含的方程。而的取值只需让关于的方程有解即可，所以通过求出的范围解：所以关于的方程应该有解解得或答案：或第50炼等比数列性质一、基础知识1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有①数列（为常数）为等比数列②数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列③数列为等比数列④数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关：设，则有：特别的：若，则成等比数列7、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：注：若，则是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于，均有8、非常数等比数列的前项和与前项和的关系，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________思路：因为，代入条件可得：，因为，所以，所以答案：例2：已知为等比数列，且，则（）A.B.C.D.思路一：由可求出公比：，可得，所以思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（）A.B.C.D.思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即答案：A例4：设等比数列的前项和记为，若，则（）A.B.C.D.思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.B.C.D.思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为答案：C例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（）A.B.C.D.思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可解：，设，所以答案：A例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件答案：D例8：在等比数列中，若，则（）A.B.C.D.解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则所以答案：B例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（）A.B.C.D.思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值解：成等差数列将代入等式可得：，而为正项数列，所以不符题意，舍去答案：C例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由的指数幂特点可得：，所以只需，从而解出的最大值解：设的公比为，则有解得：（舍）或所以所解不等式为：可解得：的最大值为答案：三、历年好题精选（等差等比数列综合）1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（）A.B.C.D.2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（）A.B.C.D.3、（2016，内江四模）若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A.0B.1C.2D.34、设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（）A.B.C.D.5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（）A.B.C.D.6、（2015，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7、（2015，广东）在等差数列中，若，则______8、（2014，北京）若等差数列满足，则当______时，的前项和最大9、（2015，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A.B.C.D.10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（）A.B.C.D.11、（2014，广东）若等比数列各项均为正数，且，则12、（2014，安徽）数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_______13、（2014，新课标全国卷I）已知数列的前项和为，，其中为常数（1）证明：（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由14、（2016，河南中原第一次联考）已知为等差数列的前项和，若，则（）A.B.C.D.15、设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（）A.B.C.D.16、（2014，湖北）已知等差数列满足：，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由习题答案：1、答案：C解析：设等比数列的公比为，由已知可得，则有，所以，等号成立当且仅当2、答案：C解析：由交点对称可知：①交点所在直线与垂直，所以；②直线为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：，代入可得：，所以，3、答案：B解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设的公比为，可得①中若公比，则无法构成等比数列，同理③中若，则无法构成等比数列；对于②可知均能构成公比为的等比数列4、答案：D解析：，