第26讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用

第26讲函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用【备选理由】例1考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、诱导公式等知识;例2考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象与解析式,考查了学生识图、用图解决问题的能力;例3、例4考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,考查了学生综合运用知识分析解决问题的能力及学生逻辑推理与数学运算的核心素养;例5考查三角函数模型的简单应用,考查了学生的应用意识,运用所学知识处理实际问题的能力.例1[配例1使用][2023·江苏苏州八校联盟三模]为得到函数y=cosx+π3的图象,只需将函数y=sinxA.向左平移π6个B.向右平移π6个C.向左平移5π6个D.向右平移5π6个[解析]y=sinx=cosx-π2,将y=cosx-π2的图象向左平移56π个单位长度可得y=cosx+5π例2[配例2使用][2023·江苏盐城一模]函数f(x)=cosωx+π6的部分图象如图所示,则f(x)的A.x=7π24 B.x=C.x=5π12 D.x=[解析]依题意得2π3ω+π6=2kπ-π2,k∈Z,即ω=3k-1,k∈Z,设函数f(x)的最小正周期为T,由题图知T2<2π3,3T4>2π3,则8π9<T<4π3,又ω=2πT,所以32<ω<94,即32<3k-1<94,解得56<k<1312,又k∈Z,所以k=1,则ω=2,所以f(x)=cos2x+π6.由2x+π6=nπ,n∈Z得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=nπ2-π12,n∈Z.当n=0例3[配例3使用]定义在R上的函数f(x)=2sinωx+π3(ω∈N*)满足在区间-πA.f(x)的最小正周期为πB.将f(x)的图象向右平移π3个单位长度后关于C.f(x)图象的一个对称中心为点πD.f(x)在区间-π[解析]依题可知T2<π3<T,T=2πω,则3<ω<6,于是-π2≤-πω6+π3<0,π<πω6+π3≤3π2,∴4<ω≤5,∴ω=5,∴f(x)=2sin5x+π3.对于A,由T=2πω=2π5,得f(x)的最小正周期为2π5,故A错误;对于B,将f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得g(x)=2sin5x+2π3的图象,则g(0)=2sin2π3=3,所以g(x)的图象不关于原点对称,故B错误;对于C,因为fπ6=2sin7π6=-1,所以点π6例4[配例3使用](多选题)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φA.f(x)的图象关于直线x=2π3B.f(x)的图象关于点π3C.将函数y=3sin2x-cos2x的图象向左平移π2个单位长度后得到函数f(x)的D.若方程f(x)=m在-π2,0上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(-[解析]由题图可知A=2,π3-π12=14T,即T=π.因为ω>0,所以2πω=π,解得ω=2.将π12,2代入f(x)的解析式,得2sinπ6+φ=2,又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=2sin2x+π3.当x=2π3时,f2π3=2sin5π3=-3,故直线x=2π3不是f(x)图象的对称轴,A错误.由题图可知f(x)的图象关于点π3,0对称,B正确.将y=3sin2x-cos2x=2sin2x-π6的图象向左平移π2个单位长度后得到y=2sin2x+π-π6=2sin2x+5π6的图象,C错误.令t=2x+π3,因为x∈-π2,例5[配例4使用][2023·山东滨州模拟]筒车(图①)是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.假设在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形,如图②所示,圆O的半径为4米,盛水筒M从点P0处开始运动,OP0与水平面所成的角为30°,且每分钟恰好转动1圈,则盛水筒M距离水面的高度H(单位:m)(在水面下则H为负数)与时间t(单位:s)之间的函数关系式的图象可能是 (D) A B C D[解析]以O为原点,过点O的水平直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.∵∠xOP0=30°=π6,∴OP在t(s)内转过的角度为2π60t=π30t,∴以x轴正半轴为始边,以OP为终边的角为π30t-π6,∴P点的纵坐标为4sinπ30t-π6,∴H与t之间的函数关系式为H=4sin