第13讲　函数与方程

第13讲函数与方程【备选理由】例1考查函数的零点个数问题,利用换元法与数形结合即可得解;例2属于函数零点的综合性问题,根据函数零点个数求参数的问题;例3考查根据方程的根所在区间求参数;例4是关于复合函数的零点的判断问题.例1[配例2使用]已知函数g(x)=2x,x<0,|lnx|,x>0(e为自然对数的底数),则函数f(x)=g[g(x)]-19g(A.1 B.3C.5 D.7[解析]令u=g(x),则由g(x)的定义可知u=g(x)≥0,又由y=g(u)的定义域可知u≠0,所以有u>0.在同一平面直角坐标系中画出y=g(u)和y=19u+1的图象,如图①所示设方程|lnu|=19u+1的三个根从大到小依次为u1,u2,u3,则由图可知0<u1<1<u2<u3.现在在同一平面直角坐标系中画出y=g(x),y=u1,y=u2,y=u3的图象,如图②所示由图可知g(x)的图象与直线y=u1,y=u2,y=u3共有A,B,C,D,E,F,G七个交点,所以方程g[g(x)]-19g(x)-1=0共有7个根,则函数f(x)=g[g(x)]-19g(x)-1的零点个数为7.故选例2[配例3使用][2024·江苏南通模拟]已知函数f(x)=x+2,x≤0,|lgx|,x>0,且关于x的方程[f(x)]2+(m+1)f(x)-2m2+2m=0有4个不同的实数解[解析]令f(x)=t,则[f(x)]2+(m+1)f(x)-2m2+2m=0⇔t2+(m+1)t-2m2+2m=0,由t2+(m+1)t-2m2+2m=0及根与系数的关系,易得t1=-2m,t2=m-1.当m<-1时,t1>2,t2<-2,作出y=f(x)及y=t1,y=t2的图象,如图①所示,由图可知,f(x)=t1有两个实数解,f(x)=t2有1个实数解,此时方程[f(x)]2+(m+1)f(x)-2m2+2m=0有3个不同的实数解,不满足题意.当-1≤m<0时,0<t1≤2,-2≤t2<-1,作出y=f(x)及y=t1,y=t2的图象,如图②所示,由图可知,f(x)=t1有3个实数解,f(x)=t2有1个实数解,满足题意.当m=0时,t1=0,t2=-1,f(x)=t1有2个实数解,f(x)=t2有1个实数解,不满足题意.当0<m≤1时,-2≤t1<0,-1<t2≤0,作出y=f(x)及y=t1,y=t2的图象,如图③所示,由图可知,f(x)=t1有1个实数解,f(x)=t2有1个或2个实数解,不满足题意.当1<m≤3时,-6≤t1<-2,0<t2≤2,作出y=f(x)及y=t1,y=t2的图象,如图④所示,由图可知,f(x)=t1有1个实数解,f(x)=t2有3个实数解,满足题意.当m>3时,t1<-6,t2>2,作出y=f(x)及y=t1,y=t2的图象,如图⑤所示,由图可知,f(x)=t1有1个实数解,f(x)=t2有2个实数解,不满足题意.综上,实数m的取值范围为[-1,0)∪(1,3].例3[配例4使用][2023·海南海口模拟]若对任意的a∈[2,3],关于x的方程logax=b-x在区间[2,3]上总有实根,则实数b的取值范围是[3,4].

[解析]方程logax=b-x等价于b=logax+x,令f(x)=logax+x,因为a>1,所以易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.当x∈[2,3]时,f(x)∈[loga2+2,loga3+3],由b=f(x)始终有解得loga2+2≤b≤loga3+3,因此对任意的a∈[2,3],loga2+2≤b≤loga3+3成立.又函数g(a)=loga2+2=1log2a+2在[2,3]上单调递减,所以当a=2时,g(a)max=3,函数h(a)=loga3+3=1log3a+3在[2,3]上单调递减,所以当a=3时,h(a)min=4,于是例4[配例5使用](多选题)已知函数f(x)=x2-ax+1,x≤0,log2x,x>0A.当a>1时,g(x)有1个零点B.当a=-2时,g(x)有3个零点C.当1>a>0时,g(x)有2个零点D.当a=-4时,g(x)有7个零点[解析]令g(x)=0,则f[f(x)]=-1,设f(x)=t,则f[f(x)]=-1等价于f(t)=-1,则函数g(x)=f[f(x)]+1的零点个数问题即为f[f(x)]=-1解的个数问题.易知二次函数y=x2-ax+1的图象开口向上,且该图象过点(0,1),图象的对称轴为直线x=a2.对于A,当a>1时,作出函数f(x)的图象,如图①所示易知当且仅当t=12时,f(t)=-1,由图可知f(x)=12只有一个解,此时函数g(x)=f[f(x)]+1的零点个数为1,A正确.对于B,当a=-2时,f(x)=x2+2x+1,x≤0,log2易知当且仅当t=12时,f(t)=-1,由图可知直线y=12与函数f(x)的图象有3个交点,即函数g(x)=f[f(x)]+1有3个零点,B正确.对于C,当1>a>0时,分析方法同选项A,易知函数g(x)=f[f(x)]+1有1个零点,C错误.对于D,当a=-4时,f(x)=x2+4x+1,x≤0,log2由图可知f(t)=-1有3个根,当t>0时,令log2t=-1,则t=12;当t≤0时,t2+4t+1=-1,则t=-2±2,在图③中作出直线