增分微课3　与球有关的切、接问题

增分微课3与球有关的切、接问题【备选理由】例1考查利用轴截面解决圆台与球的相切问题,难度不大;例2考查四面体的外接球问题,以及过球内一点所作的球的截面面积的最值问题;例3以外接球为载体考查三棱锥体积的计算,需要根据所给条件证明一些线与线、线与面的位置关系;例4考查翻折构成的几何体与球的切接问题,涉及的知识比较多,如二面角、位置关系、截面问题,有一定的综合性;例5考查四面体与两个球的切接问题,有利于开拓学生的空间想象能力.例1[配例3使用][2023·石家庄一模]已知圆台的上、下底面的半径之比为12,侧面积为9π,球O与圆台的上、下底面及母线均相切,则球O的表面积为A.3π B.5πC.8π D.9π[解析]设圆台的母线长为l,上底面的半径为r,则下底面的半径为2r,作出圆台与球的轴截面,如图所示.因为球O与圆台的上、下底面及母线均相切,所以l=AD=AE+ED=AH+DG=r+2r=3r.根据圆台的侧面积公式得(πr+2πr)l=π(r+2r)·3r=9π,可得r=1,所以球O的直径为HG=22,可得半径为2,表面积为8π,故选C.例2[配例1使用][2023·重庆西南大学附中模拟]四面体ABCD的各个顶点都在球O的表面上,BA,BC,BD两两垂直,且AB=11,BC=3,BD=4,E是棱BC上一点,且BE=2EC,过E作四面体ABCD外接球O的截面,则所得截面面积的最大值与最小值之差是 (A)A.7π B.9πC.5π D.8π[解析]设所得截面圆的面积为S,半径为r.因为BA,BC,BD两两垂直,所以可将四面体ABCD补成长方体,如图所示,易得四面体ABCD外接球的半径R=12BC2+BD2+AB2=3.过点E的截面中,面积的最大值为球O的大圆的面积,则Smax=πR2=9π;面积的最小值为与OE垂直的截面圆的面积.在△OBC内,OB=OC=BC=3,所以∠OCB=60°,所以OE2=OC2+CE2-2OC·CE·cos60°=7,所以OE=7,则rmin=R2-OE2=2,Smin例3[配例1使用]已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在半径为2的球上,E,F分别是AC和SC的中点,∠BEF=90°,AB=1,BC=2,当SC取得最大值时,三棱锥S-ABC的体积为 (D)A.26 B.26C.263 D.[解析]当SC为球的直径时,SC取得最大值,此时SA⊥AC,SB⊥BC.因为E,F分别是AC和SC的中点,所以EF为△SAC的中位线,所以EF∥SA,又∠BEF=90°,所以BE⊥SA,因为AC∩BE=E,AC,BE⊂平面ABC,所以SA⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC,所以SA⊥BC,又BC⊥SB,SA∩SB=S,SA,SB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB,又AB⊂平面SAB,所以BC⊥AB,所以△ABC为直角三角形,所以AC=AB2+BC2=3,SA=SC2-AC2=13,所以VS-ABC=13S△ABC·SA=13例4[补充使用](多选题)菱形ABCD的边长为a,且∠BAD=60°,将△ABD沿BD向上翻折得到△PBD,使二面角P-BD-C的余弦值为13,连接PC,得到三棱锥P-BCD,球O与三棱锥P-BCD的6条棱都相切,则下列结论正确的是A.PO⊥平面BCDB.球O的表面积为2πa2C.球O被三棱锥P-BCD表面截得的截面周长为433D.球O被三棱锥P-BCD表面截得的截面面积为πa2[解析]在菱形ABCD中,连接AC,设AC,BD交于E,则AC⊥BD,可得在三棱锥P-BCD中,PE⊥BD,CE⊥BD,因为PE⊂平面PBD,CE⊂平面CBD,所以∠PEC为二面角P-BD-C的平面角,即cos∠PEC=13.因为∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形,可得△PBD,△CBD均为正三角形,则PE=CE=32所以PC2=PE2+CE2-2PE·CEcos∠PEC=34a2+34a2-2×34a2×13=a2,则PC=a,所以三棱锥P-BCD是棱长为a的正四面体.将该正四面体补成正方体PHDG-NCMB,正四面体的棱为正方体的面对角线,如图所示因为球O与三棱锥P-BCD的6条棱都相切,所以点O为正方体的中心,连接PM,MN,则O为正方体体对角线PM的中点.因为PN⊥平面MBNC,BC⊂平面MBNC,所以PN⊥BC,又BC⊥MN,PN∩MN=N,所以BC⊥平面PMN,因为PM⊂平面PMN,所以BC⊥PM.同理可证BD⊥PM.又BC∩BD=B,所以PM⊥平面BCD,即PO⊥平面BCD,故A正确.因为球O与三棱锥P-BCD的6条棱都相切,所以球O即为正方体PHDG-NCMB的内切球,球O的直径为正方体的棱长,为22a,则球O的半径为24a,所以球O的表面积为4π×24a2=12πa2,故B错误.球O被平面BCD截得的截面圆为正三角形BCD的内切圆,因为BC=a,所以正三角形BCD的内切圆半径为13×32a=36a,所以内切圆周长为2π×36a=33πa,所以球O被三棱锥P-BCD表面截得的截面周长为4×33πa=433πa,故C正确.球O被三棱锥P-BCD表面截得的截面面积为例5[配例3使用]已知四面体S-ABC所有棱的长均为23,球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2,使其与平面SAB,平面SBC,平面SAC以及球O1均相切,则球O2与球O1的半径之比为 (D)A.33 B.C.13 D.12[解析]设S在平面ABC内的射影为O,BC的中点为E,R1为球O1的半径,R2为球O2的半径,F,H分别为球O1,球O2与侧面SBC的切点,连接AE,SE,O2H,O1F,易知O1,O2在SO上,H,F在SE上.该四面体过点S,A,E的截