考研数学二分类模拟193

考研数学二分类模拟193一、选择题1.

设x→0时，(1+sinx)x-1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(esin2x-1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于______A.（江南博哥）1B.2C.3D.4正确答案：B[解析]当x→0时，有

(1+sinx)x-1=exln(1+sinx)-1～xln(1+sinx)～xsinx～x2，

(esin2x-1)ln(1+x2)～sin2x·x2～x4，

而xtanxn～x·xn=xn+1。因此2＜n+1＜4，则正整数n=2。故选B。

2.

设当x→0时，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比(ex2-1)高阶的无穷小，则正整数n等于______A.1B.2C.3D.4正确答案：B[解析]当x→0时，有

故有

由(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小可知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2-1)高阶的无穷小可知n+1＞2，即n＞1。

因此正整数n=2。故选B。

3.

当x→0时，ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则______

A．

B．a=1，b=1。

C．

D．a=-1，b=1。正确答案：A[解析]因故

显然要使上式是比x2高阶的无穷小(x→0时)，只要

故选A。

4.

当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由常见的等价无穷小替换公式以及常见函数的麦克劳林展开式可知：

当x→0时，

g(x)=x2ln(1-bx)～-bx3，

要使得f(x)和g(x)等价，则必有1-a=0，即a=1，故选A。

要熟记常见的等价无穷小替换公式以及常见函数的麦克劳林展开式。

5.

当x→0时，f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则______A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4D.k=3，c=-4正确答案：C[解析]由麦克劳林展开式可得

由此可得k=3，c=4。故选C。

6.

设x→a时，f(x)与g(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是______

①f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小；

②若n＞m，则是x-a的n-m阶无穷小；

③若n≤m，则f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小。A.1B.2C.3D.0正确答案：B[解析]此类问题按无穷小阶的定义逐一分析。

命题①：

x→a时，f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小。

命题②：

若n＞m，有

x→a时，f(x)/g(x)是x-a的n-m阶无穷小。

命题③：

例如，x→0时，sinx与-x均是x的一阶无穷小，但

即sinx+(-x)是x的三阶无穷小。

因此①、②正确，③错误。故选B。

7.

设其中a2+c2≠0，则必有______A.b=4dB.b=-4dC.a=4cD.a=-4c正确答案：D[解析]当x→0时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1-2x)均为x的一阶无穷小；而1-cosx，1-e-x2均为x的二阶无穷小，因此有

有即a=-4c。故选D。

8.

设则当x→0时，α(x)是β(x)的______A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价的无穷小D.等价无穷小正确答案：C[解析]当x→0时有，

所以，当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但不等价的无穷小。

当极限式中出现了变上限积分时，一般的思路是通过洛必达法则计算。

9.

设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0间断，则在点x0处必定间断的函数是______A.f(x)sinxB.f(x)+sinxC.f2(x)D.|f(x)|正确答案：B[解析]方法一：若f(x)+sinx在x=x0处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]-sinx在x=x0连续，与已知矛盾。因此f(x)+sinx在点x0处必间断。故选B。

方法二：借助极限的四则运算性质即可直接得出结论，连续×间断=?，间断×间断=?，连续+间断=间断。故选B。

二、填空题1.

正确答案：[解析]

其中

因此原式=

对于1∞型的极限[假设为1∞型，即]的计算方法总结如下：

注意到因此

考试时，该公式可以直接被使用，但现在，还是建议写出中间过程．熟悉基本的处理方法。

2.

则a=______。正确答案：ln2[解析]即a=ln2。

3.

正确答案：[解析]利用等价无穷小，当n→∞时，有

所以

由麦克劳林展开式得

4.

[x]表示不超过x的最大整数，则正确答案：2[解析]因为所以当x＞0时，当x＜0时，又由利用夹逼准则可知，

5.

若在(-∞，+∞)内连续，则a=______。正确答案：0[解析]因为f(x)在(-∞，0)及(0，+∞)内连续，所以需要确定参数a，使f(x)在x=0处连续。

当时，f(x)在x=0处连续，所以当a=0时，f(x)在(-∞，+∞)内连续。

三、解答题1.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若x→0时，f(x)-a与xk是同阶无穷小，求常数k的值。正确答案：解：(Ⅰ)即a=1。

(Ⅱ)当x→0时，有

又因为当x→0时，x→sinx与是等价无穷小，故

由题设，x→0时，f(x)-a与xk是同阶无穷小，所以k=1。

2.

设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3。若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。正确答案：解：使用泰勒公式

所以1+a=0，故a=-1，[解析]本题已知两个函数是等价无穷小，解决这种题的方法有两种：一种是利用泰勒展开式将分子展成和分母次数相等的多项式之后化简求未知数；另一种是利用洛必达法则，将分子分母降幂，结合极限值求未知量。

3.

正确答案：解：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，则而

故原式=

4.

正确答案：解：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，则有

又有

故原式=

5.