考研数学二分类模拟题45

考研数学二分类模拟题45一、选择题1.

设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处______.A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续正确答案：D[解]因为f(（江南博哥）x)在x=a处右可导，所以存在，于是即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数不一定相等，选D.

2.

f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是______.A.f(x)，g(x)在x0处都可导B.f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C.f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D.f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D[解]令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡-1在任何一点都可导，选D.

3.

f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处______.A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续正确答案：C[解]由f(x)在x0处可导得|f(x)|在x0处连续，但|f(x)|在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，选C.

4.

设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f"(x)＞0，f'(x)＜0，则当x＞0时有______.A.f"(x)＜0，f'(x)＜0B.f"(x)＞0，f'(x)＞0C.f"(x)＞0，f'(x)＜0D.f"(x)＜0，f'(x)＞0正确答案：A[解]因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f'(-x)=f'(x)，f"(-x)=-f"(x)，即f'(x)为偶函数，f"(x)为奇函数，故由x＜0时有f"(x)＞0，f'(x)＜0，得当x＞0时有f"(x)＜0，f'(x)＜0，选A.

5.

设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f'(2)=，f'(4)=6，则g'(4)等于______.

A．

B．

C．

D．4正确答案：B[解]因为所以选B.

6.

设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f'+(a)与f'-(a)都存在，则______.A.f(x)在x=a处不连续B.f(x)在x=a处连续C.f(x)在x=a处可导D.f(x)在x=a处连续可导正确答案：B[解]因为f'+(a)存在，所以存在，于是，即f(x)在x=a处右连续，同理由f'-(a)存在可得f(x)在x=a处左连续.故f(x)在x=a处连续，选B.

7.

下列命题成立的是______.

A．若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在|x-x0|＜δ内连续

B．若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在|x-x0|＜δ内可导

C．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且存在，则f(x)在x0处可导，且

D．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且不存在，则f(x)在x0处不可导正确答案：C[解]设显然f(x)在x=0处连续，对任意x0≠0，因为不存在，所以f(x)在x0处不连续，A不对；

同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，B不对；

因为其中ξ介于x0与x之间，且存在，所以也存在，即f(x)在x0处可导且，选C；

令显然而不存在，D不对.

8.

则f(x)在x=0处______.A.不连续B.连续不可导C.可导但f'(x)在x=0处不连续D.可导且f'(x)在x=0处连续正确答案：D[解]显然f(x)在x=0处连续，因为所以f(x)在x=0处可导，当x＞0时，当x＜0时，因为所以f'(x)在x=0处连续，选D.

9.

函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是______.

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解]A不对，如显然：存在，但f(x)在x=1处不连续，所以也不可导；

B不对，因为存在只能保证f(x)在x=1处右导数存在；

C．不对，因为

而，所以不一定存在，于是f(x)在x=1处不一定右可导，也不一定可导；

存在，所以f(x)在x=1处可导.所以选D．

10.

设f(x)可导，则下列正确的是______.

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解]令f(x)=x，显然，但A不对，同理但，B也不对；令f(x)=x2，但，D不对；若则对任意的M＞0，存在x0＞0，当x≥X0时，有f'(x)＞M，于是当x≥X0时，f(x)-f(X0)=f'(ξ)(x-X0)，其中ξ∈(X0，x)，即f(x)≥f(X0)+M(x-X0)，根据极限的保号性，有选C．

11.

下列说法正确的是______.

A．f(x)在(a，b)内可导，若则

B．f(x)在(a，b)内可导，若

C．f(x)在(-∞，+∞)内可导，若

D．f(x)在(-∞，+∞)内可导，若正确答案：D[解]设当时，f'(x)=0，其中k∈Z，则，A不对；

设，B不对；

设，C不对，选D．

12.

下列说法中正确的是______.A.若f'(x0)＜0，贝f(x)在x0的邻域内单调减少B.若f(x)在x0取极大值，则当x∈(x0-δ，x0)时，f(x)单调增加，当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)单调减少C.f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续D.f(x)为偶函数，f"(0)≠0，则f(x)在x=0处一定取到极值正确答案：D[解]

当时，，则f(x)在x=0的任意邻域内都不单调减少，A不对；

f(x)在x=0处取得极大值，但其在x=0的任一邻域内皆不单调，B不对；

f(x)在x=1处取得极大值，但f(x)在x=1处不连续，C不对；

由f"(0)存在，得f'(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f'(0)=0，所以x=0一定为f(x)的极值点，选D．

13.

设f(x)二阶连续可导，，则______.A.f(2)是f(x)的极小值B.f(2)是f(x)的极大值C.(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：A[解]由，得f'(2)=0，又由，则存在δ＞0，当0＜|x-2|＜δ时，有，即当x∈(2-δ，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f'(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选A．

14.

设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且又则______.A.x=0是f(x)的极大值点B.x=0是f(x)的极小值点C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D.x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C[解]由得g(0)=g'(0)=0，f'(0)=0，

因为所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，从而当x∈(-δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，选C．

15.

设f(x)二阶连续可导，且则______.A.f(0)是f(x)的极小值B.f(0)是f(x)的极大值C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D.x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C[解]因为f(x)二阶连续可导，且所以即f"(0)=0.又由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，有，即当x∈(-δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选C．

16.

设函数f(x)满足关系f"(x)+f'2(x)=x，且f'(0)=0，则______.A.f(0)是f(x)的极小值B.f(0)是f(x)的极大值C.(0，f(0))是y-f(x)的拐点D.(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C[解]由f'(0)=0得f"(0)=0，f'''(x)=1-2f'(x)f"(x)，f'''(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，f'''(x)＞0，再由f"(0)=0，得

故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C.

17.

下列说法正确的是______.A.设f(x)在x0二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续B.f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点正确答案：D[解]令，但不存在，所以A不对；

若最大值在端点取到则不是极大值，所以B不对；

C．显然不对，选D．

18.

设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为______.A.0个B.1个C.2个D.3个正确答案：B[解]因为f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以其中ξ介于a与x之间．而故再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f'(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选B．

19.

设k＞0，则函数的零点个数为______.A.0个B.1个C.2个D.3个正确答案：C[解]函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由得x=e，当0＜x＜e时，f'(x)＞0；当x＞e时，f'(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选C.

20.

曲线的渐近线的条数为______.A.0条B.1条C.2条D.3条正确答案：D[解]因为所以曲线无水平渐近线；

由得曲线有两条铅直渐近线；

由得曲线有一条斜渐近线y=x，选D．

21.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有______.

A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点正确答案：C[解]设当x＜0时，f'(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f'(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．

当x＜x1时，f'(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f'(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f'(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f'(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f'(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f"(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选C．

二、解答题1.

设x=x(t)由确定，求正确答案：[解]将t=0代入得

再由e-u2＞0得x=1，

两边对t求导得，从而

两边再对t求导得

将代入得

2.

设x3-3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点.正确答案：[解]x3-3xy+y3=3两边对x求导得

解得

令得y=x2，代入x3-3xy+y3=3得x=-1或