2024-2025学年高中数学单元综合测试1第一章集合综合测试含解析北师大版必修1

PAGEPAGE6单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则集合M∪(∁UN)＝(C)A．{5} B．{0,3}C．{0,2,3,5} D．{0,1,3,4,5}解析：∵∁UN＝{0,2,3}，∴M∪(∁UN)＝{0,2,3,5}．2．设P＝{－1,0,1}，Q＝{－2，－1,0,1,2}，则表示不正确的是(C)A．P⊆QB．PQC．P∈QD．P≠Q解析：给出的集合P与Q，实际关系为PQ，其表示方法中，留意此关系的存在就可以推断正误．A.P⊆Q，包括P是Q的子集或真子集，正确；B.PQ，完全正确；C不正确，因为两个集合之间的关系不能用“∈”表示；D正确，因为P与Q集合元素不完全相同．综上，只有C不正确，故选C.3．设AB，AC，则表示正确的是(A)A．A⊆(B∩C) B．A(B∩C)C．A＝B∩C D．A＝B∪C解析：由已知AB，AC得A是B∩C的子集，但不能判定A＝B∩C，A(B∩C)肯定成立，故选A.4．设集合M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}，则表示正确的是(C)A．M∩N＝∅B．M⊆NC．M∪N＝RD．M∪N＝{x|－3<x<2}解析：由M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}知M与N有相同的元素，以此为线索分析四个选项表示的正误．由M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}，得M∩N＝{x|－3<x<2}，M∪N＝R.A.M∩N＝∅表示错误；B.M⊆N表示错误；C.M∪N＝R表示正确；D.M∪N＝{x|－3<x<2}表示错误．故选C.5．若集合M＝{x|0≤x＋2≤5}，N＝{x|x<－1，或x>4}，则M∩N等于(D)A．{x|x≤3，或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}解析：因为M＝{x|－2≤x≤3}，N＝{x|x<－1，或x>4}，则M∩N＝{x|－2≤x<－1}．故选D.6．若集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为(D)A．1 B．－1C．1或－1 D．1或－1或0解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.当B＝∅时，m＝0，满意B⊆A；当B≠∅时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))，若B⊆A，则eq\f(1,m)＝1或eq\f(1,m)＝－1.解得m＝1或m＝－1.综上，m的值为1或－1或0.7．已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z|－1≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有(B)A．2个B．3个C．4个D．无穷多个解析：阴影部分表示M∩(∁UN)，∵M＝{x∈Z|－1≤x－1≤2}＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0,1,2,3}，则有M∩∁UN＝{0,1,2}．故选B.8．若{1,2,3，a}∪{3，a2}＝{1,2,3，a}，则a的取值集合为(D)A．{0,1，－1} B．{0，－1，－eq\r(2)}C．{－1，－eq\r(2)} D．{0，－1，－eq\r(2)，eq\r(2)}解析：由{1,2,3，a}∪{3，a2}＝{1,2,3，a}，得{3，a2}{1,2,3，a}．∴有a2＝1，或a2＝2或a2＝a.解得a＝±1，或a＝±eq\r(2)，或a＝0.分别代入{1,2,3，a}和{3，a2}中，可知a＝－1，a＝±eq\r(2)，a＝0满意条件．故选D.9．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，则A∪B＝(A)A．{2,3,4} B．{2,3}C．{2,4} D．{3,4}解析：∵(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，∴2∈B,4∈A，则42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0，解得p＝－7，q＝6.∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．∴A∪B＝{2,3,4}．10．已知集合P＝{1,2,4,8，…，2n，…}，对于运算“*”，若a∈P，b∈P，有a*b∈P，则运算“*”可以是(C)A．加法 B．减法C．乘法 D．除法解析：因为a∈P，b∈P，所以可令a＝2m，b＝2n(m，n∈N)，则a＋b＝2m＋2n不肯定属于P，a－b＝2m－2n不肯定属于P，a÷b＝2m－n不肯定属于P，而a·b＝2m·2n＝2m＋n∈P.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(每小题5分，共25分)11．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝{2,4,8}．解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，所以A∪B＝{1,3,5,6,7}，所以∁U(A∪B)＝{2,4,8}．12．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，A⊆U，B⊆U，(∁UA)∩B＝{0,4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{3,5}，则用列举法表示集合A＝{1,2}．13．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，则满意A∩C＝B∪C的集合C有4个．解析：由条件A∩C＝B∪C，可知B⊆(B∪C)＝(A∩C)⊆C⊆(B∪C)＝(A∩C)⊆A.∴符合条件的集合C的个数即集合{3,4}的子集的个数，共4个．14．设全集U＝R.若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(∁UB)＝{1,4}．解析：因为∁UB＝{x|x<2或x>3}，所以A∩(∁UB)＝{1,4}．15．设I＝{1,2,3,4}，A与B都是I的子集．若A∩B＝{1,3}，则称(A，B)为一个“志向配集”．那么符合此条件的“志向配集”[规定(A，B)与(B，A)是两个不同的“志向配集”]的个数是9.解析：当A＝{1,3}时，B＝{1,3}或B＝{1,2,3}或B＝{1,3,4}或B＝{1,2,3,4}，共4个“志向配集”；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,3}或B＝{1,3,4}，共2个“志向配集”；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,3}或B＝{1,2,3}，共2个“志向配集”；当A＝{1,2,3,4}时，B＝{1,3}，共1个“志向配集”．所以符合条件的“志向配集”的个数为4＋2＋2＋1＝9.三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|3x－1<x＋5}．求：(1)A∩B；(2)(∁UA)∪B.解：(1)由已知得：B＝{x|x<3}，A＝{x|1≤x<4}，所以A∩B＝{x|1≤x<3}．(2)由已知得：∁UA＝{x|x<1或x≥4}，(∁UA)∪B＝{x|x<3或x≥4}．17．(本题满分12分)已知集合a＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．解：由B⊆A，①当m>2m－1即m<1时，B＝∅，满意B⊆A，②当B≠∅时，由B⊆A，得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m,m≥2,2m－1≤6))，解得：2≤m≤eq\f(7,2)，综合①②得：实数m的取值范围为(－∞，1)∪[2，eq\f(7,2)]，故m∈(－∞，1)∪[2，eq\f(7,2)]．18．(本题满分12分)设集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈R|ax2－2x＋2＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合．解：由A∪B＝A，可得B⊆A，由A＝{1,2}，所以B有∅，{1}，{2}，{1,2}四种可能的状况：①B＝∅时，Δ＝4－4a×2<0，即a>eq\f(1,2).满意题意．②B＝{1}或{2}时，Δ＝4－8a＝0或a＝0，即当a＝eq\f(1,2)时，B＝{2}，符合题意；当a＝0时，B＝{1}，符合题意．③B＝{1,2}时，即1,2为ax2－2x＋2＝0的两个根，此时a不存在．综上所述：a≥eq\f(1,2)或a＝0.19．(本题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－4，或x>1}，B＝{x|－3≤x－1≤2}．(1)求A∩B，(∁UA)∪(∁UB)．(2)若集合M＝{x|k－1≤x≤2k－1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．解：(1)因为B＝{x|－3≤x－1≤2}，所以B＝{x|－2≤x≤3}，故A∩B＝{x|1<x≤3}，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{x|x>3，或x≤1}．(2)M＝{x|k－1≤x≤2k－1}是集合A的子集，当M是空集时，k－1>2k－1，解得k<0，此时满意条件，当M不是空集时，利用条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≤2k－1，,k－1>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≤2k－1，,2k－1<－4，))解得k>2.综上所述，实数k的取值范围是k<0或k>2.20．(本题满分13分)已知集合A＝{a，b，c，d}，B＝{a2，b2，c2，d2}，其中AN＋，BN＋，a<b<c<d且A∩B＝{a，d}，a＋d＝10.(1)求a，d；(2)若A∪B中全部元素的和为124，求集合A，B.解：(1)因为A∩B＝{a，d}，且AN＋，BN＋，a<b<c<d，所以a＝a2，解得a＝1或a＝0(舍去)．又因为a＋d＝10，所以d＝9.(2)由(1)知A＝{1，b，c,9}，B＝{1，b2，c2,81}．因为A∩B＝{1,9}，故3∈A,9∈B.于是可设A＝{1,3,9，x}，B＝{1,9,81，x2}，其中x<9.由题意得1＋3＋9＋x＋81＋x2＝124，解得x＝5或x＝－6(舍去)．故A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}．21．(本题满分14分)在全国中学数学联赛其次卷中只有三道题，已知：(1)某校25个学生参与竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在全部没有解出第一题的学生中，解出其次题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的学生多1个；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题．问共有多少学生只解出其次题？解：本题条件较多，可利用韦恩图．设解出第一、二、三道题的学生的集合为A，B，C，并用三个圆分别表示，如图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a，b，c，d，e，f，g表示，然后，依据已知条件列出方程组求出b.依据已知条件(1)(2)(3)(4)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＝25，,b＋f