2022-2023学年四川省遂宁市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省遂宁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A.是棱台 B.是圆台C.不是棱柱 D.是棱锥〖答案〗D〖解析〗对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．故选：D．2.的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.3.已知，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以，解得.故选：A.4.我市某中学有高中生1500人，初中生3500人，为了解学生对学校食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取35人，则为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因初中生抽取35人，则高中生抽取人，则一共抽取50人.故选：D.5.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则的外接圆半径长是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由直观图可得到原图形如下：其中，由勾股定理得，所以Rt的外接圆半径为.故选：A.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，所以.故选：B.7.在对角线相等的平行四边形中，，，为上一点，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题及图形可知，，又，则.故选：C.8.如图，在正方体中，截去三棱锥，若剩余的几何体的表面积是，那么正方体的内切球的表面积和其外接球的体积分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗A〖解析〗设正方体棱长为，则剩余几何体的表面积为所以则正方体的内切球直径表面积，正方体的外接球直径，体积.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.某校对高一学生进行了体能测试，在该校高一年级随机选取了甲、乙两个班，并在这两个班各随机抽取10名学生的体能成绩作为样本进行分析。下表是两个班被随机选出的学生的体能分数（满分分）统计表，则下列说法错误的是（）甲75798284868790919398乙73818183878895969799A.甲、乙两个班的分数的极差相等，方差不相等B.甲、乙两个班的分数的平均数相等C.乙班的分数的众数为D.甲、乙两个班分数的中位数中，乙班的中位数较大〖答案〗ABC〖解析〗对于A，甲的极差为，乙的极差为，故极差不相等，故A错误；对于B，甲的平均数为，乙的平均数为，故平均数不相等，故B错误；对于C，乙班的分数的众数为，故C错误；对于D，甲、乙两个班分数的中位数分别为和，所以乙班的中位数较大，故D正确.故选：ABC.10.下列说法正确的是（）A.若与是平行向量，则B.已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为C.已知点，在所在平面内，满足且，则点，分别是外心，重心D.在中，若，则一定是锐角三角形〖答案〗BC〖解析〗A选项，若，满足与是平行向量，但不满足，故A错误；B选项，，则，，故B正确；C选项，，即点O到A、B、C三点的距离相等，故点为的外心，变形得到，取的中点，则，所以，故点在中线上，且，故是的重心，C正确；D选项，在中，若，满足，但不是锐角三角形，D错误.故选：BC.11.设、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中真命题是（）A.若，，，则B.若，，，则与是异面直线C若，则与一定相交D.若，，，则〖答案〗AD〖解析〗A：若，，，则，正确；B：若，，，则与平行或者是异面直线，错误；C：若，则与平行或相交，错误；D：若，，则，又，所以，D正确．故选：AD．12.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（）A.函数的对称中心为B.若，则C.若，则的最大值为D.若，且，则圆心角为，半径为的扇形的面积为〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，，令，故对称中心为，A选项错误；对于B选项，，，故B选项正确；对于C选项，，令，则，对称轴为，所以当时，取到最大值，此时，故C选项正确；对于D选项，，因为，所以因为，所以，所以扇形面积.故选：BCD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某中学高一生物课外兴趣小组要对本班同学的睡眠时间进行研究，得到了以下个数据(单位：小时)：，，，，，，，，，，去掉数据_______能很好地提高样本数据的代表性.〖答案〗〖解析〗因为数据明显低于其它几个数据，是极端值，所以去掉这个数据，能够更好地提高样本数据的代表性．故〖答案〗为：.14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度_______.〖答案〗〖解析〗由题可得，，则，则在中，由正弦定理，有，又由题可知，，则.故〖答案〗为：.15.在正三棱柱中，，是边上的点，且满足，则异面直线与所成角的正切值为_______.〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，，，由，得为的中点，在正三棱柱中，，，且，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，所以即为异面直线与所成角，设，则，所以，，，所以，所以，所以异面直线与所成角的正切值为.故〖答案〗为：.16.已知函数，若在区间上有两个不同的使得，则的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗，即：，，或，当时，，；当时，，；当时，，；在区间上，，两个不同的使得成立，，.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.解决下列问题.（1）已知向量与的夹角，且，.求和；（2）已知向量，，，且∥，，求的值.解：（1）因为向量与夹角，且，，则，.（2）因为向量，，，所以，又∥，所以，即，又，，所以，即，所以解得，所以.18.某中学（含初高中6个年级）随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值及样本中男生身高在（单位:）的人数；（2）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（3）根据频率分布直方图估计该校男生身高的75%分位数.解：（1）根据题意，，解得，所以样本中学生身高在内的人数为.（2）设样本中男生身高的平均值为，则，估计该校男生的平均身高为.（3）由，根据频率分布直方图，因为，，所以样本中的75%分位数落在内，设75%分位数为，则，解得，所以估计该校男生身高的75%分位数为.19.如图，为等腰三角形，且，平面，∥，，点为的中点.求证：（1）∥平面；（2）平面平面.解：（1）取的中点，连接，，又因为点为的中点，所以为的中位线，所以∥，，因为∥，所以∥，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面.（2）因为为等腰三角形，且，又点为的中点，所以，因为平面ACD，平面ACD，所以，因为，平面，所以平面，由（1）知∥，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面即是平面，所以平面平面.20.已知函数，且.从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①函数图像中相邻的两条对称轴之间的距离为；②函数图像与直线的两个相邻交点之间的距离为；③点在上.（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图像向上平移个单位，接着向左平移个单位，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，求函数的最小正周期和对称轴及时的值域.解：（1）选①，依题意，，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，有，则有，由得：，所以函数的单调递增区间是.选②，依题意，，显然，因函数图像与直线的两个相邻交点之间的距离为，因此函数的周期，有，则有，由得：，所以函数的单调递增区间是.选③，依题意，，，即，则，即有，而，则，则有，由得：，所以函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，所以将的图像向上平移个单位，接着向左平移个单位，得到，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，则，所以函数的最小正周期为；对称轴为；因为，所以，则的值域为.21.如图，直四棱柱中，底面为矩形，且.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线到平面的距离.解：（1）因为在直四棱柱中，底面为矩形，所以直四棱柱是长方体，即在长方体中，平面，即平面，则即为直线与平面所成的角，因为，所以在中，，，故，即直线与平面所成的角为.（2）由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中，平面，因为，平面，所以，，又平面，平面，由二面角的平面角的定义知为二面角的平面角，因为，所以在中，，，故，则，即二面角的余弦值为.（3）由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中，由于∥，故四边形是平行四边形，故∥，而平面，平面，故∥平面，则点B到平面的距离即为直线到平面的距离，而，故，设点B到平面的距离为h，则，即，则，即直线到平面的距离为.22.中，，，是角，，所对的边，已知，且.（1）若的外接圆半径为，求的面积；（2）若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边上，求此情况下的最小值.解：（1）因为，即，所以由正弦定理边角互化得，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以，即，又由正弦定理得，再由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），由面积公式得.（2）因为顶点正好落在边上，设为点，又，，所以为等边三角形，即，如图，设，则，所以在中，由余弦定理得，整理得，设，所以，由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.四川省遂宁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A.是棱台 B.是圆台C.不是棱柱 D.是棱锥〖答案〗D〖解析〗对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．故选：D．2.的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.3.已知，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以，解得.故选：A.4.我市某中学有高中生1500人，初中生3500人，为了解学生对学校食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取35人，则为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因初中生抽取35人，则高中生抽取人，则一共抽取50人.故选：D.5.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则的外接圆半径长是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由直观图可得到原图形如下：其中，由勾股定理得，所以Rt的外接圆半径为.故选：A.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，所以.故选：B.7.在对角线相等的平行四边形中，，，为上一点，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题及图形可知，，又，则.故选：C.8.如图，在正方体中，截去三棱锥，若剩余的几何体的表面积是，那么正方体的内切球的表面积和其外接球的体积分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗A〖解析〗设正方体棱长为，则剩余几何体的表面积为所以则正方体的内切球直径表面积，正方体的外接球直径，体积.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.某校对高一学生进行了体能测试，在该校高一年级随机选取了甲、乙两个班，并在这两个班各随机抽取10名学生的体能成绩作为样本进行分析。下表是两个班被随机选出的学生的体能分数（满分分）统计表，则下列说法错误的是（）甲75798284868790919398乙73818183878895969799A.甲、乙两个班的分数的极差相等，方差不相等B.甲、乙两个班的分数的平均数相等C.乙班的分数的众数为D.甲、乙两个班分数的中位数中，乙班的中位数较大〖答案〗ABC〖解析〗对于A，甲的极差为，乙的极差为，故极差不相等，故A错误；对于B，甲的平均数为，乙的平均数为，故平均数不相等，故B错误；对于C，乙班的分数的众数为，故C错误；对于D，甲、乙两个班分数的中位数分别为和，所以乙班的中位数较大，故D正确.故选：ABC.10.下列说法正确的是（）A.若与是平行向量，则B.已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为C.已知点，在所在平面内，满足且，则点，分别是外心，重心D.在中，若，则一定是锐角三角形〖答案〗BC〖解析〗A选项，若，满足与是平行向量，但不满足，故A错误；B选项，，则，，故B正确；C选项，，即点O到A、B、C三点的距离相等，故点为的外心，变形得到，取的中点，则，所以，故点在中线上，且，故是的重心，C正确；D选项，在中，若，满足，但不是锐角三角形，D错误.故选：BC.11.设、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中真命题是（）A.若，，，则B.若，，，则与是异面直线C若，则与一定相交D.若，，，则〖答案〗AD〖解析〗A：若，，，则，正确；B：若，，，则与平行或者是异面直线，错误；C：若，则与平行或相交，错误；D：若，，则，又，所以，D正确．故选：AD．12.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（）A.函数的对称中心为B.若，则C.若，则的最大值为D.若，且，则圆心角为，半径为的扇形的面积为〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，，令，故对称中心为，A选项错误；对于B选项，，，故B选项正确；对于C选项，，令，则，对称轴为，所以当时，取到最大值，此时，故C选项正确；对于D选项，，因为，所以因为，所以，所以扇形面积.故选：BCD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某中学高一生物课外兴趣小组要对本班同学的睡眠时间进行研究，得到了以下个数据(单位：小时)：，，，，，，，，，，去掉数据_______能很好地提高样本数据的代表性.〖答案〗〖解析〗因为数据明显低于其它几个数据，是极端值，所以去掉这个数据，能够更好地提高样本数据的代表性．故〖答案〗为：.14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度_______.〖答案〗〖解析〗由题可得，，则，则在中，由正弦定理，有，又由题可知，，则.故〖答案〗为：.15.在正三棱柱中，，是边上的点，且满足，则异面直线与所成角的正切值为_______.〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，，，由，得为的中点，在正三棱柱中，，，且，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，所以即为异面直线与所成角，设，则，所以，，，所以，所以，所以异面直线与所成角的正切值为.故〖答案〗为：.16.已知函数，若在区间上有两个不同的使得，则的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗，即：，，或，当时，，；当时，，；当时，，；在区间上，，两个不同的使得成立，，.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.解决下列问题.（1）已知向量与的夹角，且，.求和；（2）已知向量，，，且∥，，求的值.解：（1）因为向量与夹角，且，，则，.（2）因为向量，，，所以，又∥，所以，即，又，，所以，即，所以解得，所以.18.某中学（含初高中6个年级）随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值及样本中男生身高在（单位:）的人数；（2）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（3）根据频率分布直方图估计该校男生身高的75%分位数.解：（1）根据题意，，解得，所以样本中学生身高在内的人数为.（2）设样本中男生身高的平均值为，则，估计该校男生的平均身高为.（3）由，根据频率分布直方图，因为，，所以样本中的75%分位数落在内，设75%分位数为，则，解得，所以估计该校男生身高的75%分位数为.19.如图，为等腰三角形，且，平面，∥，，点为的中点.求证：（1）∥平面；（2）平面平面.解：（1）取的中点，连接，，又因为点为的中点，所以为的中位线，所以∥，，因为∥，所以∥，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面.（2）因为为等腰三角形，且，又点为的中点，所以，因为平面ACD，平面ACD，所以，因为，平面，所以平面，由（1）知∥，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面即是平面，所以平面平面.20.已知函数，且.从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①函数图像中相邻的两条对称轴之间的距离为；②函数图像与直线的两个相邻交点之间的距离为；③点在上.（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图像向上平移个单位，接着向左平移个单位，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，求函数的最小正周期和对称轴及时的值域.解：（1）选①，