2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号，答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知，则（）A.3或9 B.9 C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗因为，所以或，得.故选：C.2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A项，因是常数，故，即A项错误；对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误；对于C项，，故C项错误；对于D项，由求导法则易得故D项正确.故选：D.3.有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（）A.81 B.64 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗3个旅游爱好者分步去选择景点游览得种不同的选择方法数.故选：B.4.在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（）A.3 B. C. D.9〖答案〗D〖解析〗因为为等比数列，，所以，解得或（不合题意，舍去），所以，，令，即，由题意得，是方程的两个相异正根，则，，符合题意，故选：D．5.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是等差数列，∴，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，，所以使得的最大的为11，故选：C．6.已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗展开式中的第项为，所以前三项的系数依次为，依题意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即.故选：C.7.已知函数的导函数为，若，设，，．则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，两边除以，，即，设，则由可得在上单调递增.因，则有，即，因为增函数，故有，即，故.故选：A.8.对任意，存在，使得，则的最小值为（）A. B. C.1 D.e〖答案〗C〖解析〗由题，令，则，所以，令，则，令，则，则即在时单调递增，又，则时时，所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．故选：C．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由，选项A是正确的；由，选项B是错误的；由，而，显然，所以选项C是错误的；由而，所以成立，即选项D是正确的；故选：AD.10.已知数列满足，，则（）A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前n项和〖答案〗AD〖解析〗因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；，即，故B不正确；因为，因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误；，则，故D正确.故选：AD.11.已知，，则下列结论正确的是（）A.函数在上存在极大值B.函数没有最值C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为D.若，则的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A项，，设，则，当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增.故，则在上单调递增，故函数无极大值，即A项错误；对于B项，，令，则，当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增.故，则函数在R上单调递增，故函数没有最值，即B项正确；对于C项，由B项知，函数在R上单调递增，于是对任意，不等式等价于，则有，对任意，，由A项可得，在上单调递增，故，则，故实数的最大值为，即C项正确；对于D项，若，则，即，因，则，由A项得，在上单调递增，于是，，故，令，则，当时，，则函数在上递增；当时，，则函数在上递减，从而，故的最大值为，即D项正确.故选：BCD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若展开式中的系数为70，则实数___________．〖答案〗2〖解析〗的通项公式为，当时，，当时，，故的展开式中含的项为，由题意知，解得．故〖答案〗为：213.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由得：，因为在区间上单调递增，所以，即，又因为，所以，即，故〖答案〗为：.14.记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______．〖答案〗①4②〖解析〗因为，则，则，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，因为对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以，所以的最大值为．故〖答案〗为：4；.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.若，且.（1）求实数a的值；（2）求的值.解：（1）依题意，展开式的通项为=，由，=2得，所以，，解得，所以实数a的值是1.（2）由（1）知，，当时，，当时，，因此=1.16.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（用数字回答）（1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加；（2）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加．解：（1）在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目，有种报名方法．（2）根据题意，分2步进行分析：①将6人分成4组，若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法，若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法，则一共有种分组方法；②将分好的四组安排参加4项比赛，有种情况，所以共有种报名方法．17.已知数列的前项和为，.（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.解：（1）因为，所以当时，，两式作差可得，整理得．，令，则，所以，所以，则，当时，也符合上式，综上，．（2）由（1）可知，，则，因为，所以，所以．18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在处有极值为时：①求的值；②若的导函数为，讨论方程的零点的个数．解：（1）由题知定义域为，，当时，，，，切线方程为即；（2）①由题意得，解得或，令，当时，，符合题意；当时，，此时恒成立，不符合题意，故．②由①得设则令，得或当和时，，单调递增；在时，，单调递减.，,又时，；时，，如图所示.所以，当时，方程没有零点；当或时，方程有一个零点；当或时，方程有两个零点；当时，方程有三个零点．19.已知函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）时，求在上的最大值；（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．解：（1）由函数可得，当时，恒成立，所以的单调递减区间是；无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是；单调递增区间是，综上所述：当时，的单调递减区间是；无单调递增区间，当时，的单调递减区间是；单调递增区间是.（2）由（1）知当时，在上单调递减；在上单调递增，当，即时，在上单调递减，所以，即在上的最大值是，当，即时，在上单调递增，所以，即在上的最大值是，当，即时，在上单调递减；在上单调递增，所以最大值可能在或处取得，，，当，即时，，即在上的最大值是，当，即时，，即在上的最大值是，综上所述：当时，在上的最大值是；当时，在上的最大值是.（3）当时，不等式恒成立，即，即，，，，，即，令，，令，，所以在区间上单调递增，因为，，所以存在唯一一点，使，即，所以，所以当时，，即，当时，，即，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增；所以，，，因为，所以，即，所以，所以整数的最大值是4.湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号，答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知，则（）A.3或9 B.9 C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗因为，所以或，得.故选：C.2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A项，因是常数，故，即A项错误；对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误；对于C项，，故C项错误；对于D项，由求导法则易得故D项正确.故选：D.3.有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（）A.81 B.64 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗3个旅游爱好者分步去选择景点游览得种不同的选择方法数.故选：B.4.在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（）A.3 B. C. D.9〖答案〗D〖解析〗因为为等比数列，，所以，解得或（不合题意，舍去），所以，，令，即，由题意得，是方程的两个相异正根，则，，符合题意，故选：D．5.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是等差数列，∴，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，，所以使得的最大的为11，故选：C．6.已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗展开式中的第项为，所以前三项的系数依次为，依题意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即.故选：C.7.已知函数的导函数为，若，设，，．则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，两边除以，，即，设，则由可得在上单调递增.因，则有，即，因为增函数，故有，即，故.故选：A.8.对任意，存在，使得，则的最小值为（）A. B. C.1 D.e〖答案〗C〖解析〗由题，令，则，所以，令，则，令，则，则即在时单调递增，又，则时时，所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．故选：C．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由，选项A是正确的；由，选项B是错误的；由，而，显然，所以选项C是错误的；由而，所以成立，即选项D是正确的；故选：AD.10.已知数列满足，，则（）A.为等比数列 B.的通项公式为C.为递增数列 D.的前n项和〖答案〗AD〖解析〗因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；，即，故B不正确；因为，因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误；，则，故D正确.故选：AD.11.已知，，则下列结论正确的是（）A.函数在上存在极大值B.函数没有最值C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为D.若，则的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A项，，设，则，当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增.故，则在上单调递增，故函数无极大值，即A项错误；对于B项，，令，则，当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增.故，则函数在R上单调递增，故函数没有最值，即B项正确；对于C项，由B项知，函数在R上单调递增，于是对任意，不等式等价于，则有，对任意，，由A项可得，在上单调递增，故，则，故实数的最大值为，即C项正确；对于D项，若，则，即，因，则，由A项得，在上单调递增，于是，，故，令，则，当时，，则函数在上递增；当时，，则函数在上递减，从而，故的最大值为，即D项正确.故选：BCD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若展开式中的系数为70，则实数___________．〖答案〗2〖解析〗的通项公式为，当时，，当时，，故的展开式中含的项为，由题意知，解得．故〖答案〗为：213.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由得：，因为在区间上单调递增，所以，即，又因为，所以，即，故〖答案〗为：.14.记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______．〖答案〗①4②〖解析〗因为，则，则，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，因为对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以，所以的最大值为．故〖答案〗为：4；.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.若，且.（1）求实数a的值；（2）求的值.解：（1）依题意，展开式的通项为=，由，=2得，所以，，解得，所以实数a的值是1.（2）由（1）知，，当时，，当时，，因此=1.16.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（用数字回答）（1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加；（2）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加．解：（1）在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目，有种报名方法．（2）根据题意，分2步进行分析：①将6人分成4组，若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法，若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法，则一共有种分组方法；②将分好的四组安排参加4项比赛，有种情况，所以共有种报名方法．17.已知数列的前项和为，.（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.解：（1）因为，所以当时，，两式作差可得，整理得．，令，则，所以，所以，则，当时，也符合上