2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区高二下学期期中考试数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知数列的前n项和为，则（）A.81 B.162 C.243 D.486〖答案〗B〖解析〗数列的前n项和为，所以.故选：B2.已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为直线的倾斜角为，所以，又，所以.故选：C.3.若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.4.直线被圆所截得的弦长为（）A1 B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由已知得圆心为，半径，因为圆心在直线上，所以直线被圆所截得的弦长为.故选：C5.在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（）A.3 B.9 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，是方程两根，所以，即，在等比数列中，，又，所以，因为，所以，所以.故选：B.6.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为或当5人被分为时，情况数为;当5人被分为时，情况数为；所以共有.由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则共计种，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以甲不在小区的概率为故选：B.7.设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，则，故，而，则，又，所以.故选：D8.已知，，，则（参考数据：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，考虑构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因为，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故选：B.二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的有（）A.B.函数的单调增区间为C.一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是D.，则〖答案〗CD〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，函数定义域为正实数，故B错误；对于C，，当时，，故C正确；对于D，若，则.故选：CD.10.已知，下列结论正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗因为，令，则，令，则，所以，故B错误；令，则，故C错误：令，则，所以，通项为，所以，故A正确；令，则，令，得，故D正确.故选：AD11.已知等差数列{}的前n项和，则下列选项正确的是（）A. B.C当取得最大值时 D.当取得最大值时〖答案〗ABC〖解析〗设公差为，则，所以，解得，故A正确；，故B正确；，所以当时，最大，故C正确，D错.故选：ABC.12.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（）A.四边形面积的最大值为2B.四边形周长的最大值为C.为定值D.四边形面积的最小值为32〖答案〗ABD〖解析〗依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，因为，，则四边形为矩形，有，当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A正确；因为，则，当且仅当时取等号，因此四边形周长最大值为，B正确；设直线方程为：，，由消去y得：，则，，同理，因此，C错误；四边形面积，当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗直接填在答题卡中的横线上.）13.已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为_____.〖答案〗〖解析〗根据题意可得离心率，解得，所以椭圆的短轴长为.故〖答案〗为：.14.设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为________．〖答案〗〖解析〗由题设，从中任取一件取到的次品的概率为.故〖答案〗为：15.如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗连接交于点，平面，平面，则，因为四边形为菱形，则，，、平面，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，易知平面的一个法向量为，因为平面，所以，，设点，其中，则，由已知可得，因为，解得，即点，设点，则，因，则，可得，且，可得，所以，点，因为平面，、平面，，，且，所以，.故〖答案〗为：.16.双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．〖答案〗〖解析〗内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P则四边形、都为正方形，设内切圆半径为，由圆的切线性质，则，则，①又因为，②且双曲线定义得，，③由①、②、③得，所以，从而，由勾股定理，，所以，解得．故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；（2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．解：（1）点P不在圆上．证明如下：∵，∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．18.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点（1）证明：平面；（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.解：（1）取中点，连接，如图所示，为中点，则，又，得，由，，得，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有，，，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，，设点到平面的距离为，.19.为弘扬百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．（1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；（2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．解：（1），，，所以X的分布为X0102030P所以（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.20.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．解：（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴21.如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．解：（1）由题意知，直线OB方程为，直线OA的方程为，因为，所以直线BF的方程为，与直线OB方程联立，解得，把代入直线OA的方程得，所以又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线的方程为，即因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点，直线与直线的交点为，因为，则因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为22.已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．解：（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知数列的前n项和为，则（）A.81 B.162 C.243 D.486〖答案〗B〖解析〗数列的前n项和为，所以.故选：B2.已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为直线的倾斜角为，所以，又，所以.故选：C.3.若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.4.直线被圆所截得的弦长为（）A1 B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由已知得圆心为，半径，因为圆心在直线上，所以直线被圆所截得的弦长为.故选：C5.在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（）A.3 B.9 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，是方程两根，所以，即，在等比数列中，，又，所以，因为，所以，所以.故选：B.6.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为或当5人被分为时，情况数为;当5人被分为时，情况数为；所以共有.由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则共计种，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以甲不在小区的概率为故选：B.7.设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，则，故，而，则，又，所以.故选：D8.已知，，，则（参考数据：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，考虑构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因为，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故选：B.二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的有（）A.B.函数的单调增区间为C.一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是D.，则〖答案〗CD〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，函数定义域为正实数，故B错误；对于C，，当时，，故C正确；对于D，若，则.故选：CD.10.已知，下列结论正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗因为，令，则，令，则，所以，故B错误；令，则，故C错误：令，则，所以，通项为，所以，故A正确；令，则，令，得，故D正确.故选：AD11.已知等差数列{}的前n项和，则下列选项正确的是（）A. B.C当取得最大值时 D.当取得最大值时〖答案〗ABC〖解析〗设公差为，则，所以，解得，故A正确；，故B正确；，所以当时，最大，故C正确，D错.故选：ABC.12.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（）A.四边形面积的最大值为2B.四边形周长的最大值为C.为定值D.四边形面积的最小值为32〖答案〗ABD〖解析〗依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，因为，，则四边形为矩形，有，当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A正确；因为，则，当且仅当时取等号，因此四边形周长最大值为，B正确；设直线方程为：，，由消去y得：，则，，同理，因此，C错误；四边形面积，当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗直接填在答题卡中的横线上.）13.已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为_____.〖答案〗〖解析〗根据题意可得离心率，解得，所以椭圆的短轴长为.故〖答案〗为：.14.设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为________．〖答案〗〖解析〗由题设，从中任取一件取到的次品的概率为.故〖答案〗为：15.如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗连接交于点，平面，平面，则，因为四边形为菱形，则，，、平面，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，易知平面的一个法向量为，因为平面，所以，，设点，其中，则，由已知可得，因为，解得，即点，设点，则，因，则，可得，且，可得，所以，点，因为平面，、平面，，，且，所以，.故〖答案〗为：.16.双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．〖答案〗〖解析〗内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P则四边形、都为正方形，设内切圆半径为，由圆的切线性质，则，则，①又因为，②且双曲线定义得，，③由①、②、③得，所以，从而，由勾股定理，，所以，解得．故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；（2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．解：（1）点P不在圆上．证明如下：∵，∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．18.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点（1）证明：平面；（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.解：（1）取中点，连接，如图所示，为中点，则，又，得，由，，得，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有，，，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，，设点到平面的距离为，.19.为弘扬百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．