湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

衡阳县四中2025届高三9月月考试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知非空集合A=x|m-A．-1,0 B．-1,2 C．0,2 D．2．已知函数fx=xlnx-axA．-1<a<1 B．-14<3．已知定义在R上的偶函数fx满足fx+3=-fx，若A．-1 B．1 C．-2 D4．已知向量a，b满足a=2，b=3，a⋅b=0A．13 B．5 C．5 D．45．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=5bc，A．2 B．4 C．6 D．86．已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1A．511 B．93 C．72 D．417．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，直线y=a与双曲线C交于MA．3 B．5 C．233 D8．已知函数fx=2x,x≤0lnx,x>0A．1,+∞ B．C．-∞,1 D二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．在区间(0,1)上，已知f'x>1，下列图像中不能表示函数yA． B．C． D．10．已知数列bn满足b1=2，bn-bnbn+1=1，记数列bA．b2025=-1 BC．SnSn11．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，GA．直线A1G与直线B．直线A1G与平面ADC．二面角D1-D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，记过点B1与AM13．设函数f(x)=(x-a)ln(14．已知多项式(x+2)3(四、解答题（本题共6小题，共70分）15．（13分）数列an满足a1=1，a(1)an(2)bn=(a2n+2)log16．（15分）已知fx(1)求fx在0,(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若fC=0，c=2，求△17．（15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C(1)求证：C1F(2)求证：平面ABE⊥平面(3)若AB=BC=AA18．（17分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：

(1)确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m.①求m的值；②从这m家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.19．（17分）已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D．若点D恰好是F1与数学答案1．【答案】C【解析】解：B因为非空集合A=所以m-1≤2m所以m的取值范围为：0,2．故选：C．2．【答案】A【解析】fx的定义域为(0,+∞)因为fx有两个极值，所以f由f'x=令g(x)=则g'当0<x<1时，g'(x所以g(x)在(因为g(x)=所以当x→0时，g(x)→-∞所以g(

由图可知当-12<a<0时，y因为a-12所以“fx有两个极值”的一个必要不充分条件是-故选：A3．【答案】C【解析】由fx+3=-所以f100又fx是偶函数且fx+3故选：C4．【答案】C【解析】因为a=2，b=3，a⋅b=0故选：C.5．【答案】B【解析】因为a2所以c=4b，所以故选：B6．【答案】B【解析】∵lg∴lg∴a所以a2则S10故选：B．7．【答案】C【解析】由y=ax2a2-由y=-bx2a2-因为MN=2PQ整理得c=2b=2c2故选：C.8．【答案】C【解析】令gx=t，y则ft+t-a如下图，当a>1函数y=ft与函数y=a-t即gx=t>1，函数y=g且2个交点关于x=1则方程fgx+当a=1时，函数y=ft与函数y=at1=0时gx=0，可得t1=1时gx=1，xx-2即函数y=gx与函数y=则方程fgx+gx-a当a<1时，函数y=ft与函数y即函数y=gx与函数y=t的图象有2即gx=t3<0当t3<0时，函数y=当0<t4<1时，函数y=gx与函数所以4个交点横坐标之和为4，则方程fgx+gx-a综上，实数a的取值范围是a<1故选：C.9．【答案】BCD【解析】由题设，在区间(0,1)上，由f'x>1对于A：曲线越来越“陡峭”，区间(0,1)上各点处的切线斜率始终到大于1，故可表示函数y=对于B：曲线由“陡峭”到“平缓”，区间(0,1)上右半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数y=对于C：曲线由“平缓”到“陡峭”，区间(0,1)上左半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数y=对于D：曲线越来越“平缓”，区间(0,1)上点处的切线斜率始终到小于1，故不可表示函数y=故选：BCD10．【答案】AD【解析】已知数列bn满足b1=2,bn-b对于A项，b2025=b对于B项，T6n+1对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则bn-2对于D项，T2025=20253×故选：AD．11．．【答案】BCD【解析】对于A，连接A1C1,AC而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故EG//则A1,E,G,C对于B，由于GD⊥平面ADD1A1，故∠而DG=1,A1故sin∠GA对于C，连接BD交AC于点O，连接D1DD1⊥平面ABCD,AC⊂又AC⊥BD,DD1∩即∠D1O又D1故cos∠D1对于D，连接AD1，则则梯形EFC1B即为过点B，E而EB=故等腰梯形EFC1B故等腰梯形EFC1B即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为92，故D故选：BCD.12．【答案】177/【解析】分别取BC,CD的中点E,F，连接B1且BB1∥DD1，BB1=可得EF∥B1D1因为AB⊥平面BCC1B1，B又因为tan∠即tan∠B1EB⋅且AB∩BM=B，可得B1E⊥平面ABM，由AM⊂平面连接AC,因为A1B1又因为AA1⊥平面A1B1C且A1C1∩A可得B1D1⊥平面AA1C且B1E∩B1可得AM⊥平面B1EFD1设正方体的棱长为2，则正方体的体积为2×2×2=8，三棱台B1C1可知VA=73，故答案为：17713．【答案】2【解析】由题意可知：f(x)令x-a=0，解得x=a则当x∈(-b,1-b)时，ln当x∈(1-b,+∞)时，ln故1-b-a当ab>0时，则1当且仅当a=2-2，所以1ab+b故答案为：214．【答案】32【解析】设t=x+1令t=0，则(0+1)(t+1)3的展开式中一次项为C(t-2)4的展开式中一次项为所以a7所以a7故答案为：32.15．【答案】(1)an=3【解析】（1）数列an满足a1整理得an+1+2=3a即an+1+2a所以数列an+2是以3为首项，3故an+2=3⋅整理得an（2）由于an=3n-2所以Tn=1⋅9+2⋅99Tn=1⋅①-②得：-8T所以Tn16．【答案】(1)0,5π12；【解析】（1）由题意得fx又-π2+2kπ≤2x令k=0，得-π12≤x所以fx在0,π2（2）因为fC所以2C-π3=又C是锐角，所以C=由余弦定理c2=a所以ab≤42+3，当且仅当所以S△故△ABC的面积的最大值为2+317．【解析】（1）证明：取AB的中点M，因为F为棱BC的中点，所以MF//AC，又AC//A1C1，AC所以MF//EC所以四边形MFC所以ME//又C1F⊂平面ABE，ME所以C1F//（2）证明：因为三棱柱ABC-所以BB1⊥平面ABC，又AB⊂平面又AB⊥BC，BB1∩BC=B，所以AB⊥平面BC又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面（3）取AC的中点G，连接EG，因为M为AB的中点，所以MG//又AB⊥BC，所以又直三棱柱的几何特征可得EG⊥面ABC，又AB⊂面ABC，所以又MG∩EG=G，MG⊂平面EMG所以AB⊥平面EMG，又EM⊂平面EMG，所以所以二面角E-AB-因为AB=所以MG=1，EG在Rt△EGM中，所以cos∠所以二面角E-AB-18．【答案】(1)a=0.004，中位数158；(2)①5，②2【解析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1得(0.002+0.003+a解得a=0.004设中位数为t，则专项贷款金额在[0,150)内的评率为0.45，在[0,200)内的评率为0.75，所以t在[150,200)内，则(t-150)×0.006=0.5-0.45所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.（2）①由题意，抽样比为20120专项贷款金额在[200,250)内的中小微企业共有120×50×(0.004+0.001)=30家，所以应该抽取30×16=5②专项贷款金额在[200,250)内和在[250,300)内的频率之比为4:1，故在抽取的5家中小微企业中，专项贷款金额在[200,250)内的有5×45=4专项贷款金额在[250,300)内的有5×15=1从这5家