2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷1

2025届高三数学一模暨春考数学试卷1时间：120分钟满分：150一､填空题：1.已知集合，集合，则__________.2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________.3.现从甲､乙､丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________.4.若一组样本数据的平均数为5，则该组数据的方差__________.5.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为__________.6.设函数，若成等差数列（公差不为零），则__________.7.已知下列两个命题：，不等式恒成立；有最小值.若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________.8.设中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是__________.9.已知，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围__________.10.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.11.如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是__________.12.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期为1；④函数在上是增函数.其中正确的命题的序号是__________.二､选择题：13.设都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件14.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②的最大值为2；③在有4个零点；④在区间单调递减.其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③15.如图，平面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为，则的最大值为（）A.B.C.D.16.已知数列满足：.若正整数使得成立，则（）A.16B.17C.18D.19三､解答题：17.在平面直角坐标系中，已知点，其中.（1）若，求证：.（2）若，求的值.18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.19.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，以椭圆左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点.（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值.21.已知函数（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值.参考答案及逐题解析：一､填空题：1.【答案】解：由题意可知集合表示四个实数，而集合表示非负实数，所以两个集合交集为.2.【答案】解：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即.3.【答案】解：从甲､乙､丙3人中随机选派2人，共有甲乙､甲丙､乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙､甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.4.【答案】解：..5.【答案】解：因为抛物线的焦点为，所以.又，所以.而双曲线的渐近线方程为，即.6.【答案】2【详解】因为成等差数列，所以，.7.【答案】或.解：，不等式恒成立；即恒成立；由于的最小值为2，故为真命题时，有最小值.表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立即，解得故为真命题时，两个命题中有且只有一个是真命题，当真假时，或或，当假真时，这样的值不存在故实数的取值范围是或8.【答案】【详解】：椭圆中中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，双曲线中椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒数.双曲线的离心率为，双曲线中双曲线的方程为.9.【答案】且【详解】，，即，又不共线，，且.10.【答案】【详解】当时，在上单调递减，所以，即，，当时，，所以，可得在单调递增，所以，即，所以的值域为，因为且，所以，即，因为，所以，所以所以的值域为，因为存在，使得成立，所以，若，则或，此时或，所以当时，的取值范围是：.所以实数的取值范围是.11.【答案】【详解】设，因为，可得且，所以梯形的面积为，则，所以，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，即.12.【答案】①②③【详解】①由定义知：，所以，即的值域为；故①对；②因为，所以函数的图象关于直线对称；故②对；③因为，所以函数是周期函数，最小正周期为1；故③对；④当时，；当时，，此时，故④错.故答案为：①②③二､选择题：13.【答案】C【解析】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C.14.【答案】A【解析】的定义域为，因为，故为偶函数，结论①正确，当，当故当时，根据函数为偶函数，作出大致图像，如图所示故函数的最大值为2，结论②正确，根据图像可得，在有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.故选：A.15.【答案】B【解析】空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，所以在内的轨迹为一个椭圆，为椭圆的中心，，则，于是为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角，在短轴的端点取得最大，故为.故选B.16.【答案】B【解析】，即，，时，，两式相除可得，则，由，可得，且，正整数时，要使得成立，则，则，故选：B.三､解答题：17.【详解】（1）由题设知.所以因为，所以.故.（2）因为，所以，即，解得.因为，所以.因此，.从而.18.【详解】（1）连接与交于点，连接；因为为的中点，为的中点.所以，又平面平面.所以平面.（2）由于点到平面的距离为1，故三棱锥的体积.19.【详解】（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，即.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.20.【详解】（1）依题意，得，，故椭圆的方程为.（2）点与点关于轴对称，设，设，由于点在椭圆上，所以，由，则，.由于故当时，的最小值为，所以，故，又点在圆上，代入圆的方程得到.故圆的方程为：（3）设，则直线的方程为：，令，得，同理：.故又点与点在椭圆上，故，代入上式得：，所以21.解：（1）因为为的极值点，所以，即，解得.又当时，，从而为的极值点成立.（2）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立.①当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意.②当时，由函数的定义域可知，必