河北省张家口市张垣联盟2024-2025学年高二数学上学期阶段检测试题

PAGEPAGE12河北省张家口市张垣联盟2024-2025学年高二数学上学期阶段检测试题留意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．2．考试时间为120分钟，满分150分．3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．4．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，动点P满意，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线2．已知抛物线，则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．3．双曲线的左焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A．1B．C．D．24．已知椭圆，圆过椭圆的上顶点，则椭圆离心率是（）A．B．C．D．5．已知双曲线的一条渐近线方程，且过点，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．已知椭圆的上下焦点分别为为C上的随意一点，则的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．7．设P是椭圆上一点，分别是圆：和上的一动点，则的最小值为（）A．5B．6C．7D．88．已知抛物线的焦点为为该抛物线上一点，若以M为圆心的圆与C的准线相切于点，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知双曲线，则（）A．C的焦距为B．C的虚轴长是实轴长的倍C．双曲线与C的渐近线相同D．直线上存在一点在C上10．下列叙述正确的是（）A．点在圆外B．圆在处的切线方程为C．圆上有且仅有3个点到直线的距离等于D．曲线与曲线相切11．以下四个命题表述正确的是（）A．直线恒过定点B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为C．，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D．直线的距离为12．已知抛物线的焦点为F，过点F倾斜角为的直线与抛物线C交于两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于D，则以下结论正确的是（）A．B．F为的中点C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则____________．14．若实数满意不等式组，则的最大值为___________．15．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于两点，则__________．16．已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，且C的右支上随意一点到左焦点的距离的最小值为，②C的焦距为，③C上一点到两焦点距离之差的肯定值为6．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线，___________，求C的方程．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知集合且．（1）若“命题”是真命题，求m的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．（12分）已知圆，动圆N与圆M外切，且与直线相切．（1）求动圆圆心N的轨迹C的方程；（2）过（1）中的轨迹C上的点作两条直线分别与轨迹C相交于两点，摸索究：当直线的斜率存在且倾角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个值，若不是，请说明理由．20．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．21．（12分）如图所示，圆C的圆心在直线上且与x轴正半轴相切，与y轴正半轴相交于两点（点M在点N的下方），且．（1）求圆C的方程；（2）过点M随意作一条直线与椭圆相交于两点，连接，摸索究与的关系，并给出证明．22．（12分）已知椭圆为左焦点，过F的直线交椭圆C于两点，当直线过椭圆的上顶点时，的斜率为，当直线垂直于x轴时，的面积为，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线的斜率大于，求直线的斜率的取值范围．2024-2025学年第一学期阶段测试卷高二数学参考答案1．C【解析】依题意，得．当时，，可知点P的轨迹为双曲线左支；当时，，可知点P的轨迹为以为端点的一条射线．故选C．2．C【解析】化为标准方程为，故焦点坐标为．选C．3．A【解析】，其中，所以，，左焦点为，渐近线的方程为，左焦点到直线的距离为．4．B【解析】圆过椭圆的上顶点，则，所以，，选择B．5．A6．D【解析】易知，，因此在四个选项中，的一个充分不必要条件是．7．B【解析】椭圆的两个焦点坐标为且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等且等于1，所以．8．B【解析】过点M作轴于B．由题可知，因为，所以，所以，解得抛物线方程为．选B．9．BC【解析】因为，所以，则，所以A错误，B正确，与C的渐近线均为，C正确．C的渐近线的斜率小于2，所以直线与C相离，所以D错误．10．ABC【解析】对于A，点P与圆心的距离为，故点P在圆外．所以A正确；对于B，到的距离等于1，故正确；对于C，圆心到直线的距离为，故圆上有三个点到直线的距离等于，C正确；对于D，的圆心为半径为的圆心为半径为，故相交，D错误．11．ACD【解析】对A，，即，直线恒过与的交点，解得，恒过定点A正确；对于B，直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为，截距为0时为，故B错误．对于C，由题意，“直线与直线垂直”则，解得或，所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确．对于D，直线的距离为，过D正确．12．AB【解析】如图，分别过点作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点，抛物线的准线m与x轴交于点P，则，由于直线的倾斜角为，轴，由抛物线定义可知，，则为正三角形，所以，则，所以，，A正确，，所以点F为的中点，B正确；因为，所以，所以，，C错误，，D错误13．14．5【解析】依据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令，则，当直线过点时，z取得最大值5．15．32【解析】16．【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为，依据椭圆及双曲线的定义：，所以，，由余弦定理可得，17．【解析】选①因为，所以3分所以5分因为C的右支上随意一点到左焦点的距离的最小值为7分所以解得．9分故C的方程为．10分选②若，则2分所以，3分所以C的焦距为，4分解得，则C的方程为5分若．则，7分所以，8分所以C的焦距为9分解得．则C的方程为10分选③若，则1分所以，2分因为C上一点到两焦点距离之差的肯定值为6．所以4分解得．则C的方程为5分若．则，6分所以7分因为C上一点到两焦点距离之差的肯定值为6．所以9分解得，则C的方程为10分18．【解析】解得，则，（1），；由P为真，则，，6分（2）是的充分不必要条件，得B是A的真子集，且得：解得12分19．【解析】（1）设动圆N的半径为，因动圆N与相切，所以点N到直线的距离，因动圆N与圆M相外切因为，因为表示点N到直线的距离，所以N到直线的距离等于N到的距离，由抛物线的定义可知，N的轨迹C为抛物线，C的方程为4分（2）由题知，两式相减得，所以，设直线的斜率为k，则直线的斜率为，所以，，则由得，8分所以同理，，10分故直线的斜率为定值112分20．【解析】（1）证明：记的中点为G，连接．因为分别为的中点，则，且．因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，3分则．又平面平面，所以平面6分（2）以C为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则令，则8分设平面的法向量为，则令，则10分，即二面角的余弦值为12分21．【解析】（1）依题意，圆心C的坐标为，因为圆C与x轴正半轴相切，故圆C的半径为．因为，所以，解得所以圆C的方程为4分（2）5分证明：把代入方程，解得或，即点6分①当轴时，可知7分②当与x轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去y得，9分设直线交椭圆于两点，则．所以．所以11分综合①②知12分22．【解析】（1）因为椭圆，当直