2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x2+3x<4}，B={−1,2,5}，则A∪B中元素的个数为A.1 B.4 C.6 D.72.命题“∃x∈Q，tanx2∈Q”的否定是A.∀x∈Q，tanx2∉Q B.∀x∈Q，tanx2∈Q

C.∃x∈Q，3.已知i是虚数单位，复数1−2i1−i的虚部为(

)A.−12 B.32 C.−4.函数f(x)=ln|x|exA. B.

C. D.5.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2A.8 B.12 C.16 D.10+26.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A∪B)=(

)A.0.4 B.0.58 C.0.7 D.0.727.甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：

甲：乙得奖．

乙：丙得奖．

丙：乙说错了．

丁：我没得奖．

四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.设a=log52，b=0.50.6，A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象

B.直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴

C.f(x)在10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是(

)

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22.A.男生样本容量为50 B.每个女生被抽到的概率110

C.抽取的样本的均值为165 D.抽取的样本的方差为11.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P在棱CC′上，且|PC′|=1，则下列结论正确的有(

)A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为73

B.保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为32

C.若保持|PM|=25，则点M的运动轨迹长度4π3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,m−1)，b=(m,m+3)，若a⋅b=−|a13.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB，AC=BD=6，AB=8，则CD=______．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中t∈N∗，则t的一个取值可以为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinA=3a．

(1)求C；

(2)若c=7，△ABC的面积为10316.(本小题15分)

现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，得到如下频率分布直方图．

(1)求a的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；

(2)求这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数；

(3)从这50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm以上(含180cm)的概率．17.(本小题15分)

如图，在底面为菱形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点．

(1)若Q是直线PC与平面AEF的交点，试确定PQPC的值；

(2)若三棱锥C−EQA的体积为36，求直线AQ与平面AEF18.(本小题17分)

已知函数f(x)=asinx+bcosx，称非零向量p=(a,b)为f(x)的“特征向量”，f(x)为p的“特征函数”．

(1)设函数ℎ(x)=2sin(π3−x)−cos(π6+x)，求函数ℎ(x)的“特征向量”；

(2)若函数f(x)的“特征向量”为p=(1,3)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π19.(本小题17分)

在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，一般式方程可表示为ax+by+cz+d=0．

(1)若平面α1：2x−y−1=0，平面β1：3y−2z+1=0，直线l为平面α1和平面β1的交线，求直线l的一个方向向量；

(2)已知集合P={(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}.Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}，T={(x,y,z)||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}.记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.CD

10.ABD

11.BCD

12.−1

13.10

14.25(答案不唯一)

15.解：(1)因为2csinA=3a，

由正弦定理可得2sinCsinA=3sinA，

在锐角△ABC中，可得sinA>0，

可得sinC=32，可得C=π3；

(2)因为c=7，S=12absinC=12ab⋅32=10316.解：(1)由频率分布直方图的性质可得，4×(a+0.07+0.08+0.02+0.02+0.01)=1，

解得a=0.05，

因为4×(0.05+0.07)=0.48<0.6，4×(0.05+0.07+0.08)=0.8>0.6，

所以第60百分位数位于[168,172)，设其为m，

则0.48+(m−168)×0.08=0.6，

解得m=169.5，

即估计这50名男生的身高的第60百分位数为169.5cm；

(2)身高在176cm以上(含176cm)的频率为：0.02×4+0.01×4=0.12，

所以这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数为：50×0.12=6人；

(3)这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数为6人，

其中[176,180)中有0.02×4×50=4人，[180,184]中有0.01×4×50=2人，

从这50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，

基本事件总数n=C62=30，

该2人中身高恰有1人在180cm(含180cm)以上包含的基本事件个数m=C41C21=8，

该17.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，

所以△ABC是等边三角形，所以AE⊥BC，又，PA⊥平面ABCD，

所以在A点处AE，AD，AP两两互相垂直，

则以A为原点，分别以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则依题意有E(3,0,0)，F(0,1,1)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，C(3,1,0)，

则AE=(3,0,0)，AF=(0,1,1)，PC=(3,1,−2)，设PQ=kPC=(3k,k,−2k)，

则AQ=AP+PQ=(3k,k,2−2k)，

因为Q是直线PC与平面AEF的交点，所以AQ，AE，AF共面，

所以存在实数m，n，使得AQ=mAE+nAF，即(3k,k,2−2k)=(3m,n,n)，

所以3k=3mk=n2−2k=n，解得m=23n=23k=23，

所以PQ=23PC，即PQPC=23．

(2)依题意有S△AEC=118.解：(1)因为ℎ(x)=2(32cosx−12sinx)−(32cosx−12sinx)=32cosx−12sinx，

所以ℎ(x)的“特征向量”为p=(−12,32)；

(2)由题意知f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

由f(x)=85，得2sin(x+π3)=85，sin(x+π3)=45，

因为x∈(−π3,π6)，x+π3∈(0,π2)，

所以cos(x+π3)=35，

所以sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)−32cos(x+π3)=4−3310；

(3)f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+π619.解：(1)直线l是两个平面2x−y−1=0与3y−2z+1=0的交线，

所以直线l上的点满足2x−y−1=03y−2z+1=0，

不妨设y=1，则x=1，z=2，

不妨设y=3，则x=2，z=5，

所以直线l的一个方向向量为：(2−1,3−1,5−2)=(1,2,3)；

(2)(i)记集合Q，P∩Q中所有点构成的几何体的体积分别为V1，V2，

考虑集合Q的子集Q′={(x,y,z)|x+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}，

即为三个坐标平面与x+y+z=2围成的四面体，

四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，

此四面体的体积为VQ′=13×2×(12×2×2)=43，

由对称性知V1=8VQ′