08圆大题综合-【黄金冲刺】考前10天中考数学极限满分冲刺(浙江专用)原卷版+解析

08圆大题综合1．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足．(1)求证：为切线；(2)若，求的长（结果保留）．熟练掌握圆周角定理，以及弧长公式是解题的关键．2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图，直线经过上的点M，并且，交于点N．(1)求证：直线是的切线；(2)当时，求的度数．3．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，作于点，连接，若，求：(1)的度数．(2)若的半径为2，求的长．4．（2023·浙江·模拟预测）如图，以等腰的底边为直径作半圆，交、于点D、E．(1)证明：；(2)若，，求阴影部分面积．5．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，半径为2，弦，A是弦所对优弧上的一个点，连接并延长交点M，连接，过点B作，垂足为E．(1)求证：．(2)过点A作，分别交，于点H，D．求的长．6．（2023·浙江宁波·统考一模）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图1，的外接圆的圆心是点O，点D是弧的中点，画一条弦把分成面积相等的两部分；(2)如图2，是的内接三角形，且，过点B画弦；(3)如图3，是的内接三角形，弦，画的平分线交于点E．7．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，为的直径，为上一点，作的平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．8．（2023·浙江温州·统考二模）如图，已知是的直径，，弦与交于点F，过点D，A分别作的切线交于点P，与延长线交于点E．(1)求证：．(2)若，且，求的长．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．9．（2023·浙江台州·统考一模）如图，内接于半圆，已知是半圆的直径．，平分，分别交半圆和于点，过点作，垂足为点，交于点．(1)求证：；(2)连接交于点，若，求的长．10．（2023·浙江杭州·统考一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点．(1)求证：．(2)若，求的长．(3)连结，如图2，求证：．11．（2023·浙江·模拟预测）如图，锐角三角形内接于，，点D平分，连接，，．(1)求证：．(2)过点D作，分别交于点E，F，交于点G．①若，，求线段的长（用含a，b的代数式表示）．②若，求证：．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．（2023·浙江丽水·统考一模）如图，为矩形的对角线，点在上，连接，是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点，点恰好是的中点，连接，分别交，于点，，连接．(1)求证：．(2)求证：四边形是菱形．(3)若恰好是的中点时，求的值．13．（2023·浙江温州·统考一模）如图，点O在的斜边上，半圆O切于点D，切于点E，连结，Q为线段上一点，交于点P，已知，，设，．(1)求半圆O的半径和的长．(2)若点Q在线段上．①求y关于x的函数表达式．②在上取点F（不与点O重合），连结，当为等腰直角三角形时，求所有满足条件x的值．(3)当经过的中点G时，求的长．14．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，四边形内接于，，为直径，为上一动点，连接交于点，交于点，连接．(1)设∠为，请用表示的度数．(2)如图1，当时，①求证：．②当，时，求半径的长．(3)如图2，当过圆心时，设，，求关于的函数表达式．15．（2023·浙江宁波·统考一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．16．（2023·浙江台州·统考一模）如图1，已知内接于，为的直径，，，点是半圆上的一个动点，过点作交直径于点．(1)求证：；(2)如图2，连接交于点，若，求；(3)如图3，连接交于点，若，①求的长；②直接写出的值为______．17．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，等腰内接于，其中，点在上运动，，分别交、于点、，交于点．(1)求证：．(2)连结，当为的直径时，①求证：．②连结，若∥，求的值．③连结，设，，请直接写出关于的函数表达式．18．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，的直径垂直弦于点E，点P为上的一点，连接并延长交于点Q，连接，过点P画交的延长线于点F．若的直径为10，．(1)求的长；(2)如图2，当时，求的正切值；(3)如图1，设．①求y关于x的函数解析式；②若，求y的值．19．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作交于点E，的延长线与的延长线交于点F．(1)求证：是的切线．(2)若．①求的值．②当时，求的长．20．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在中，，点D在上，，动点Q从A点出发沿线段以每秒1单位的速度运动，过点Q作，交射线于点P，点P关于点D的对称点为，以为边在上方作正方形，设点Q运动的时间为t秒．(1)当点P在线段上时，求的长（用t的代数式表示）．(2)当正方形的顶点F或E刚好落在的的边上时，求t的值．(3)以为直径作，当与的边所在的直线相切时，请求出所有满足条件的t的值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．21．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图1，已知AB是半圆O的直径，半径，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连接AC，作射线CD于点E．(1)猜想的度数，并说明理由(2)连接，若，求证：．(3)如图2，作正方形，连接交于点G．若，，求的长．22．（2023·浙江宁波·统考二模）已知：如图1，内接于，直径交于点E，满足．(1)若，求的度数．(2)求证：．(3)连结．①如图2，若，，求的值．②如图3，过点A作于点H，若长为1，，长为y，求y关于x的函数关系式．23．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连结，．(1)求证：．(2)求证：．(3)如图2，弦平分交于点．①若点为的中点，，求的长．②设，，求关于的函数表达式．24．（2023·统考二模）如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，以为直径构造交于点（异于点）．在点，的运动过程中，始终满足．(1)求证：．(2)如图，连接，当时，求的直径．(3)设为的中点，连接，在，的运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．25．（2023·浙江宁波·统考三模）如图，内接于圆O，，点D为劣弧上动点，延长，交于点E，作交圆O于点F，连接．(1)如图1，当点D为弧的中点时，求证：；(2)如图2，若，，试用含有的代数式表示；(3)在（2）的条件下，若．①求证：；②求的值．08圆大题综合1．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足．(1)求证：为切线；(2)若，求的长（结果保留）．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而得到，得到，即可得证；（2）连接，圆周角定理，得到，利用弧长公式进行计算即可得出结果．【详解】（1）解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，又为的半径，∴为切线；（2）解：连接，∵，∴，∵，∴，∴的长．【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及求弧长．熟练掌握圆周角定理，以及弧长公式是解题的关键．2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图，直线经过上的点M，并且，交于点N．(1)求证：直线是的切线；(2)当时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质与判定推出，即可证明结论；（2）连接，根据直角三角形的性质和圆的基本性质得出是等边三角形，从而得到，即可求解．【详解】（1）连接，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，又点M在上，∴直线是的切线；（2）连接，∵，∴，又，∴是等边三角形，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的性质，圆的切线证明，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．3．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，作于点，连接，若，求：(1)的度数．(2)若的半径为2，求的长．【答案】(1)；(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质可得结论；（2）证明，根据相似三角形的性质可得出结论．【详解】（1）连接，∵切于点，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）∵，，且，∴∵，∴．∴．∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．4．（2023·浙江·模拟预测）如图，以等腰的底边为直径作半圆，交、于点D、E．(1)证明：；(2)若，，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接，，证明，，可得，从而可得结论；（2）如图，连接，，，过作于，证明为等边三角形，，而，，为等边三角形，分别求解，，，同理可得：，从而可得答案．【详解】（1）解：如图，连接，，∵，∴，∵为的直径，∴，∴，∴．（2）如图，连接，，，过作于，∵，，，∴为等边三角形，，而，∴，，∴，为等边三角形，∴，，，∴，，同理可得：，∴，，，同理可得：，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用等边三角形的性质解题是关键．5．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，半径为2，弦，A是弦所对优弧上的一个点，连接并延长交点M，连接，过点B作，垂足为E．(1)求证：．(2)过点A作，分别交，于点H，D．求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据为的直径得到，再根据即可证明；（2）先根据，得到，，从而得到，再证明得到，最后通过勾股定理计算出即可得答案．【详解】（1）证明：由题意得为的直径，∴，∴∵，∴；（2）解：如下图所示，连接，延长交于点N，连接∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是直径，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是结合圆周角定理证得．6．（2023·浙江宁波·统考一模）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图1，的外接圆的圆心是点O，点D是弧的中点，画一条弦把分成面积相等的两部分；(2)如图2，是的内接三角形，且，过点B画弦；(3)如图3，是的内接三角形，弦，画的平分线交于点E．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）连接交于点F，连接，并延长交于点E，问题得解；（2）连接并延长交于点D，连接，问题得解；（3）连接交于点N，连接，并延长交于点F，连接交于点E，问题得解．【详解】（1）如图，连接交于点F，连接，并延长交于点E，即弦即为所求；证明∵点D是弧的中点，∴，∴，∴；（2）如图，连接并延长交于点D，连接，即弦即为所求；证明：连接，如图，∵，，∴垂直平分，∴，∵是的直径，∴，∴，∴；（3）如图，连接交于点N，连接，并延长交于点F，连接交于点E，即平分；∵，∴，∵，∴，∴，根据（2）中方法可证明垂直平分，∴，∴，∴平分．【点睛】本题主要考查作图，运用了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，掌握垂径定理是解答本题的关键．7．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，为的直径，为上一点，作的平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据题意，，，为的直径，，是圆周角，是圆心角，所对弧相同，根据圆周角定理即可求解；（2）如图2，过点作于点，连接，可证四边形是矩形，再证，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：如图1，连接，∵是的切线，∴，，∵为的直径，∴，∵平分，∴，∵是圆周角，是圆心角，所对弧相同，∴，∴，∴．（2）解：如图2，过点作于点，连接，∵，，，∴，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的性质，圆的基础知识，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2023·浙江温州·统考二模）如图，已知是的直径，，弦与交于点F，过点D，A分别作的切线交于点P，与延长线交于点E．(1)求证：．(2)若，且，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）如图，连接，由题意知，则，由，可得，由，可知，则，由，可得，结论得证；（2）由，可知，设，则，，，由，可知，则，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的值为1，则，，，，由，即，计算求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，∵切于，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，设，则，，，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，解得（舍去），，∴，，∴，，∵，即，解得，∴的长为6．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．9．（2023·浙江台州·统考一模）如图，内接于半圆，已知是半圆的直径．，平分，分别交半圆和于点，过点作，垂足为点，交于点．(1)求证：；(2)连接交于点，若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于得到，再根据垂直定义得到及角平分线即可得到即可解答；（2）根据直角三角形的性质及等边对等角即可得到，再利用垂直平分线的定义及等边三角形的判定即可得到是等边三角形，最后利用弧长公式即可解答．【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴点是的中点，∴垂直平分，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴的长为:，【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，垂直平分线的定义，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式，掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．10．（2023·浙江杭州·统考一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点．(1)求证：．(2)若，求的长．(3)连结，如图2，求证：．【答案】(1)见解析(2)的长为(3)见解析【分析】（1）由为的直径，于点得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；（2）连接，由（1）得：，，从而得到，则，设，则，在中，，即，即可得到答案；（3）连接交于，则，通过证明，得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由，即可得到答案．【详解】（1）证明：为的直径，于点，，，，，即，；（2）解：如图所示：连接，，由（1）得：，，，为的直径，于点，，设，则，在中，，即，解得：，的长为；（3）解：如图所示：连接交于，，，，在和中，，，，，为半径，，，，．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．11．（2023·浙江·模拟预测）如图，锐角三角形内接于，，点D平分，连接，，．(1)求证：．(2)过点D作，分别交于点E，F，交于点G．①若，，求线段的长（用含a，b的代数式表示）．②若，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【分析】（1）由点D平分，可得，则，由，可得，则，进而结论得证；（2）证明四边形是菱形，则，，证明，则，即，求解即可；②由，可得，，由，可得，证明，则，即，如图，连接，，说明，则，进而结论得证．【详解】（1）证明：∵点D平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①解：由（1）可知，，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴线段的长为；②证明：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，如图，连接，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．（2023·浙江丽水·统考一模）如图，为矩形的对角线，点在上，连接，是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点，点恰好是的中点，连接，分别交，于点，，连接．(1)求证：．(2)求证：四边形是菱形．(3)若恰好是的中点时，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）利用矩形的性质得到是圆的直径，再利用垂径定理即可得到；（2）利用垂径定理得到垂直平分，再利用平行线的判定及矩形的性质得到四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可解答；（3）利用相似三角形的判定得到，，再利用相似三角形的性质得到即可解答．【详解】（1）证明：在矩形中，，，∴，是圆的直径，∵点是的中点，∴，∴，∴，∴．（2）证明：∵，是圆的直径，∴垂直平分，∴，∴∵，∴，∴∵，∴四边形是平行四边形，∴是菱形．（3）连接，设．∵，，∴∵，∴，∴，∵恰好是的中点，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵点是的中点，是菱形，∴，∵，∴∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，垂径定理，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．13．（2023·浙江温州·统考一模）如图，点O在的斜边上，半圆O切于点D，切于点E，连结，Q为线段上一点，交于点P，已知，，设，．(1)求半圆O的半径和的长．(2)若点Q在线段上．①求y关于x的函数表达式．②在上取点F（不与点O重合），连结，当为等腰直角三角形时，求所有满足条件x的值．(3)当经过的中点G时，求的长．【答案】(1)半径为2，的长(2)①；②或(3)【分析】（1）根据勾股定理先求出的长，再证得四边形是正方形，然后设半圆O的半径为r，则，，再根据，即可求解；（2）①根据题意可得，再由，即可求解；②根据，可得，然后分两种情况：当等腰直角的腰为时；当等腰直角的腰为时，即可求解；（3），可得，连接，先证得点G在上，然后过点G作于点N，设交于点R，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由，可得，再根据，可得，从而得到，可求出x的值，从而得到的长度，即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵半圆O切于点D，切于点E，∴，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，设半圆O的半径为r，则，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即半圆O的半径为2，的长；（2）解：①由（1）得：，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即y关于x的函数表达式为；②由①得：，∴，即，∴，当等腰直角的腰为时，，则，∴，∴，即，∴，∴，解得：；当等腰直角的腰为时，，，过点P作，则，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，解得：，综上所述，满足条件的x的值为或；（3）解：根据题意得：，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，如图，连接，∵点G为的中点，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴点G在上，过点G作于点N，设交于点R，∴是等腰直角三角形，∴，由（1）得：，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，解得：，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识是解题的关键，是中考的压轴题．14．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，四边形内接于，，为直径，为上一动点，连接交于点，交于点，连接．(1)设∠为，请用表示的度数．(2)如图1，当时，①求证：．②当，时，求半径的长．(3)如图2，当过圆心时，设，，求关于的函数表达式．【答案】(1)(2)①证明见解析，②(3)【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而证明，根据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出，即可求解．（2）①连接．证明，，根据全等三角形的性质即可求解；②过点作，垂足为．根据，同弧所对的圆周角相等得出，则，，进而求得，，．由可得，由勾股定理得．（3）连接交于点．得出为的中位线，可得，得出，根据，则，令，则，，继而求得，即可求解．【详解】（1）为直径，，又，，．，，．（2）①连接．，，，，，．，，又，，，，，．②过点作，垂足为．，，，，，，．由，得．．，，∵∴．由勾股定理得．（3）解：如图所示，连接交于点，，，，为直径，．为中点．为的中位线，，．，，，．，，令，则，，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，求函数表达式，综合运用以上知识是解题的关键．15．（2023·浙江宁波·统考一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．【答案】[教材呈现]：面积相等，理由见解析；[基础巩固]：；[尝试应用]：；[拓展提高]：6【分析】[教材呈现]根据平行线与三角形的面积公式解答即可；[基础巩固]连接，设的半径为，利用正方形的性质得，根据三角形面积公式得，同理，，可得即可求出阴影面积与圆面积的比；[尝试应用]连接，过点O作于点H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，从而可得，利用勾股定理求出，最后求得结果；[拓展提高]连接，先由垂径定理得出，，从而可得，设，则，由勾股定理求出的长，最后求得结果．【详解】∵，，，同底等高∴[基础巩固]连接∵∴同理，∴∴阴影面积与圆面积的比为；[尝试应用]连接，过点O作于点H∵∴∴∴∵∴∴∴，∴，，，∴[拓展提高]连接∵为直径，于点P∴，又∵∴∴，∴，设，则∵∴∴，∵∴∴∴∴∴，在中，，设半径为r，则解得∴的半径为6【点睛】此题考查的是平行线的性质及三角形的面积公式，垂径定理、弧、弦、圆心角的关系及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．16．（2023·浙江台州·统考一模）如图1，已知内接于，为的直径，，，点是半圆上的一个动点，过点作交直径于点．(1)求证：；(2)如图2，连接交于点，若，求；(3)如图3，连接交于点，若，①求的长；②直接写出的值为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①2；②【分析】（1）延长交于点，根据平行弦的性质得出，进而得出，进而即可求解；（2）延长交于点，根据为的直径，，，得出，进而根据弧的关系，证明，即可求解；（3）①证明，即可求解；②勾股定理求得，证明，得出，证明，求得，进而求得，即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，延长交于点，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，延长交于点，∵为的直径，，，∴，设，则∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）①由（1）可知，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；②∵∴∵，∴∵∴∴∴∴∵∴∴∴解得：∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理平行弦问题，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，已知正切求边长，求余弦，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，等腰内接于，其中，点在上运动，，分别交、于点、，交于点．(1)求证：．(2)连结，当为的直径时，①求证：．②连结，若∥，求的值．③连结，设，，请直接写出关于的函数表达式．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②；③【分析】（1）证明即可；（2）①利用圆周角定理证明，进而证明，则可得，即可得证；②利用圆周角定理，平行线的性质等证明，，再证明，得出，进而得出，可求出，即可求；③连结，令，利用圆周角定理和三角形外角的性质可得，再证明得出，从而得出，利用等角对等边得出，设设，，可求，，利用勾股定理可求，再证明，得出即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，即；（2）解：①证明∵为直径，∴∵由（1）知，∴，∴，∴②连结．∵，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴③过程如下：连结，令，∵，∴，∴∵为直径，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，设，，∴，∵，∴，∴为直径，∴，在中：∵，∴，∵为直径，∴，∴，又，∴∴，即．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适的辅助线找出所求问题需要的条件是解题的关键．18．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，的直径垂直弦于点E，点P为上的一点，连接并延长交于点Q，连接，过点P画交的延长线于点F．若的直径为10，．(1)求的长；(2)如图2，当时，求的正切值；(3)如图1，设．①求y关于x的函数解析式；②若，求y的值．【答案】(1)8(2)(3)①；②【分析】（1）连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解；（2）连接．得到是的直径，．在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解；（3）①证明，利用相似三角形的性质即可求解；②证明和，推出，，求得，得到；过点P作于点H，在中，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）解：如图，连接．∵直径，∴，．∴，即，∴．∴；（2）解：如图，连接．∵，∴是的直径，∴．在中，，∴；（3）解：①如图，连接．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，∴．∴．∴；②如图，连接．∵，∴．①∵．∴，∴，②①②得，．∵，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．连接，∵是直径，∴．∴．过点P作于点H，，∴，∴．在中，，∴．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．19．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作交于点E，的延长线与的延长线交于点F．(1)求证：是的切线．(2)若．①求的值．②当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)①；②【详解】（1）解：（1）如图，连结．．．．为的半径，是的切线．（2）解：①连结．由（1）得，．是的直径，．．，．．．．．．．②由①得，．，．．即．．【点睛】本题考查了切线的证明，相似三角形的性质与判定，锐角三角比等知识点，正确辅助线的添加是解题关键．20．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在中，，点D在上，，动点Q从A点出发沿线段以每秒1单位的速度运动，过点Q作，交射线于点P，点P关于点D的对称点为，以为边在上方作正方形，设点Q运动的时间为t秒．(1)当点P在线段上时，求的长（用t的代数式表示）．(2)当正方形的顶点F或E刚好落在的的边上时，求t的值．(3)以为直径作，当与的边所在的直线相切时，请求出所有满足条件的t的值．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）在中，由勾股定理得，则，在中，即，解得，根据，求解即可；（2）由题意知，分在之间和在点右侧两种情况求解：①当在之间时，如图1，刚好落在的的边上，由题意知，，即，解得，由正方形的性质可得，由，可得，计算求解即可；②当在点右侧时，如图2，刚好落在的的边上，由题意知，，，则，由正方形的性质可得，，由，即，计算求解满足要求的值即可；（3）由题意知，分情况求解：①当P点在线段之间，如图3，与相切于点，连接，连接并延长交于，则四边形是矩形，，，解得，，，，解得，根据，即，求出值即可；②当P点在之间时，如图4，与相切于点E，此时与B重合，则，即，求出值即可；③当P点在右侧，如图5，与相切于点F，此时P与B重合，，即，求出值即可；④当P点在线段的延长线，如图6，与相切于点，连接，连接并延长交于，则四边形是矩形，，由题意知，则，同①可知，，，根据，即，求出值即可．【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，∴，由题意知，在中，即，解得，∴，∴；（2）解：由题意知，分在之间和在点右侧两种情况求解：①当在之间时，如图1，刚好落在的的边上，由题意知，，即，解得，∵正方形，∴，∵，∴，解得，∴时，刚好落在的的边上；②当在点右侧时，如图2，刚好落在的的边上，由题意知，，，则，∵正方形，∴，，∵，即，解得，经检验，是分式方程的解，∴时，刚好落在的的边上；综上所述，或时，正方形的顶点F或E刚好落在的的边上；（3）解：由题意知，分情况求解：①当P点在线段之间，如图3，与相切于点，连接，连接并延长交于，则四边形是矩形，，由题意知，，，∵，∴，解得，∵，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，解得，∴时，与的边所在的直线相切；②当P点在之间时，如图4，与相切于点E，此时与B重合，∴，即，解得，∴时，与的边所在的直线相切；③当P点在右侧，如图5，与相切于点F，此时P与B重合，，∴，解得，∴时，与的边所在的直线相切；④当P点在线段的延长线，如图6，与相切于点，连接，连接并延长交于，则四边形是矩形，，由题意知，则，同①可知，，，∵，∴，解得，∴时，与的边所在的直线相切；综上所述，的值为或或或时，与的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了正切、余弦，正方形的性质，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．21．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图1，已知AB是半圆O的直径，半径，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连接AC，作射线CD于点E．(1)猜想的度数，并说明理由(2)连接，若，求证：．(3)如图2，作正方形，连接交于点G．若，，求的长．【答案】(1)，理由见解析；(2)见解析(3)．【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，推出，再根据圆内接四边形的性质以及邻补角的定义即可求解；（2）证明是等腰直角三角形，推出，再证明，利用圆心角、弦的关系即可证明；（3）连接，证明是线段的垂直平分线，设，得到，，，利用正方形的性质求得，，证明B、E、F、C四点共圆，推出，利用勾股定理列式计算求得a的值，据此计算即可求解．【详解】（1）解：，理由如下，∵半径，且，∴是等腰直角三角形，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，∴；（2）证明：如图，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵半径，，∴，∴；（3）解：连接，由（2）得是等腰直角三角形，∴，又∵，∴是线段的垂直平分线，∴，设，∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴B、E、F、C四点共圆，∴，∴，∴，即，整理得，∴(负值已舍)，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．22．（2023·浙江宁波·统考二模）已知：如图1，内接于，直径交于点E，满足．(1)若，求的度数．(2)求证：．(3)连结．①如图2，若，，求的值．②如图3，过点A作于点H，若长为1，，长为y，求y关于x的函数关系式．【答案】(1)(2)见解析(3)①；②【分析】（1）连结，由是的直径得到，由，在中，，即可得到打答案；（2）设的度数为m，则，再证明，即可得到结论；（3）①如图，连结，设的半径为r，证明，则，得到，解得，由勾股定理逆定理可得，即为直角三角形，，则垂直平分，则为正三角形，得到平分，求出，即可得到答案；②连结，作等腰三角形，使得F点落在上，证明，则，在中，由，得到，进一步得到，由，即，即可得到y关于x的函数关系式．【详解】（1）解：连结，∵是的直径，∴，∵，，在中，，；（2）设的度数为m，则，，，在中，由三角形内角和得，，，；（3）①如图，连结，设的半径为r，∵，∴是等腰三角形，∵内接于，∴所在直线垂直平分，∴平分，，，，，又，，，，，，解得，，由勾股定理逆定理可得，即为直角三角形，，垂直平分，∴，∴为正三角形，∵平分，，；②连结，作等腰三角形，使得F点落在上，，，，，，，，又，，，，在中，，，，，即，，∴，即，【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆周角定理、圆内接四边形的性质、勾股定理及其逆定理、函数关系式等知识，综合性较强，难度稍大，添加适当的辅助线是解题的关键．23．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连结，．(1)求证：．(2)求证：．(3)如图2，弦平分交于点．①若点为的中点，，求的长．②设，，求关于的函数表达式．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①；②【分析】（1）连结，根据切线的性质得出，根据直径所对圆周角是直角，得出，等量代换