2023年北京市初三一模数学试题汇编：几何综合（第27题）

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编几何综合（第27题）一、解答题1.（2023·北京西城·统考一模）如图，直线AB，CD交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线OA，OC上的点，且ME=NE.（1）求证：；（2）点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF=EG，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明.2.（2023·北京朝阳·统考一模）如图，∠MON=α，点A在ON上，过点A作OM的平行线，与∠MON的平分线交于点B，点C在OB上（不与点O，B重合），连接AC，将线段AC绕点A顺时针旋转180°-α，得到线段AD，连接BD.（1）直接写出线段AO与AB之间的数量关系，并证明∠MOB=∠DBA；（2）连接DC并延长，分别交AB，OM于点E，F.若α=60°，用等式表示线段EF与AC之间的数量关系，并证明.3.（2023·北京海淀·统考一模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于点G.（1）求∠AGF的度数；（2）在线段AG上截取MG=BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N.①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明.备用图4.（2023·北京房山·统考一模）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接DG.（1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明；（2）若DG=DF，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明.5.（2023·北京丰台·统考一模）在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF=EB.（1）如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，①求证：∠AFE=∠ABE；②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明；（2）如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系.图1图26．（2023·北京门头沟·统考一模）已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时，①依题意补全图1；②求证：；（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．7．（2023·北京顺义·统考一模）已知：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB边上，点A关于直线CD的对称点为E，射线BE交直线CD于点F，连接AF．（1）设∠ACD=α，用含α的代数式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度数；（2）用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．8．（2023·北京通州·统考一模）直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线上一点，连接．以为斜边作等腰直角，连接．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2所示，点E是直线上一点，且，连接，延长至点F，使得，连接．根据题意补全图2，写出线段之间的关系，并证明．9.（2023·北京延庆·统考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE=AF；②直接写出∠CAG=°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．图1图210．（2023·北京燕山·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE，交直线CE于点F．(1)依题意补全图形；用等式表示线段CE与BF的数量关系，并证明；(2)点G为AB中点，连接FG，用等式表示线段

参考答案1．（1）证明：作EH⊥CD，EK⊥AB，垂足分别是H，K，如图1．∵OE是∠BOC的平分线，∴EH＝EK．∵ME＝NE，∴Rt△EHN≌Rt△EKM．图1∴∠ENH＝∠EMK图1记ME与OC的交点为P，∴∠EPN＝∠OPM．∴∠MEN＝∠AOC． 3分（2）OM＝NF＋OG．证明：在线段OM上截取OG1＝OG，连接EG1，如图2．∵OE是∠BOC的平分线，∴∠EON＝∠EOB．∵∠MOF＝∠DOB，∴∠EOM＝∠EOD．图2∵OE=OE图2∴△EOG1≌△EOG．∴EG1=EG，∠EG1O=∠EGF．∵EF＝EG，∴EF=EG1，∠EFG=∠EGF．∴∠EFG=∠EG1O．∴∠EFN=∠EG1M．∵∠ENF=∠EMG1．∴△ENF≌△EMG1．∴NF＝MG1．∵OM＝MG1＋OG1，∴OM＝NF＋OG． 7分2．解：（1）AO=AB.证明：∵OB平分∠MON，∴∠MOB=∠NOB.∵OM//AB，∴∠MOB=∠ABO.∴∠NOB=∠ABO.∴AO=AB.根据题意，得AC=AD，∠OAB=∠CAD.∴∠CAO=∠DAB.∴△OAC≌△BAD.∴∠COA=∠DBA.∴∠MOB=∠DBA.（2）.证明：如图，在OM上截取OH=BE，连接CH.∵△OAC≌△BAD，∴OC=BD.又OH=BE，∴△OHC≌△BED.∴CH=DE，∠OHC=∠BED，∵OM//AB，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK⊥CD于点K.∵AC=AD，∴∠ACK=30°，∴∴.∴.3.（本题满分7分）（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°.又∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）.………1分∴∠BAE=∠FBC.∵∠FBC+∠ABG=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°.∴∠AGF=90°.…………………2分（2）①依题意补全图形.…………………3分②线段MN与ND的数量关系为MN=ND.…………………4分证明：过点A作AH⊥AE交GN延长线于点H，连接DH.∵∠AGF=90°，GN平分∠AGF，∴∠AGN=∠AGF=45°.∵AH⊥AE，∴∠GAH=90°.∴∠AHG=∠AGH=45°.∴AG=AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD.∵∠GAH=90°，∴∠BAG=∠DAH.∴△BAG≌△DAH（SAS）.∴BG=DH，∠AHD=∠AGB=90°.∵BG=GM，∠AHG=45°，∴GM=DH，∠DHN=∠NGM=45°.∵∠HND=∠GNM，∴△HND≌△GNM（AAS）.∴MN=ND.……………7分4.（1）补完图形如下：……1分∠ADG=∠CDG.……2分证明：如图，连接AG、CG∵∠EAF=90°，点G是EF中点，∴AG=EF∵正方形ABCD，∠ECF=90°，∴CG=EF∴AG=CG……3分∵AD=CD，DG=DG∴△ADG≌△CDG∴∠CDG=∠ADG……4分（2）BC=3BE……5分过点G作GH⊥CD于点H，易证GH是△CEF的中位线，∴CE=2GH.……6分易证△GDH是等腰直角三角形，∴DG=GH.又∵DG=DF，∴DF=GH.易证△ADF≌△ABE∴DF=BE，∴BE=GH.∵CE=2GH，∴CE=2BE∴BC=3BE……7分（其它证法酌情给分）5.（1）①证明：连接DE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°.∵点E在对角线AC上，∴∠BAC=∠DAC=45°.∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE.∴BE=DE,∠ABE=∠ADE.∵EF=BE,∴DE=EF.∴∠F=∠ADE.∴∠F=∠ABE.……2分②AB=AF+AE;……3分证明：过点E作EG⊥AE交AB于点G.∴∠AEG=90°.∵∠BAE=45°，∴∠AGE=∠BAE=45°.∴AG=AE,∠EGB=135°.∵∠FAE=∠FAB+∠BAE=135°,∴∠EGB=∠FAE.∵∠F=∠ABE,EF=EB,∴△AEF≌△GEB.∴BG=AF.∴AB=BG+GA=AF+AE.……5分（2）正确补全图形；AB+AF=AE.……7分6．（本小题满分7分）解：（1）①图1；……………1分②∵正方形ABCD，∴BC=DC，∠BCD=90°.……2分∵线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，∴CE=CF，∠ECF=90°.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD=90°.∴∠BCE=∠DCF.……………3分图1∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.…………4分（2）猜想：AE=2DM.证明：如图2，延长AD到N，使得DN=AD.∵M是AF中点，∴NF=2DM.………5分∵由（1）得△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC，EB=FD.又∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°.∵DN=AD，∠ADC+∠CDN=180°，∴AB=DN，∠CDN=90°.∴，图2即：∠ABE=∠NDF.∴△ABE≌△NDF.……………6分∴AE=NF.∴AE=2DM.……………………7分7．（1）解：∵A、E关于直线CD对称，∴∠ACF=∠ECF=α，AC=CE．∵∠ACB=90°，∴∠BCE=90°-2α．……………1分∵AC=CE，∴CB=CE．∴∠CBF=∠CEB=(180°-∠BCE)=45°+α．……2分∠CFB=∠CEB-∠ECF=45°+α-α=45°．……3分（2）线段AF，CF，BF之间的数量关系AF+BF=CF．………………4分证明：过C作MC⊥CF于C交FA的延长线于点M．∵A、E关于FC对称∴∠AFC=∠CFE=45°．∵MC⊥CF∴∠M=∠AFC=45°．∴MC=FC．∵∠ACB=∠MCF=90°∴∠MCA=∠BCF．又∵AC=BC∴△MCA≌△FCB．∴MA=FB．∴MF=AF+MA=AF+BF．∵MC=FC，∠MCF=90°∴MF=FC．∴AF+BF=FC．……………………7分8.暂缺9．（本小题满分7分）（1）①证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°．∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=∠CAD=45°．∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE．∵∠AFE=∠CAD+∠ACE，∠AEF=∠B+∠BCE．∴∠AFE=∠AEF．…………3分…………2分∴…………3分…………2分②∠CAG=45°．（2）依题意补全图形．数量关系：AC=AF+AG．证明：过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M．∵∠CAD=45°，∴∠M=45°．∴CA=CM．∴AM=AC