专题08二次根式乘除(九大类型)(题型专练)(原卷版+解析)

专题08二次根式乘除（九大类型）【题型1：求字母的取值范围】【题型2：二次根式乘除的运算】【题型3：二次根式符号的化简】【题型4：最简二次根式的判断】【题型5：化简最简二次根式】【题型6：已知最简二次根式求参数】【题型7：分母有理化】【题型8：比较二次根式的大小】【题型9：分母有理化的应用】【题型1：求字母的取值范围】1．（2023春•单县期末）能使等式＝成立的条件是（）A．x＞0 B．x≥3 C．x≥0 D．x＞32．（2022秋•宁德期末）若，则（）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数3．（2023春•张北县校级期中）式子成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．﹣1≤x≤1 D．﹣1＜x＜1【题型2：二次根式乘除的运算】4．（2023春•铁西区期末）计算：．5．（2023春•船营区期末）计算：．6．（2023春•高安市期中）计算：．7．（2023春•高要区期末）计算：．8．（2023春•丰台区期末）计算：．9．（2023春•密云区期末）计算：2．10．（2023春•桐柏县期中）计算：．11．（2023春•永吉县期中）计算：．12．（2023春•安达市校级月考）计算：（1）；（2）﹣5××3．13．（2023春•上海期中）计算：4×．14．（2023春•黄浦区期中）×4÷【题型3：二次根式符号的化简】15．（2022秋•奉贤区校级期中）计算：．16．（2022秋•虹口区校级期中）计算：3•÷（﹣）．17．（2022秋•闵行区校级期中）计算：2x÷3•18．（2022秋•浦东新区校级月考）化简：+（其中x＞0）．19．（2022秋•黄浦区期中）计算：×（）÷（）（m＞0）．20．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：•+．21．（2022秋•浦东新区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）22．（2022秋•虹口区校级月考）化简：•÷．【题型4：最简二次根式的判断】23．（2023春•阳泉期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．24．（2023春•廊坊期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．25．（2023春•自贡期末）下列各式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．26．（2023春•梁山县期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【题型5：化简最简二次根式】27．（2023•滨海县模拟）把化为最简二次根式为．【题型6：已知最简二次根式求参数】28．（2023春•同江市期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝．29．（2023春•虞城县期末）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是．30．（2023•淄川区二模）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是．31．（2023•商丘二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是．32．（2022春•泰兴市期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝．33．（2022秋•南关区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝．34．（2021•江油市一模）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a＝．【题型7：分母有理化】35．（2023春•郯城县期末）化成最简二次根式：＝．36．（2023春•福山区期中）将化为最简二次根式为．37．（2022秋•济南期末）化简的结果是．38．（2023春•双鸭山期中）计算：＝．39．（2023春•老河口市期中）化简：＝．40．（2022秋•南安市期末）化简：＝．41．（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．42．（2022春•沂水县期中）计算的结果是．43．（2022春•灵宝市校级月考）计算：+＝．【题型8：比较二次根式的大小】44．计算：（1）比较﹣和﹣的大小；（2）求y＝﹣+3的最大值．45．观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（﹣1）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1……（1）观察以上规律，请写出第n个等式：（n为正整数）．（2）利用上面的规律，计算：+++…+（3）请利用上面的规律，比较﹣与﹣的大小．46．观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1…（1）观察上面规律，计算下面的式子+++…+（2）利用上面的规律比较﹣与﹣的大小．【题型9：分母有理化的应用】47．（2023春•惠城区校级期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题．观察下列等式：；；直接写出以下算式的结果：＝；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：，，再根据平方根的定义可得，，，直接写出以下算式的结果：＝；（3）数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：．48．（2022秋•肃州区期末）阅读下列解题过程：＝＝＝＝＝＝；…则：（1）＝；＝；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝；（3）利用这一规律计算：（+++…+）（）的值．49．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．50．（2022春•平原县校级月考）观察下列等式：①＝+1；②＝+；③＝+；…，（1）请用字母表示你所发现的律：即＝﹣．（n为正整数）（2）化简计算：+++…+．51．（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；＝＝＝2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．52．（2022春•龙凤区期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么＝m±n例如：化简解：±1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．

专题08二次根式乘除（九大类型）【题型1：求字母的取值范围】【题型2：二次根式乘除的运算】【题型3：二次根式符号的化简】【题型4：最简二次根式的判断】【题型5：化简最简二次根式】【题型6：已知最简二次根式求参数】【题型7：分母有理化】【题型8：比较二次根式的大小】【题型9：分母有理化的应用】【题型1：求字母的取值范围】1．（2023春•单县期末）能使等式＝成立的条件是（）A．x＞0 B．x≥3 C．x≥0 D．x＞3【答案】D【解答】解：由题意由①得x≥0，由②得x＞3，∴不等式组的解集为x＞3．故选：D．2．（2022秋•宁德期末）若，则（）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数【答案】A【解答】解：若成立，则，解之得x≥6；故选：A．3．（2023春•张北县校级期中）式子成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．﹣1≤x≤1 D．﹣1＜x＜1【答案】A【解答】解：∵，∴，解得：x≥1，故选：A．【题型2：二次根式乘除的运算】4．（2023春•铁西区期末）计算：．【答案】．【解答】解：．5．（2023春•船营区期末）计算：．【答案】．【解答】解：＝＝＝＝．6．（2023春•高安市期中）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝×＝．7．（2023春•高要区期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝3×5×＝15．8．（2023春•丰台区期末）计算：．【答案】．【解答】解：＝×＝．9．（2023春•密云区期末）计算：2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝2××＝××＝6．10．（2023春•桐柏县期中）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝＝＝×2a＝．11．（2023春•永吉县期中）计算：．【答案】10．【解答】解：×÷＝＝＝＝10．12．（2023春•安达市校级月考）计算：（1）；（2）﹣5××3．【答案】（1）20；（2）﹣．【解答】解：（1）原式＝＝＝4×5＝20；（2）原式＝﹣15×＝﹣15×＝﹣15×＝﹣．13．（2023春•上海期中）计算：4×．【答案】．【解答】解：原式＝2××÷3＝÷3＝÷3＝．14．（2023春•黄浦区期中）×4÷【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝×4××＝3＝18．【题型3：二次根式符号的化简】15．（2022秋•奉贤区校级期中）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝＝＝．16．（2022秋•虹口区校级期中）计算：3•÷（﹣）．【答案】﹣2y．【解答】解：原式＝（﹣3××）•＝﹣2•＝﹣2y．17．（2022秋•闵行区校级期中）计算：2x÷3•【答案】．【解答】解：原式＝×＝×＝．18．（2022秋•浦东新区校级月考）化简：+（其中x＞0）．【答案】9x2y+x．【解答】解：原式＝9x2y+4x＝9x2y+x．19．（2022秋•黄浦区期中）计算：×（）÷（）（m＞0）．【答案】9n2．【解答】解：原式＝××3×＝＝9n2．20．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：•+．【答案】﹣+．【解答】解：原式＝•（﹣4••）+＝﹣+．21．（2022秋•浦东新区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【答案】见试题解答内容【解答】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．22．（2022秋•虹口区校级月考）化简：•÷．【答案】8x2y．【解答】解：∵﹣＞0，﹣＞0，＞0，∴x＜0，y＜0，原式＝（÷＝﹣×6＝﹣8|x2|•|y|．＝﹣8x2•（﹣y）＝8x2y．【题型4：最简二次根式的判断】23．（2023春•阳泉期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、＝4，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、＝＝，故C不符合题意；D、＝，故D不符合题意；故选：B．24．（2023春•廊坊期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意；B．被开放数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．12＝3×22，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．25．（2023春•自贡期末）下列各式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A.＝2，因此选项A不符合题意；B.＝m2n，因此选项B不符合题意；C.是最简二次根式，因此选项C符合题意；D.＝，因此选项D不符合题意；故选：C．26．（2023春•梁山县期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．【题型5：化简最简二次根式】27．（2023•滨海县模拟）把化为最简二次根式为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝＝2．故答案为：2．【题型6：已知最简二次根式求参数】28．（2023春•同江市期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝8．【答案】8．【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式相等，∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，解得：n＝3，m＝5，∴m+n＝8，故答案为：8．29．（2023春•虞城县期末）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是1（答案不唯一）．【答案】1（答案不唯一）．【解答】解：当n＝1时，＝，是最简二次根式，故答案为：1（答案不唯一）．30．（2023•淄川区二模）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵二次根式是最简二次根式，∴2x+7＞0，∴2x＞﹣7，∴x＞﹣3.5，∵x取整数值，当x＝﹣3时，二次根式为＝1，不是最简二次根式，不合题意；当x＝﹣2时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；∴若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．故答案为：﹣2．31．（2023•商丘二模）写出一个实数x，使是最简二次根式，则x可以是5（答案为不唯一）．【答案】5（答案为不唯一）．【解答】解：当x＝5时，＝是最简二次根式，故答案为：5（答案不唯一）．32．（2022春•泰兴市期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝8．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意，得：解得：，∴a+b＝8．33．（2022秋•南关区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝2．【答案】2．【解答】解：＝＝2，则m+1＝3，解得：m＝2，故答案为：2．34．（2021•江油市一模）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a＝2，故答案为：2．【题型7：分母有理化】35．（2023春•郯城县期末）化成最简二次根式：＝．【答案】．【解答】解：，故答案为：．36．（2023春•福山区期中）将化为最简二次根式为．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．37．（2022秋•济南期末）化简的结果是．【答案】．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．38．（2023春•双鸭山期中）计算：＝．【答案】．【解答】解：，故答案为：．39．（2023春•老河口市期中）化简：＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．40．（2022秋•南安市期末）化简：＝2+．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝＝2+，故答案为：2+．41．（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝＝．故答案为：．42．（2022春•沂水县期中）计算的结果是+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝（2+）÷＝+1．故答案为：+1．43．（2022春•灵宝市校级月考）计算：+＝2+2．【答案】2+2．【解答】解：+＝2×＝2（+1）＝2+2，故答案为：2+2．【题型8：比较二次根式的大小】44．计算：（1）比较﹣和﹣的大小；（2）求y＝﹣+3的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵＝，＝，且，∴，∴＜；（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y＝﹣+3＝，∴当x＝1时，分母有小值，∴y＝﹣+3的最大值为3+．45．观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（﹣1）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1……（1）观察以上规律，请写出第n个等式：（+）（﹣）＝1（n为正整数）．（2）利用上面的规律，计算：+++…+（3）请利用上面的规律，比较﹣与﹣的大小．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：第n个等式为（+）（﹣）＝1；故答案为：（+）（﹣）＝1；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9；（3）﹣＝，﹣＝，∵＜，∴﹣＞﹣．46．观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1…（1）观察上面规律，计算下面的式子+++…+（2）利用上面的规律比较﹣与﹣的大小．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）＝+…+（）＝＝＝10﹣1＝9；（2）∵＝，＝，又∵，∴，即＞．【题型9：分母有理化的应用】47．（2023春•惠城区校级期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题．观察下列等式：；；直接写出以下算式的结果：＝；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：，，再根据平方根的定义可得，，，直接写出以下算式的结果：＝；（3）数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：．【答案】（1）；（2）；（3）10．【解答】解：（1），故答案为：．（2），故答案为：．（3）＝＝（﹣1）（﹣1）＝10．48．（2022秋•肃州区期末）阅读下列解题过程：＝＝＝＝＝＝；…则：（1）＝﹣3；＝10﹣3；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝+；（3）利用这一规律计算：（+++…+）（）的值．