第二十四章圆(压轴题专练)(原卷版+解析)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练(人教版)

第二十三章旋转（压轴题专练）一、填空题1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、，分别将线段、绕点A顺时针旋转到、，连接、、、，下列结论：①点在上；②；③；④当时，与相切．正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2023春·重庆开州·八年级统考期末）如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（

）

A．20 B．22 C．24 D．263．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（）A． B． C． D．4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．5．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（

）

A． B． C． D．6．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为（

）

A． B． C． D．二、填空题7．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为米．

8．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

9．（2023·上海·统考中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．10．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P是上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接，当点P在弧上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长．11．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是；（2）如图②，若连结，，分别取、的中点P、Q，连接，M为的中点，则CM的最小值为．

12．（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）如图，矩形，E为中点，F为直线上动点，点B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，，则的最小值是．

三、解答题13．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接．

(1)探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上；(2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；(3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______．14．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P．（1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为；（2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为．15．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）如图1，等圆与相交于C，M两点，经过的圆心，直线交于点A，交于点B，连接．

(1)求证：为的切线；为的切线；(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由；(3)如图2，当点H为线段上的点，点E为延长线上的点，直线交于点D，直线交于点F．若，探求是否为定值；(4)如图3，当H为延长线上的点，E为线段上的点，其它条件不变，则（3）中的结论是否仍然成立？请说明理由．要求帮小明完成探究．

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．17．（2023·河北廊坊·校考三模）在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．(1)如图1，几秒后，的长度等于?(2)如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的?(3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）18．（2023·广东深圳·校考二模）【定义】在平面内的三个点，，，满足．若，则将点称为，的三倍直角点：若，则将点称为，的三倍锐角点．

(1)如图1，已知中，，，若点是，的三倍直角点，则的长度为___________；若点是点，的三倍锐角点，则的长度为___________；(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点是直线上的一点，点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，以为圆心长为半径作，点在上．①若点是，的三倍锐角点，求点的坐标②若点是，的三倍直角点，直接写出点的坐标．19．（2023·河北张家口·统考三模）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以为半径作大小两个半圆，连接．

(1)求证：；(2)设小半圆与相交于点．①当取得最大值时，求其最大值以及的长；②当恰好与小半圆相切时，直接写出弧的长．20．（2023·河北唐山·统考二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．

(1)当圆心O在上时，______；(2)当点E在边上时，①判断与的位置关系，并证明：②当为何值时，有最大值？并求出最大值；(3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长．21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，内接于，连接，．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，点在上，连接，点是上一点，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，求的长．22．（2023·陕西宝鸡·统考一模）问题提出：（1）如图1所示，已知A为上一点，P为外一点，若，的半径为2，则的最小值为_________；问题探究：（2）如图2所示，P为等边三角形内一点，若，求的最小值；问题解决：（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．

23．（2023·云南昆明·统考二模）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．

(1)求证：是半圆O的切线；(2)当点E落在上时，求x的值；(3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．24．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）定义：如图1，是的直径，若弦，则称弦为的纬线．

(1)如图1，弦是的纬线，求证：；(2)弦和弦都是半径为5的的纬线，，，，求这两条纬线之间的距离；(3)如图2，弦和弦是直径两侧的纬线，连接、、、、、，的半径为，记四边形，，的面积依次为，，，若同时满足下列两个条件时，求的最大值（用含的式子表示）．①；②其中的一条纬线长不超过半径．25．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形中，边长为点是线段上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，其中交于点，交于点，连接．(1)如图，①若时，求线段的长；②当点在线段上运动时，求证：．(2)如图，过点作交于点，过点作所在的直线于点，求的最小值．26．（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦(，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”．

(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．①在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是；②在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值；(2)已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长．27．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点变换为点，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．(1)①点的变换点的坐标为______；②直线的变换图形上任意一点的横坐标为______；(2)求直线的变换图形与y轴公共点的坐标；(3)已知⊙O的半径为1，若的变换图形与直线有公共点，直接写出k的取值范围．28．（2023·江苏盐城·校考三模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的友好直线．例如，点的友好直线为．(1)已知点，①则点的友好直线为______；②若与点的友好直线相切，求的半径；(2)已知点，点是轴上任意一点（原点除外），点为直线上的动点．①当点坐标是时，求点到点的友好直线的距离的最大值；②以为圆心，3为半径作．在点运动过程中，当点的友好直线与交于两点时，的最小值为4，请直接写出点的坐标．29．（2023春·江西赣州·八年级瑞金第一中学校联考期末）如图1，在矩形中，，，点E在射线上运动，将沿翻折，使得点A与点G重合，连接交于点F．(1)【初步探究】当点G落在边上时，求的长；(2)【深入探究】在点E的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，点P为的中点，连接，点E在射线上运动过程中，求长的最大值．30．（2023·山东临沂·统考一模）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．(1)当时，求证：；(2)如图3，当时，延长交于点F，求的度数；(3)在旋转过程中，探究的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角α的度数和面积最小值，若不存在，请说明理由．31．（2023·全国·九年级专题练习）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．32．（2023·河南开封·一模）刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．如图，将矩形纸片折叠，点与点重合，点与点重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点，沿将折叠，得到，点的对应点为点．(1)问题提出：若点落在上，，连接．①是______三角形；②若是等边三角形，则的长为______．(2)深入探究：在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；(3)拓展延伸：若，，其他条件不变，当点落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）为的直径，为圆上一点，，垂足为，点为圆上一点，连接，，且．(1)如图，求证：；(2)如图，连接，求证：；(3)如图，在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接交于点，若，，求的长．34．（2023·江苏·模拟预测）【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，则线段与之间的关系为______．【问题类比】如图2，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】如图3，点E是边长为6的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边的最大距离为______（直接写出结果）．35．（2023·陕西铜川·统考三模）（1）如图1，的半径为1，，点P为上任意一点，则的最小值为；（2）如图2，已知矩形，点E为上方一点，连接，作于点F，点P是的内心，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若矩形的边长，，，求此时的最小值．36．（2023·全国·九年级专题练习）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．(1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；(2)如图2，四边形是的内接四边形，，，，求四边形的面积．(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？37．（2023·广西柳州·校考一模）如图1，在中，，以线段为直径作交于点D，E为中点，连接，过点C作交的延长线于点F．(1)求证：直线是的切线；(2)判断的形状，并说明理由；(3)如图2，连接交于点P，连接交于点Q，若D为中点，，求的长．38．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，是正方形，是的直径，点E是上的一动点（点E不与点B，C重合），连接．(1)若，求的度数；(2)若为的切线，连接交于点F，求证：；(3)若，过点A作的垂线交射线于点M，求的最小值．39．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，的半径为，的顶点，，在上，．(1)求证：是的切线；(2)若也与相切，求证：四边形是菱形；(3)如图2，与相交于点，连接于，当时，求的对角线的长及阴影部分图形的面积．40．（2023·河北邢台·统考一模）在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示．(1)求的长度；(2)如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，．①求的度数；②求的长度；(3)当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围．41．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知等边内接于点P为弧上的一个动点，连结、、．(1)如图1，当线段经过点O时，写出线段，，满足的等量关系，并说明理由．(2)如图2，点P为弧的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．(3)如图3，在中，，，的外角平分线交的外接圆于点P，于E，求的长．42．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知为的外接圆，．(1)如图1，连接交于点，过作的垂线交延长线于点．①求证：平分；②设，请用含的代数式表示；(2)如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．43．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．(1)如图1，若点D是的中点，等于多少？(2)过点B作直线的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在上，求证：．②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．44．（2023·江苏·九年级假期作业）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在中，，当长度不变时．则点C在以为直径的圆上运动（不与A、B重合）．【探索发现】小明继续探究，在中，，长度不变．作与的角平分线交于点F，小明计算后发现的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．【拓展应用】在【探索发现】的条件下，若，求出面积的最大值．【灵活运用】在等边中，，点D、点E分别在和边上，且，连接交于点F，试求出周长的最大值．45．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E．(1)如图1，求证：；(2)如图1，若，求的长；(3)如图2，当时，，求r的值；(4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示）

第二十三章旋转（压轴题专练）一、填空题1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、，分别将线段、绕点A顺时针旋转到、，连接、、、，下列结论：①点在上；②；③；④当时，与相切．正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】由旋转的性质，易证和是等边三角形，得到，即可判断①结论；逆用等边三角形性质，即可证明，判断②结论；利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质，得到，再利用等边三角形的性质，得到，然后根据圆周角定理，即可判断③结论；利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质，得到，再利用等边三角形的性质和三角形外角的定义，得到，进而得到，然后利用切线的判定定理可判断④结论．【详解】解：由旋转的性质可知，，，，和是等边三角形，，点在上，①结论正确；，在和中，，，②结论正确；，，，，，，和是等边三角形，，，，，，，③结论正确；，，，，，，当时，∵，，∴，∴在上，，，，，与相切，④结论正确，综上所述，正确的结论有①②③④，共4个，故选：A．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．2．（2023春·重庆开州·八年级统考期末）如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（

）

A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点A作于点F，证明是等腰直角三角形，求出，，证明点A、C、O、B四点共圆，得出，证明，得出点、、三点共线，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得出正方形的边长为，最后求出正方形的面积即可．【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点A作于点F，如图所示：

∴，，，∴是等腰直角三角形，∴，，∵正方形的对角线，相交于点，∴，∵，∴点A、C、O、B四点共圆，∴，∴，∵，∴点、、三点共线，∵，是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴正方形的边长为，∴正方形的面积为，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解．【详解】设交于，连接、、，过作于，连接，，，，是等边三角形，，，由勾股定理得：．，．，，在中，，，的最小值是，故选：D．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．正确的作出辅助线是解题关键．4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点作于，当点运动时，点在以为直径的半圆上，即点在圆心为的半圆上运动，当点运动到连线上时，的值最小，根据题意可证，由此可证是直角三角形，可得点在以为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在中，可求出的长，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于，连接，如图所示：

∵四边形是正方形，∴，，∵，∴四边形是矩形，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即是直角三角形，∴当点P运动时，点在以为直径的半圆上运动，设圆心为，当点M运动到连线上时，的值最小，∵，∴，则半圆的半径，在中，，当点运动到连线上时，的值最小，∴的最小值为，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．5．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到．【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接∵，∴，∴，∵，∴；∵，G为的中点，∴，∵，∴，∴，∴当最小时，最大，即最大，∵，∴，∴，即，∴，∴，故选B．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．6．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设与相切与点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题；【详解】解：如图所示，设与相切与点K，由题意得，由切线长定理可知，

设正方形边长为，，则∴，由勾股定理得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴（负值舍去），∴，∴的半径为，故选D．

【点睛】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．二、填空题7．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为米．

【答案】/【分析】如图：过O作,连接，运用正多边形的性质说明,,进而得到、，然后代入计算即可；如图：由题意可得,，，运用勾股定理可求得，再运用计算即可．【详解】解：如图：过O作,连接，∴，,∵，∴,,∴，∴,,∴，∵∴，∴，∴，∴,∴．

由题意可知：,，，∴，即，解得：，∴．故答案为，．

【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，理解题意、正确计算是解答本题的关键．8．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

【答案】或【分析】如图，由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得在以为直径的圆上，，可得是圆与直线的交点，当重合时，符合题意，可得，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，证明，设，可得，，而，则，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，，∴是圆与直线的交点，

当重合时，∵，则，∴，符合题意，∴，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，∴，

∵，，∴，∴，∴，设，∴，，而，∴，解得：，则，∴，∴；综上：或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．9．（2023·上海·统考中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．【答案】【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接，

过点，且，的半径为7，过点，它的半径为，且，，，，，在边上，点在延长线上，，即，，与有公共点，，即，不等式①可化为，解方程得：或，画出函数的大致图象如下：

由函数图象可知，当时，，即不等式①的解集为，同理可得：不等式②的解集为或，则不等式组的解集为，又，半径r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．10．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P是上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接，当点P在弧上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长．【答案】【分析】首先证明，推出当点P在弧上从点B运动到点C时，点M在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上（），利用弧长公式计算即可解决问题．【详解】∵的内心为M，∴，，∴，∵，即，∴．∵，而，∴，∴，所以当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上（），点M在扇形内时，过C、M、O三点作，连，在优弧取点D，连，∵，∴，∴，而，∴，∴弧的长=，故答案为：．【点睛】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．11．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是；（2）如图②，若连结，，分别取、的中点P、Q，连接，M为的中点，则CM的最小值为．

【答案】【分析】（1）如图，连接,则,，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得解得，即；（2）如图，连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，同理，；易证四边形是平行四边形，得，由中位线性质得，求得；取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，即最小值；延长，交于点K，L，求得，由勾股定理得中，，得解最小值．【详解】（1）如图，连接,则,，

∴，∵，∴与弧相切于点B，∴，设，则中，即解得，即，（2）如图，连接、，取的中点H，连接，则，，连接，取的中点I，连接，同理，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∵P、Q是、的中点，∴，∴，

取的中点J，由，∴四边形是平行四边形，∴，即点M在以J为圆心，2.5为半径的圆弧上，∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值，延长，交于点K，L，则，∴点K，点L分别是的中点，∴，，，∴，，中，，∴最小值．故答案为：2，．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键．12．（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）如图，矩形，E为中点，F为直线上动点，点B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，，则的最小值是．

【答案】/【分析】由翻折的性质可得，，由题意得，，则，，由，可得，由，可知，如图，在上截取使，连接，则，过作于，则，，，可得在以为圆心，半径为的圆上运动，如图，连接，与的交点即为最小时的点，过作于，则是等腰直角三角形，则，，由勾股定理得，根据，计算求解即可．【详解】解：由翻折的性质可得，，∵E为中点，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，如图，在上截取使，连接，则，过作于，则，

∵，∴，∴在以为圆心，半径为的圆上运动，如图，连接，与的交点即为最小时的点，过作于，则是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹．三、解答题13．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接．

(1)探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上；(2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；(3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3)【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，然后根据折叠的性质可判断将沿折叠，点一定落在直径上；（2）由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到；（3）先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到．【详解】（1）证明：为的切线，，，，，，，，无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；（2）解：．理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点，，，为的切线，，，，，，四边形为矩形，，；（3）解：为正三角形，，，，，，，，，而，．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质．14．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P．（1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为；（2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为．【答案】问题情境：见解析；问题解决：（1）；（2）【分析】[问题情境]连结，取的中点，连结、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，以此即可证明；[问题解决]（1）根据题意可得，由[问题情境]结论可知、、、四点共圆，根据圆周角定理以及正方形的性质可得，则为等腰直角三角形，设长为，则长为，根据勾股定理列出方程，求解即可；（2）由[问题情境]结论可知、、、四点共圆，过点作于点，作于点，连接交于点，连接，根据题意可得四边形为矩形，则要求的最小值，即求的最小值，根据平行线的性质和中点的定义可得为的中位线，得，，同理可证四边形为矩形，以此得到，，根据勾股定理得，根据两点之间线段最短得，以此即可求出的最小值，从而求得的最小值．【详解】[问题情境]证明：如图，连结，取的中点，连结、，，为的中点，，、、、四点共圆；[问题解决]（1）四边形为正方形，点是边的中点，，，，，由[问题情境]结论可知，、、、四点共圆，如图，，为正方形的对角线，，，为等腰直角三角形，设长为，则长为，，即，解得：，（不合题意，舍去），线段的长度为；故答案为：；（2）由[问题情境]结论可知，、、、四点共圆，如图，过点作于点，作于点，连接交于点，连接，，，，四边形为矩形，，要求的最小值，即求的最小值，由（1）知，，，，且点为的中点，，为的中位线，，，，，四边形为矩形，，，，在中，，根据两点之间线段最短得，，，的最小值为，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查四点共圆、正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质、平行线的判定与性质，属于圆的综合题，熟练掌握相关知识是解题关键．15．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）如图1，等圆与相交于C，M两点，经过的圆心，直线交于点A，交于点B，连接．

(1)求证：为的切线；为的切线；(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由；(3)如图2，当点H为线段上的点，点E为延长线上的点，直线交于点D，直线交于点F．若，探求是否为定值；(4)如图3，当H为延长线上的点，E为线段上的点，其它条件不变，则（3）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形是菱形，理由见解析(3)定值(4)成立，理由见解析【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据切线的判定即可证得结论；（2）作辅助线如解析图，先证明四边形为菱形，然后根据菱形的性质和判定即可证明四边形是菱形；（3）连接，证明，得出，进而可得结论；（4）连接，同（3）的方法证明即可．【详解】（1）证明：连接如图，∵是的直径，是的直径，∴，∴为的切线；为的切线；

（2）四边形是菱形.证明：如图，连接已知等圆与相交于C,M两点，∴，即四边形为菱形，∴，，又，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；

（3）解：连接，已知等圆与相交于C,M两点，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，同理，为等边三角形，∴，∴①，∴∴②，由①②可得，，∴，又，∴；

（4）仍然成立；证明：连接，如图，已知等圆与，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵四点在上，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴．

【点睛】本题是圆和圆的综合题，主要考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，综合性强，熟练掌握圆的相关知识、正确添加辅助线是解题的关键．16．（2023·江苏·九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．（2）根据圆内接四边形的性质，先证，再证为等腰三角形，进一步证得，从而证得结论．（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．【详解】（1）如图1，连接，，

∵C是劣弧的中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；（2）如图2，延长、相交于点F，再连接，

∵四边形是圆内接四边形，∴，∵C是劣弧的中点，∴，∵，∴∵∴∴∴，，∴，∴，∴（3）．理由如下：连接，，，与相交于点F，

∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，

∴，，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论，全能三角形的判定和性质，圆周角定理，掌握并熟练运用垂径定理是解题的关键．17．（2023·河北廊坊·校考三模）在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．(1)如图1，几秒后，的长度等于?(2)如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的?(3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）【答案】(1)后的长度等于(2)1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的(3)【分析】（1）根据题意可得，则，由勾股定理可得，进行计算即可得到答案；（2）表示出，计算出，由的面积等于四边形面积的，可得，进行计算即可得到答案；（3）当时，如图，与四边形有两个公共点，如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意可得：，，，，解得：或（舍去），后的长度等于；（2）解：根据题意可得：，，，，，，的面积等于四边形面积的，，解得：或，1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的；（3）解：当时，如图，与四边形有两个公共点，，如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，，根据题意可得：，，，，，，，，解得：（舍）或，当时，与四边形的边有三个公共点，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用、圆的基本性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．18．（2023·广东深圳·校考二模）【定义】在平面内的三个点，，，满足．若，则将点称为，的三倍直角点：若，则将点称为，的三倍锐角点．

(1)如图1，已知中，，，若点是，的三倍直角点，则的长度为___________；若点是点，的三倍锐角点，则的长度为___________；(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点是直线上的一点，点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，以为圆心长为半径作，点在上．①若点是，的三倍锐角点，求点的坐标②若点是，的三倍直角点，直接写出点的坐标．【答案】(1)，(2)①，②或【分析】（1）根据定义可得，勾股定理求得，即可求解；（2）①根据题意求得，根据新定义得出，设，)则，解方程即可求解，当)时，，应舍去；②延长交于，连接，作于．设，，证明，得出，即，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵点是，的三倍直角点，∴，由勾股定理得，，故答案是，∵点是点，的三倍锐角点，∴，且，由勾股定理得，故答案是：（2）①当时，∴∴，，∵点是，的三倍锐角点，∴，设，∴∴，当，∴当，∴当时，，应舍去．综上所述：②如图4，

延长交于，连接，∵点是的三倍直角点，∴，∴是的直径，∴，作于．设，∴，∴=∵∴∵，∴，∴∴∵，∴，当，当，∴点P的坐标是或．【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，直角所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握新定义是解题的关键．19．（2023·河北张家口·统考三模）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以为半径作大小两个半圆，连接．

(1)求证：；(2)设小半圆与相交于点．①当取得最大值时，求其最大值以及的长；②当恰好与小半圆相切时，直接写出弧的长．【答案】(1)证明见解析(2)①，；②或【分析】（1）根据题中条件，利用两个三角形全等的判定定理即可得到，再由全等三角形性质即可得证；（2）①根据三角形面积公式知，是个定值，在以为圆心、为半径的圆上运动，从而得到当时，取得最大值，代入面积公式求解即可得到答案；②当恰好与小半圆相切时，，根据，得到，根据点的位置分两种情况，利用弧长公式代值求解即可得到答案．【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴；（2）解：①根据三角形面积公式知，，在以为圆心、为半径的圆上运动，当时，取得最大值，；由（1）知，则在中，，∴；②如图所示：

当恰好与小半圆相切时，，，在中，，即，则，分两种情况讨论如下：①当在右侧时，，则，此时弧的长为；②当在左侧时，，此时弧的长为；综上所述，弧的长为或．【点睛】本题考查圆综合问题，涉及全等三角形的判定与性质、圆中动点最值问题、切线性质、含直角三角形及弧长公式等知识，熟练掌握相关几何性质及圆综合问题的求法是解决问题的关键．20．（2023·河北唐山·统考二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．

(1)当圆心O在上时，______；(2)当点E在边上时，①判断与的位置关系，并证明：②当为何值时，有最大值？并求出最大值；(3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长．【答案】(1)1(2)①与的位置关系是相切，见解析；②当时，有最大值，为1(3)，【分析】（1）可证得，进而解直角三角形和直角三角形，从而求得结果；（2）①连接，，利用圆周角定理推出，继而推出，再根据，推出，从而得到与的位置关系是相切；②连接，可证得，从而得到，设得方程，故，利用二次函数得最值，得到当，即时，有最大值，最大值为1；（3）可推出，进而得出，，，故，四边形是菱形，可推出点A是对称后的优弧的圆心，根据弧长公式得出结果．【详解】（1）解：菱形中，，∵是的直径，∴，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∵，，，∴，故答案为：1；（2）①与的位置关系是相切，理由如下：证明：如图1，连接，，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即与的位置关系是相切；②如图2，连接．

∵，，，∴，在菱形中，，，∴是等边三角形，∴，∴，得到∴，设，∴，则，∴，∵，∴当，即时，有最大值，最大值为1．（3）∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，，∴，，又∵将优弧沿翻折交射线于点，∴，∴四边形是菱形，

∴点A，O关于对称，∴弧在以A为圆心，长为半径的圆上．∵，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，内接于，连接，．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，点在上，连接，点是上一点，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）过点作，如图所示，由垂径定理可知：，再由得到，即可得证；（2）延长交于，如图所示，由（1）知，从而由等腰三角形“三线合一”得到，且，从而得到，即可有，由内错角相等两直线平行得到，进而，即；（3）连接，延长交于点，证明，利用勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：过点作，如图所示：

由垂径定理可知，，在和中，，，，；（2）证明：延长交于，如图所示：

由（1）知，根据，从而由等腰三角形“三线合一”得到，且，，，，，，，，，即；（3）解：如图，连接，延长交于点，

根据（2）中可得，，，，，，，，在与中，，，，，，，，，，且为直径，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2023·陕西宝鸡·统考一模）问题提出：（1）如图1所示，已知A为上一点，P为外一点，若，的半径为2，则的最小值为_________；问题探究：（2）如图2所示，P为等边三角形内一点，若，求的最小值；问题解决：（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．

【答案】（1）4；（2）；（3）【分析】（1）如图所示，连接，根据进行求解即可；（2）如图所示，将绕点B顺时针旋转至，连接，，则是等边三角形，可得，则，连接，则的最小值就是的长，证明四边形为菱形且，，求出的长即可；（3）如图所示，连接，将绕点A顺时针旋转至位置，连接、，则都是等边三角形，则此时为定点，D为半圆上一动点；取的中点O，连接并延长交半圆于点，此时的长即为的最小值，据此求解即可．【详解】解：（1）如图所示，连接，∵，∴，∴的最小值为4，故答案为：4；

（2）如图所示，将绕点B顺时针旋转至，连接，，∴，，∴是等边三角形，∴，

∴，连接，∵A，为定点，∴的最小值就是的长，∵为等边形三角形，∴∴四边形为菱形且，，设交于T，则，∴，∴，即的最小值为；（3）如图所示，连接，将绕点A顺时针旋转至位置，连接、，∴，∴都是等边三角形，

∴此时为定点，D为半圆上一动点，取的中点O，连接并延长交半圆于点，此时的长即为的最小值．∵为等边三角形，，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，点到圆上一点的距离的最值问题等等，正确作出辅助线是解题的关键．23．（2023·云南昆明·统考二模）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．

(1)求证：是半圆O的切线；(2)当点E落在上时，求x的值；(3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．【答案】(1)见解析(2)x的值为3(3)综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点【分析】（1）通过翻折的性质，证明即可解答；（2）画出图形，在中根据勾股定理构建方程，即可解答；（3）将临界情况，即当半圆O与相切时；当半圆O与相切时；当半圆O经过点D时；当半圆O的圆心与点C重合时；求出此时的长度，即可解答．【详解】（1）证明：是矩形，，∵沿折叠，得到，，，是半圆O的半径，是半圆O的切线．（2）解：当点E落在上时，如图2所示：

∵沿折叠，得到，，，∴，∵在中，，∴∴∵由（1）知是半圆O的切线，，∴在中，∴，解得：，答：x的值为3．（3）分情况进行讨论：①如图2，当半圆O与相切时，根据（2）中解答，可得；

如图3，当半圆O与相切时，．

∴当时，半圆O与的边和各有一个交点；②如图4，当半圆O经过点D时，连接，设圆的半径为a，

在中，可得，即解得：如图5，当半圆O的圆心与点C重合时，此时，，∴当时，半圆O与的边和各有一个交点，∴综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点．【点睛】本题考查了切线的证明，翻折的性质，圆与直线的位置关系，勾股定理，画出正确的图形是解题的关键．24．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）定义：如图1，是的直径，若弦，则称弦为的纬线．

(1)如图1，弦是的纬线，求证：；(2)弦和弦都是半径为5的的纬线，，，，求这两条纬线之间的距离；(3)如图2，弦和弦是直径两侧的纬线，连接、、、、、，的半径为，记四边形，，的面积依次为，，，若同时满足下列两个条件时，求的最大值（用含的式子表示）．①；②其中的一条纬线长不超过半径．【答案】(1)见解析(2)1或7(3)【分析】（1）连接，根据平行线的性质和圆周角定理即可证明；（2）作交于，则，连接，；根据勾股定理可得，，分类讨论：当弦和弦在圆心的同一侧时；，即可求得；当弦和弦在圆心的两侧时；，即可求得；（3）过点作于点，于点，设，，，，分别求出，，，根据，可得，，故，根据勾股定理可得，令，故，分析该二次函数可得当时，，即可求得．【详解】（1）如图，连接∵

和所对的弧相等（2）弦和弦都是的纬线，作交于，则，连接，

，，根据勾股定理可得，，分类讨论：当弦和弦在圆心的同一侧时；当弦和弦在圆心的两侧时；∴和的距离是1或7（3）过点作于点，于点

设，，，则，，即或若，则若，则则在中，则令则对称轴为当时【点睛】本题考查平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，二次函数的性质等，运用分类讨论思想和借助二次函数求最值是解题的关键．25．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形中，边长为点是线段上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，其中交于点，交于点，连接．(1)如图，①若时，求线段的长；②当点在线段上运动时，求证：．(2)如图，过点作交于点，过点作所在的直线于点，求的最小值．【答案】(1)①；②见解析(2)【分析】（1）①由可证≌，可得，，即可求解；由可证≌，可得，，由可证≌，可得，由余角的性质可求解；（2）先求的长，由可证≌，可得，则点在以点A为圆心，长为半径的圆上，当点在线段上时，有最小值，即可求解．【详解】（1）解：①过点作直线于，是等腰直角三角形，，，，，，∴，，，，，又，是等腰直角三角形，；证明：如图，延长至，使，连接，，，，∴，，，，，，又，∴，，，；（2）解：如图，连接，，，，由（1）可知，，四边形是正方形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，又，∴，，点在以点A为圆心，长为半径的圆上，点在线段上时，有最小值，的最小值为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦(，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”．

(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．①在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是；②在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值；(2)已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长．【答案】(1)①；②1或3(2)m的最大值为，；m的最小值为，．【分析】（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断直线，的最长的弦即直径为4，可排除，，所以成为的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论；（2）画与关于直线：对称，以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，画出图形即可求出m的最大值和最小值，通过勾股定理即可求出．【详解】（1）解：①如图所示：

∴以直线：为轴的的“关联线段”是；②∵直线：与x轴夹角为，∴线段直线，∴线段关于直线的对称线段还在直线上，不可能是的弦，∵的最长的弦即直径为4，，∴线段的对称线段不可能是的弦；∵线段直线，且，∴线段的对称线段可以是的弦．线段的对称线段，且．如图，平移线段使之成为的弦，有两种情况：

(ⅰ)，的坐标分别为，，此时；(ⅱ)，的坐标分别为，，此时．综上所述，或3．（2）解：画与关于直线：对称，∵，以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，∵与关于直线对称，则与至少有一个交点，如图所示，

此时m取得最小值；

此时m取得最大值；把代入直线：得：，∴点A的坐标为，∵与至少有一个交点，∴，解得：，∴m的最大值为，m的最小值为；连接、、，过点C作，如图所示，

∵，的半径为2，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；连接、、，过点C作如图所示，

∵，的半径为2，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；【点睛】本题考查了圆的几何问题，难度较大，正确理解新定义和考虑到以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，是关键．27．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点变换为点，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．(1)①点的变换点的坐标为______；②直线的变换图形上任意一点的横坐标为______；(2)求直线的变换图形与y轴公共点的坐标；(3)已知⊙O的半径为1，若的变换图形与直线有公共点，直接写出k的取值范围．【答案】(1)①；②；(2)；(3)且．【分析】（1）①按定义操作即可得出答案；②设直线的图像上任意一点坐标为，然后按定义操作即可得出答案；（2）设直线的图像上任意一点坐标为，求出该点的变换点坐标，根据横纵坐标之间的关系求出直线的变换图形的解析式即可得出答案；（3）设⊙O上点的坐标为，可得，然后求出其变换点到原点的距离为，可得的变换图形是以原点为圆心，半径为的圆，再根据直线恒过点，求出直线与的变换图形相切时的k值即可．【详解】（1）解：①按定义操作：，，∴点的变换点的坐标为，故答案为：；②设直线的图像上任意一点坐标为，按定义操作：，∴直线的变换图形上任意一点的横坐标为，故答案为：；（2）解：设直线的图像上任意一点坐标为，则该点的变换点坐标为，令，得：，∴，当时，，∴直线的变换图形与y轴公共点的坐标为；（3）解：设⊙O上点的坐标为，∵⊙O的半径为1，∴点到原点的距离为1，∴，∵⊙O上的点的变换点坐标为，∴其变换点到原点的距离为：，∴的变换图形是以原点为圆心，半径为的圆，又∵直线，∴直线恒过点，如图，点，直线与y轴交于点C，当直线与的变换图形相切于点B时，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此时直线过点，∴，解得：，同理，当直线与的变换图形相切于x轴的下方时，可得，∴若的变换图形与直线有公共点，k的取值范围为且．

【点睛】本题考查了新定义，一次函数的应用，圆的基本概念，切线的性质，两点间的距离公式，勾股定理等知识，正确理解变换图形的定义，能够准确表示出变换点的坐标是解题的关键．28．（2023·江苏盐城·校考三模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的友好直线．例如，点的友好直线为．(1)已知点，①则点的友好直线为______；②若与点的友好直线相切，求的半径；(2)已知点，点是轴上任意一点（原点除外），点为直线上的动点．①当点坐标是时，求点到点的友好直线的距离的最大值；②以为圆心，3为半径作．在点运动过程中，当点的友好直线与交于两点时，的最小值为4，请直接写出点的坐标．【答案】(1)①点A的友好直线为；②的半径为(2)①点到点的友好直线的距离最大值为；②点D的坐标为或【分析】（1）根据题意求出点A的友好直线，描点法画出函数图像，用面积相等法即可求出的半径；（2）先求出直线的解析式，再设出点的友好直线，当点H与点N重合时，点到点的友好直线的距离最大，即可求解；当N与重合时，最大，即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得：点A的友好直线为；②当时，，当时，，切点为E，如图所示，

∴，，∴，即解得：，即的半径为；（2）①解：由题意可得：设直线的解析式为，把、代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设，则点的友好直线为，∴点的友好直线经过定点，如图，过点O作直线的垂线，垂足为H，连接，

∴，∴当点H与点N重合时，最大，即点到点的友好直线的距离最大，∴点到点的友好直线的距离最大值为；②∵点，点是轴上任意一点（原点除外），∴设，设直线的解析式为，把、代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设，∴点的友好直线为，∴点的友好直线经过定点，过点Q作于点N，连接，则，如图所示，

要想使最小，∵是定值，则最大，由①可得：当N与重合时，最大，∵，则，解得：或；∴点D的坐标为或；【点睛】本题考查了一次函数的综合题，考查一次函数的图像和性质，两点的距离公式，新定义，熟练掌握一次函数的图像和性质，理解定义，数形结合是解题的关键．29．（2023春·江西赣州·八年级瑞金第一中学校联考期末）如图1，在矩形中，，，点E在射线上运动，将沿翻折，使得点A与点G重合，连接交于点F．(1)【初步探究】当点G落在边上时，求的长；(2)【深入探究】在点E的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，点P为的中点，连接，点E在射线上运动过程中，求长的最大值．【答案】(1)(2)在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为(3)点在射线上运动过程中，长的最大值为【分析】（1）由翻折得：，根据勾股定理可得，再由，即可求得答案；（2）以为圆心，长为半径作，可得点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，由勾股定理可得，即可求得的最小值为；（3）以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，根据三角形中位线定理可得，则最大时，最大，由于点在上运动，当经过点时，最大，即可求得答案．【详解】（1）当点落在边上时，如图1，四边形是矩形，，，，由翻折得：，在中，，；（2）如图2，以为圆心，长为半径作，由翻折得：，点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，在中，，，故在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；（3）如图3，以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，

，点是的中点，点为的中点，是的中位线，，则最大时，最大，

由翻折得：，点在上运动，当经过点时，最大，如图4，在中，，，，故点在射线上运动过程中，长的最大值为．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆的有关性质，点到圆上各点距离的最大值和最小值的应用，解决问题的关键是运用三角形中位线定理和圆中的最值．30．（2023·山东临沂·统考一模）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．(1)当时，求证：；(2)如图3，当时，延长交于点F，求的度数；(3)在旋转过程中，探究的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角α的度数和面积最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)存在；；面积的最小值为【分析】（1）利用“”证得即可得到结论；（2）先证明为等边三角形，得出，由，得出，求出，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可；（3）根据中，边的长是定值，得出边上的高取最小值时的面积有最小值，根据点E在以点A为圆心，以为半径的圆上，根据垂线段最短，过点A作于点G，交于点H，当点E在点H时，点到的距离最小，根据等边三角形的性质和勾股定理，利用三角形的面积公式求出结果即可．【详解】（1）证明：∵，，，在和中，，，；（2）解：∵，，∴为等边三角形，∴，根据解析（1）可知，，∴，∴，∴，∴．（3）解：存在；；面积的最小值为；中，边的长是定值，则边上的高取最小值时的面积有最小值，∵，∴点E在以点A为圆心，以为半径的圆上，∵垂线段最短，∴过点A作于点G，交于点H，当点E在点H时，点到的距离最小，根据解析（2）可知，为等边三角形，∴，，∵，，∴，，∴此时旋转角，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂线段最短，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，正确寻找全等三角形，利用性质求解．31．（2023·全国·九年级专题练习）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．【答案】[教材呈现]：面积相等，理由见解析；[基础巩固]：；[尝试应用]：；[拓展提高]：6【分析】[教材呈现]根据平行线与三角形的面积公式解答即可；[基础巩固]连接，设的半径为，利用正方形的性质得，根据三角形面积公式得，同理，，可得即可求出阴影面积与圆面积的比；[尝试应用]连接，过点O作于点H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，从而可得，利用勾股定理求出，最后求得结果；[拓展提高]连接，先由垂径定理得出，，从而可得，设，则，由勾股定理求出的长，最后求得结果．【详解】∵，，，同底等高∴[基础巩固]连接∵∴同理，∴∴阴影面积与圆面积的比为；[尝试应用]连接，过点O作于点H∵∴∴∴∵∴∴∴，∴，，，∴[拓展提高]连接∵为直径，于点P∴，又∵∴∴，∴，设，则∵∴∴，∵∴∴∴∴∴，在中，，设半径为r，则解得∴的半径为6【点睛】此题考查的是平行线的性质及三角形的面积公式，垂径定理、弧、弦、圆心角的关系及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．32．（2023·河南开封·一模）刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．如图，将矩形纸片折叠，点与点重合，点与点重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点，沿将折叠，得到，点的对应点为点．(1)问题提出：若点落在上，，连接．①是______三角形；②若是等边三角形，则的长为______．(2)深入探究：在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；(3)拓展延伸：若，，其他条件不变，当点落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．【答案】(1)①等腰；②1(2)是等腰直角三角形，证明见解析(3)的取值范围是【分析】（1）①根据折叠的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质即可得出是等腰三角形；②由折叠得，若是等边三角形，则，根据矩形的性质得出，（2）由得，根据勾股定理的逆定理得出，证明是直角三角形，进而即可得出结论；（3）连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，得出，即点在上运动，连接、、，则，当点落在矩形内部包括边时，则．【详解】（1）如图1，①将矩形纸片沿折叠，点与点重合，垂直平分，，是等腰三角形，故答案为：等腰．②由折叠得，若是等边三角形，则，四边形是矩形，，故答案为：．（2）是等腰直角三角形，证明：如图，由得，∴，∵，∴∴，是直角三角形，，是等腰直角三角形．（3）如图，连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，，，，，，点在上运动，连接、、，则，，四边形是矩形，，，，，当点落在矩形内部包括边时，则，即，∴的取值范围是．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆的最值问题，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键．33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）为的直径，为圆上一点，，垂足为，点为圆上一点，连接，，且．(1)如图，求证：；(2)如图，连接，求证：；(3)如图，在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接交于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5【分析】（1）连接，设，则，根据圆周角定理和等腰三角形性质可得，再根据三角形内角和定理可得出结论；（2）延长交圆于点，连接，结合题意可证得，可得，进而再证得结论；（3）在上截取一点，使，作，先证出，再证得，，，再证，设，因此，，再利用勾股定理得出，进而算出结论．【详解】（1）连接，设，（2）延长交圆于点，连接，，是的直径，，，，（3），而，，，，，，，在上截取一点，使，作，，设，因此，，，，（负根舍去）．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质与判定，勾股定理等知识点，添加适当的辅助线，构造合适的三角形全等是解本题的关键．34．（2023·江苏·模拟预测）【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，则线段与之间的关系为______．【问题类比】如图2，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证