专题05解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最小值、最大值、动点、中点四边形问题之五大考点(原卷版+解析)

专题05解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最小值、最大值、动点、中点四边形问题之五大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一特殊平行四边形中求定值问题】 1【考点二特殊平行四边形中求最小值问题】 5【考点三特殊平行四边形中求最大值问题】 8【考点四特殊平行四边形中动点问题】 15【考点五特殊平行四边形中点四边形问题】 23【典型例题】【考点一特殊平行四边形中求定值问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在边长为10的菱形中，对角线，则菱形的面积是____，若点O是线段上的动点，于E，于F．则____．【变式训练】1．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________．

2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．(1)连接，求证：．(2)求证：矩形是正方形．(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．【考点二特殊平行四边形中求最小值问题】例题：（2023春·河南开封·九年级金明中小学校考阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为________．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是___．2．（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为___________．3．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，矩形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为_____．【考点三特殊平行四边形中求最大值问题】例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．【变式训练】1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为_________．2．（2023春·江苏常州·八年级常州实验初中校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为__．3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．

4．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在菱形中，，为正三角形，在菱形的边上．(1)证明：．(2)当点分别在边上移动时(保持为正三角形)，请探究四边形的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．(3)在(2)的情况下，请探究的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【考点四特殊平行四边形中动点问题】例题：（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考期中）如图，在四边形中，动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．(1)当四边形是平行四边形时，求的值；(2)当为多少秒时，四边形是矩形；(3)在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．【变式训练】1．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P运动时间为t秒．

（1）当t为___________时，四边形是平行四边形．（2）若M为线段上一点，且，当P运动______秒时，四边形的周长最小，它的最小值为_______．2．（2023春·河南商丘·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，且DE=，AD=18，∠C=60°；（1）BC=________（2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t秒．①t=_______秒时，四边形PQED是矩形；②t为何值时，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．3．（2023春·福建厦门·八年级厦门市莲花中学校考期中）在正方形中，点E是边上一动点，点F是边上一动点．(1)如图1，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两条线交于点G．①若，求证：四边形是菱形；②若，，，求四边形的面积．(2)如图2，若点M在线段上，，且，，的延长线相交于点N，问：在点E运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若有改变，请说明理由．【考点五特殊平行四边形中点四边形问题】例题：（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．(1)四边形EFGH的形状是．(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论．(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．(1)判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由；(2)如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．2．（2023春·全国·八年级专题练习）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形．3．（2023春·安徽合肥·八年级校联考期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：

反思交流：(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？依据；依据；②连接，若时，则中点四边形的形状为；并说明理由；创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：(2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为，并说明理由；(3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为．

专题05解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最小值、最大值、动点、中点四边形问题之五大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一特殊平行四边形中求定值问题】 1【考点二特殊平行四边形中求最小值问题】 5【考点三特殊平行四边形中求最大值问题】 8【考点四特殊平行四边形中动点问题】 15【考点五特殊平行四边形中点四边形问题】 23【典型例题】【考点一特殊平行四边形中求定值问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在边长为10的菱形中，对角线，则菱形的面积是____，若点O是线段上的动点，于E，于F．则____．【答案】【分析】连接，交于点，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，利用菱形的面积公式求出菱形的面积；连接，利用等积法，即可得解．【详解】解：连接，交于点，∵边长为10的菱形，对角线，∴，∴，∴，∴菱形的面积是，连接，∵于E，于F，∴，即：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．【变式训练】1．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________．

【答案】/【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接，

四边形是矩形，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．(1)连接，求证：．(2)求证：矩形是正方形．(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)的值是定值，定值为4．【分析】（1）根据正方形的性质以及边角边的关系证明即可得到结论；（2）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可证明矩形是正方形；（3）同（法判断出得到，即可求解．【详解】（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点，∴，，，∴，∴；（2）证明：如图，作，∴，∵点E是正方形对角线上的点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．∴矩形是正方形；（3）解：的值是定值，定值为4．理由：∵四边形、都是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．【考点二特殊平行四边形中求最小值问题】例题：（2023春·河南开封·九年级金明中小学校考阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为________．【答案】【分析】连接，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接，四边形是菱形，，，，，于点，于点，，四边形是矩形，，当取最小值时，的值最小，当时，最小，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是___．【答案】6【分析】作关于直线的对称点，过作于，则的最小值，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：作关于直线的对称点，过作于，则的最小值，四边形是矩形，，，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为___________．【答案】【分析】连接，，，交于，依据，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，的最小值为【详解】解：如图，连接，，，交于，四边形是菱形，，，，，，，，，是等边三角形，又是的中点，菱形的边长为，，，，中，，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、菱形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理，轴对称求线段和的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．3．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，矩形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为_____．【答案】5【分析】作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用已知可以得出长度不变，求出最小时即可得出四边形周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，G为边的中点，∴，由勾股定理得∶，即的最小值为5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．【考点三特殊平行四边形中求最大值问题】例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=，∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，∴点E是OC中点，∴CE=AC=，∵BC=4，BM=3，∴CM=1=BC，∵∠BCQ=45°，∴△MCQ为等腰直角三角形，∴CQ==，∴EQ=，∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【变式训练】1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为_________．【答案】【分析】连接、、，由已知条件得出（当点P是和的交点是取等号），再利用等边三角形的性质得出，进而求出最大值即可．【详解】解：连接、、交于点O，∵四边形是菱形，，,，，,，，,∴是等边三角形，∵点E为边的中点，,，，，，，即长的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定、垂直平分线的性质、直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线，构造等边三角形得出是解题的关键．2．（2023春·江苏常州·八年级常州实验初中校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为__．【答案】【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即．【详解】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，∵四边形ABCD是矩形，∴，，，∵点F是CD中点，点O是BC的中点，∴，，∴，∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点，∴，∵根据三角形三边关系可得：，∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为．故答案为：．【点睛】题目主要考查矩形的性质、勾股定理及三角形三边关系，作出辅助线及熟知三级形三边关系是解题关键．3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．

【答案】【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴，当在同一条直线上时，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等边三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴为的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．4．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在菱形中，，为正三角形，在菱形的边上．(1)证明：．(2)当点分别在边上移动时(保持为正三角形)，请探究四边形的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．(3)在(2)的情况下，请探究的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）先求证，进而证为等边三角形，得进而证，即可得；（2）根据可得，故根据即可解题；（3）当正三角形的边与垂直时，边最短．的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，又根据，则的面积就会最大．【详解】（1）证明：连接,则，∵，∴，∵，∴，

∵四边形是菱形，∴，∴为等边三角形∴，∴在和中，，∴∴．（2）解：由（1）得，则．故，是定值．作于点，则，；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形的边与垂直时，边最短．故的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小，又，则的面积就会最大．由（2）得，，．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，三角形面积的计算，本题中求证是解题的关键．【考点四特殊平行四边形中动点问题】例题：（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考期中）如图，在四边形中，动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．(1)当四边形是平行四边形时，求的值；(2)当为多少秒时，四边形是矩形；(3)在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由平行四边形的性质得出解出即可得出答案．（2）由矩形的性质得出解出即可得出答案．（3）由菱形的性质可求求出由勾股定理可求出答案．【详解】（1）当四边形是平行四边形时，（2）∵在梯形中，∴当时，四边形是矩形，∴当时，四边形是矩形．（3）如图，若四边形是菱形，则在中，【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等，熟练运用方程的思想方法是解此题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P运动时间为t秒．

（1）当t为___________时，四边形是平行四边形．（2）若M为线段上一点，且，当P运动______秒时，四边形的周长最小，它的最小值为_______．【答案】12【分析】（1）先求出，进而求出，再根据平行四边形对边相等列出方程求解即可；（2）如图所示，作点O关于的对称点E，过点E作，连接，则，四边形是平行四边形，，推出当A、M、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，由勾股定理得，则四边形的周长最小的最小值为12，求出直线解析式为，则当时，，建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，，∴，∵点D是中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，解得，∴当时，四边形是平行四边形；故答案为：；（2）如图所示，作点O关于的对称点E，过点E作，连接，∴，四边形是平行四边形，，∴，∴四边形的周长，∴当A、M、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，由勾股定理得，∴四边形的周长最小的最小值为12，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，当时，，∴此时，∴，解得，∴当秒时，四边形的周长最小，它的最小值为12，故答案为：，12．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线是解题的关键．2．（2023春·河南商丘·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，且DE=，AD=18，∠C=60°；（1）BC=________（2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t秒．①t=_______秒时，四边形PQED是矩形；②t为何值时，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）26；（2）①；②当t=或时，，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形，理由详见解析.【分析】（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函数值可求CE，进而可求CD，再利用等腰梯形的性质可求BC；（2）①先画图，由于四边形PQED是矩形，那么矩形的对边相等，于是PD=QE，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-4-3t，进而可求t；②有两种情况：（i）是PQ与AB构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得AP=BQ，再根据路程=速度×时间，可得3t=18-2t，进而可求t；（ii）是PQ与CD构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得PD=CQ，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-3t，进而可求t；③根据②中的两种情况，分别求出BQ、DP的值，再与邻边AB、CD比较，从而可判断不存在t值，使②中的平行四边形是菱形．【详解】∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，又∵∠C=60°，∴CE==4，∠EDC=30°，∴CD=2CE=8，∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABD是等腰梯形，∴BC=2CE+AD=8+18=26；故答案为26；（2）①设运动时间为t时，四边形PQED是矩形，如图，

∵四边形PQED是矩形，∴PD=QE，∴2t=26-4-3t，解得t=；故答案为；②有两种情况：（i）设运动时间为t时，线段PQ与AB构成平行四边形，如图，

∵四边形ABQP是平行四边形，∴AP=BQ，∴3t=18-2t，解得t=，（ii）设运动时间为t时，线段PQ与CD构成平行四边形，如图，

∵四边形PQCD是平行四边形，∴PD=CQ，∴2t=26-3t，解得t=，综上，当t=或时，，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形，（i）当t=时，BQ=3t=，而AB=CD=8，所以BQ≠AB，∴四边形ABQP不是菱形，（ii）当t=时，DP=2t=，而AB=CD=8，所以DP≠AB，∴四边形PQCD不是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定和性质，等腰梯形的性质，解题的关键是画出相关的图，根据图找出等量关系，进而求出t．3．（2023春·福建厦门·八年级厦门市莲花中学校考期中）在正方形中，点E是边上一动点，点F是边上一动点．(1)如图1，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两条线交于点G．①若，求证：四边形是菱形；②若，，，求四边形的面积．(2)如图2，若点M在线段上，，且，，的延长线相交于点N，问：在点E运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若有改变，请说明理由．【答案】(1)①见解析；②30(2)不变，【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到即可证得结论；②在图1中，延长到H，使，连接、，分别证明和得到，，，设，则，在中，由勾股定理求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得即可求解；（2）在图2中，设与相交于点O，连接、，∵四边形是正方形，先证明，得到，，进而证得是等腰直角三角形，得到，再根据三角形的中位线性质证得，可得到，可得结论．【详解】（1）①证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是正方形，∴，，又，∴，∴，∴四边形是菱形；②在图1中，延长到H，使，连接、，∵四边形是正方形，∴，，又∴，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，，设，则，在中，，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，由（1）知四边形是平行四边形，∴四边形的面积为；（2）解：不变，且．理由为：在图2中，设与相交于点O，连接、，∵四边形是正方形，∴，，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线性质等知识，解答的关键是添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【考点五特殊平行四边形中点四边形问题】例题：（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．(1)四边形EFGH的形状是．(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论．(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．【答案】(1)平行四边形(2)AC⊥BD，证明见解析(3)菱形，见解析【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理得到EH//BD，EH=BD，FG//BD，FG=BD，推出EH//FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足的条件时，四边形EFGH是矩形；（3）菱形的中点四边形是矩形，根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得EH∥FG，EH＝FG，进而得出四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形的性质证明EH⊥HG，可得平行四边形EFGH是矩形．【详解】（1）解：四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连结BD．∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH＝BD，同理FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：如图2，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD．（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：如图3，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH＝BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．(1)判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由；(2)如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】(1)中点四边形是平行四边形，理由见解析(2)四边形是菱形，理由见解析【分析】（1）连接，，利用三角形中位线定理可得，，，，则，，从而证明结论；（2）连接与，首先利用证明，得，然后由（1）同理可得答案．【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形，理由如下：连接，，∵，分别是，的中点，∴，，同理，，，∴，，∴中点四边形是平行四边形；（2）四边形是菱形，证明如下：连接与，∵与为等边三角形，∴，，，则，∴，在与中，，∴，∴，∵E，F，G，H分别是边，，，的中点，∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，∴，，，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是菱形．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等【分析】（1）先根据“SAS”证明，得出，，根据平行线的判定