初中数学中考复习讲义练习：探究动态几何问题

探究动态几何问题

【命题趋势】

数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以

运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的动

态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性

的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【满分技巧】

1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和

曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、面

动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为（1）动点类（点在线

段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。

2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的'变量”和“定量”动中求静，

即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动

与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。解决这类

问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解决运动

型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系

和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系。

3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等

腰（边）三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。全等

三角形存在问题，相似三角形存在问题等。

【限时检测】

A卷（建议用时：90分钟）

1.（2020•江苏南通市•中考真题）如图①，E为矩形ABC。的边上一点，点尸从点8出发沿折线8-E

-O运动到点。停止，点。从点8出发沿8C运动到点C停止，它们的运动速度都是lc//s.现P,。两点

同时出发，设运动时间为x（s）,ABP。的面积为y（由於），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形48CZ）

的面积是（）

A.96c7彦B.84cm2C.72cnflD.56cm2

【答案】C

【分析】过点E作EHLBC,由三角形面积公式求出EH=AB=6,由图2可知当x=14时，点P与点D重合,

则AD=12,可得出答案.

【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x=10,y=30,

过点E作EHLBC,

由三角形面积公式得：y=3BQ・EH=gxl0xEH=30,解得EH=AB=6,，BH=AE=8,

由图2可知当x=14时，点P与点D重合，

.•.ED=4,；.BC=AD=12,矩形的面积为12x6=72.故选：C.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键.

2.（2020•四川雅安市•中考真题）已知，等边三角形ABC和正方形。EFG的边长相等，按如图所示的位置

摆放（C点与E点重合），点5、C.b共线，,ABC沿8尸方向匀速运动，直到B点与F点重合.设运

动时间为f,运动过程中两图形重叠部分的面积为S,则下面能大致反映s与/之间关系的函数图象是（)

【答案】A

【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C

在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解.

【详解】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a,运动速度为1,

当点C在EF的中点左侧时，设AC交DE于点H,

则CE=t,HE=ECtanZACB=tx^/3t，贝US=SACEH=9xCExHE=?内义退1=5〃，

可知图象为开口向上的二次函数，当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE交于点M,

则EC=t,BE=a-t,ME=73BE=瓜a-t),

：.S=2a2-2(aT『=-^t2+6at-2片,可知图象为开口向下的二次函数;

42''24

当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，

SuYl/一立〃一々丫=一走/+吗/一@/,可知图象为开口向下的二次函数；

42'，24

当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，

此时BF=2a-t,MF=73BF=相(2a-t),：.S=^(2a-t)2二亭?-26at+2后，

可知图象为开口向上的二次函数；故选：A

【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进

而求解.

3.(2020•辽宁锦州市•中考真题)如图，在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点，过点P作PELBC

于点E.PFLAB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则尸石+尸尸的值为()

2448

A.4B.—C.6U.—

55

a__________P

二k

BEC

【答案】B

【分析】连接BP,通过菱形4BCD的周长为20,求出边长，菱形面积为24,求出SABC的面积，然后利用

面积法，SABP+SCBP=SABC,即可求出产E+尸E的值.

a___________D

Sk

BEC

【详解】解：连接BP,,・,菱形ABCD的周长为20,・・.AB=BC=20：4=5,

又•・•菱形ABCD的面积为24,・・・SABC=24：2=12,

又SABC=SABP+SCBP.**SABP+SCBP—12,—AB•PF-\—BC•PE=12,

22

1/、224

VAB=BC,：.-AB»（PE+PF）^12VAB=5,.\PE+PF=12xy=—.故选：B.

【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值.

4.（2020•内蒙古呼和浩特市•中考真题）如图，把某矩形纸片A3CD沿跖，GH折叠（点E、H在AD边

上，点F,G在3c边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A、D点的对称点为

讯若？FPG90?,八4^P为8,△£）中H的面积为2,则矩形ABCD的长为（）

A.6A/5+10B.6丽+5万C.375+10D.3厢+5收

【答案】D

【分析】设AB=CD=x,由翻折可知：PA,=AB=x,PD,=CD=x,因为AA,EP的面积为4,ADPH的面积为1,

推出DH=gx,由SADTH=gDPDH=gAPDH,可解得x=2&,分别求出PE和PH,从而得出AD

的长.

【详解】解：,/四边形ABC是矩形，；.AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,由翻折可知：PA,=AB=x,PD'=CD=x,

•.,△AEP的面积为8,ADTH的面积为2,又Y?FPG90?,ZA'PF=ZDTG=90°,

...NA'PD'=90°,则NA'PE+/D'PH=90°,二NA'PE=ND'HP,Z.AATP^ADTH,

.,.AT2：D'H2=8：2,.'.AT：D'H=2：1,VAT=x,，D'H=^-x,

2

,/SADTH=—DTD^—ATD-H,即、x,x=2,；.x=2正（负根舍弃），

2222

；.AB=CD=20,D'H=DH=夜，D'P=A'P=CD=20,A'E=2D'P=4夜，

•••PE=小国+（2行『=2如，PH=J（20『+（可=M，

•••AD=472+2710+710+72=572+3710.故选D.

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.（2020•湖南邵阳市•中考真题）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：（1）将ZM沿DP向内折叠，使

点A落在点A处，（2）将。尸沿向内继续折叠，使点P落在点，处，折痕与边AB交于点若

PXMLAB,则NDRM的大小是（

A.135°B.120°C.112.5°D.115°

【答案】C

【分析】由折叠前后对应角相等且N4〃A=90可先求出/。孙=NDMA=45,进一步求出

ZADM=45，再由折叠可求出=NPD"=22.5,最后在片”中由三角形内角和

定理即可求解.

【详解】解：：折叠，且N《M4=90,：.ZDMP^ZDMA=45,即ZAOM=45，

•/折叠,：.NMDR=ZADP=ZPDM=|ZADM=22.5,

.•.在AD叩0中，ZDP{M=1SO-45-22.5=112.5,故选：C.

【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对

应边相等，对应角相等即可解题.

6.（2020•重庆中考真题）如图，三角形纸片A3C,点。是BC边上一点，连接AD,把△ABD沿着AD翻

折，得到.AED，OE与AC交于点G,连接8E交AO于点?若£)G=GE,AF=3,BF=2,_ADG

D・乎

【答案】B

【分析】首先求出aABO的面积.根据三角形的面积公式求出。凡设点尸到8。的距离为〃，根据二喈£>咕

2

=--BF-DF,求出8。即可解决问题.

2

【详解】解：-：DG=GE,...S“DG=SAAEG=2,：.S^ADE=4,

由翻折可知，｛,ADB^^ADE,BE±AD,.•.SAAB»=SAADE=4,NBFD=9。。,

：.—•（AF+DF）-BF=4,：.—•（3+DF）・2=4,：.DF^1,

22

:.DB=SJBF-+DF-=Vl2+22=75，设点F到BD的距离为h,

II,氏

则一噌力坊:一噌八。F,故选：B.

225

【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

7.（2020•山东聊城市•中考真题）如图，在RtZkABC中，AB=2,ZC=30°,将Rt/XABC绕点A旋

转得到RtAAB'C',使点3的对应点E落在AC上，在5'C'上取点。，使3'。=2,那么点。到的

距离等于（）.

C.#)—1D.73+1

【答案】D

【分析】根据旋转的性质和30。角的直角三角形的性质可得的长，进而可得3'C的长，过点Z）作。M

于点M,过点3'作于点E，B'F工DM于点F,如图，则四边形5'瓦监是矩形，解R3

B'EC可得的长，即为EW的长，根据三角形的内角和易得N67W=/C=30。，然后解RtAB'DE可

求出。尸的长，进一步即可求出结果.

【详解】解：在RtAABC中，；AB=2,ZC=30°,：.AC=2AB=4,

,/将RtAABC绕点A旋转得到RtAA'B'C',使点3的对应点3'落在AC上，

：.AB'=AB=2,：.B'C=2,过点£>作。于点过点3‘作B,E，3C于点E,B'F上DM于

点、F,交AC于点N,如图，则四边形5'石Mb是矩形，，府=5'E,

在RtABrEC中，BE=B'C,sin30°=2x—=1,FM=1,

2

・.・/DB'N=ZCMN=90°,ZBfND=ZMNC,:.ZBrDN=ZC=30°,

在RtAB'DE中，DF=B'Dcos3Q°=2x—=s/3,：.DM=FM+DF=1+^/3，

2

即点。到BC的距离等于G+L故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌

握解直角三角形的知识是解题的关键.

8.（2020•浙江九年级一模）如图，已知矩形ABC。中，AB=6,BC=4,点E为A8边上的中点，点F在BC

边上，且8尸=1,动点P从点E出发沿直线向点产运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入

射角，经过若干次反弹，当动点P第一次回到点E时，动点尸所经过的路程长为（）

A.8710B.16+8丽C.16^/10D.16+12所

【答案】A

【分析】利用反射角等于入射角画出动点的运动轨迹，再证四边形OP5EF和OP2P3P4为菱形，然后利用等

角对等边证出两个菱形的边都相等，再用勾股定理计算即可.

【详解】如下图蓝色线为动点的运动轨迹，可发现动点P第一次回到点E时共弹出六次.

D

;入射角等于反射角，AD〃BC,AB/7DC.*.Z1=Z2=Z3=Z4,Z5=Z6,Z7=Z8=Z9=Z10,Z11=ZFEB

又：N4+/5=90°,Z6+Z7=90°,N10+N11=90°

Zl=Z2=Z3=Z4=Z7=Z8=Z9=Z10,N5=/6=N11=NFEB

由/l=/8,/3=N10；.EF〃P5P4,P5E〃P2PF所以四边形OP5EF为平行四边形，

ZA=ZB=90°

在小P5AE和4FBE中\AE=BE/.AP5AE^AFBE（ASA）所以AE=EF

Zll=/FEB

四边形OP5EF为菱形同理可证四边形OP2P3P4为菱形又:N2=N8；.OP4=OF.•.两个菱形的边都相等，

22

在RtAEFB中FF=A/FB+BF=V1O故动点尸所经过的路程长为8故选A

【点睛】此题考查的是入射角等于反射角，矩形的性质，菱形的判定及勾股定理.

9.（2020•河北石家庄市•九年级其他模拟）如图，及AABO中，ZBAO=90°,OA=6,OB=10,以点

。为圆心3为半径的优弧MN分布交Q4,08于点M，N点尸优弧加V上的动点，点C为防的中点，

则AC长的取值范围是（）

A.Z<AC<12B,2<AC<2C.叵<AC（旦D.mAC（药

2222210210

【答案】D

【分析】首先根据勾股定理求得AB=8,然后根据ANOEABQ4的性质求得NE和OE的长，当点P在M

处时，AC有最小值，此时=在R/AE钻中应用勾股定理即可求解；当P在点N处时，AC有

2

最大值，根据AC"OMAO的性质求出CF、FO、AF,然后在R/AACF中应用勾股定理即可求解.

【详解】V0A=6,OB=10,0N=0M=3Z.AM=0A-0M=3

.,.在RA4B0中，AB=^OB1-QA2=8过N点作NEJ_Q4于点E

:.ZNEO=ZBAO=90°又,：/NOE=/BOA：.处IOEABOA

NONEOE3NEOE12八「9

BOBAOA108655

当点P在点M、N处时，AC分别有最小值和最大值；当点P在M处时，AC有最小值

是BP的中点，NB4P=90°/.AC=-BP

2

...在HfAR短中，BP=y/AB2-AP2=773,4。=晋

当P在点N处时，AC有最大值AZCFO=ZBAO=90°

.coCFFO

,/ZCOF=ZBOAACFOABAO

"BO~BA~~OA

:.CP=LBP=L,OC=—CF=—,FO=—

222510・"4

在比AACF中，AC=yjAF2+CF2=^3145综上所述，叵4ACV叵亘故选D.

10210

【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，题目较为综合，难度较大，根据题

意讨论两种情况是本题的关键.

10.（2020•洛阳市第二外国语学校九年级二模）如图1,在AABC中，ZB=90°,ZC=30°,动点尸从点8

开始沿边54、AC向点C以恒定的速度移动，动点。从点B开始沿边向点C以恒定的速度移动，两点

同时到达点C,设ABP。的面积为y（"?）.运动时间为无（s）,y与尤之间关系如图2所示，当点尸恰好

为AC的中点时，PQ的长为（）

A.2B.4C.273D.473

【答案】C

【分析】点P、Q的速度比为3：、耳，根据x=2,y=6G，确定P、Q运动的速度，即可求解.

【详解】解：设ZC=30°,则AC=2a,BC=73a,设尸、。同时到达的时间为T,

则点尸的速度为牛，点。的速度为半，故点P、。的速度比为3：日

故设点P、。的速度分别为：3丫、73v,

由图2知，当x=2时，y=6石，此时点P到达点4的位置，即AB=2x3v=6v,BQ=2x6v=24v,

y=gxABx_BQ=gx6Vx26V=66，解得：v=l,

故点尸、。的速度分别为：3,AAB=6v=6=a,则AC=12,8c=66，

如图当点P在AC的中点时，PC=6,此时点P运动的距离为4B+AP=12,需要的时间为12+3=4,

贝UBQ=Gx=4后，CQ=BC-BQ=66-46,过点尸作尸HLBC于点”，

PC=6,贝UPH=PCsinC=6xg=3,同理CH=3石，则HQ=CH-CQ=36-2布=布,

PQ=,PH?+HQ2=7^7?=26,故选：C.

【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进

而求解.

11.(2020•江苏无锡市•九年级其他模拟)如图，动点〃从(0,3)出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速

度向下移动，同时动点N从(4,0)出发，沿X轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点”移动到。点

时，点M、N同时停止移动.点尸在第一象限内，在A/、N移动过程中，始终有PMLPN,且

PM=PN.则在整个移动过程中，点尸移动的路径长为()

【答案】A

【分析】由题意过P点作交于D点，作PELOAf交于E点，并利用全等三角形判定

PEM三PDN(AAS),得出PE=PD，从而分当方=0时，有M(0,3),N(4,0),设P点坐标为(加,机)

以及当/=3时，有M、O(0,0),N、H(10,0),设P点坐标为(",")，求出P点坐标，继而由点P移

动的路径为一条线段利用两点间距离公式求得点尸移动的路径长.

【详解】解：由题意过P点作PZ),ON交于D点，作尸交于E点，如图，

VPMLPN,ZNPD+ZDPM=ZDPM+ZEPM,：.ZNPD=ZEPM,

/NPD=ZEPM

••1<ZPEM=ZPDN=90°,.♦.一PEMmPDN(AAS)，即有尸E=,由题意可知0WfW3,

PM=PN

当才=0时，有M(0,3),N(4,0),设P点坐标为(机,加)，

由尸E=?D，即有(机―07+(m—3)2=(机—4y+(〃z—0)二解得力=57,即此时P点坐标为(7],]7)；

当/=3时，有M、O(0,0),N、H(10,0),设P点坐标为("/),

由FM=PN即图上PO=PW,即有（“一0）2+（“一0）2=（“一10）2+（“一0）2,

解得〃=5,即此时P点坐标为（5,5）；由图可知点尸移动的路径为一条线段，

则点P移动的路径长为：+〔5—£|二^行.故选：A

【点睛】本题考查平面直角坐标系点的运动问题，熟练掌握全等三角形的性质和判定以及两点间距离公式

是解题的关键.

12.（2020•安徽）边长为4、中心为。的正方形ABCD如图所示，动点尸从点A出发，沿

Af5fCfDfA以每秒1个单位长度的速度运动到点A时停止，动点。从点A出发，沿

AfDfC—5fA以每秒2个单位长度的速度运动一周停止，若点尸，。同时开始运动，点尸的运动

时间为C，当0</<16时，满足OP=OQ的点P的位置有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

【答案】B

【分析】依次取AB,BC,CD,ZM的中点石，F,G,H,连接OE,OF,OG,OH.由题意可知，当

点尸与点。到各自所在边的中点的距离相等时，OP=OQ,则有六种情况，分类列式计算求出t的值，即

可解答本题.

【详解】解：依次取AB,BC,CD,ZM的中点E,F,G,H,连接OE,OF,OG,OH.

根据题意，得点尸运动的路程为1，当0</Wl时，点Q运动的路程为21.

分析题意可知，当点尸与点。到各自所在边的中点的距离相等时，OP=OQ.

当0<fWl时，显然OP/OQ；

②当1</W2时，如图（1）,点P在AE上，点Q在BD上，PE=2-t,QH=2r—2,

4

由2—t—2t—2,得t

3

③当2</W4时，如图（2）,点尸在座上，点。在。C上，PE=t-2,QG=|2?-6|,

由/—2=|2/—6|,得/=4或/=|；

④当4<f46时，如图（3）,点尸在5斤上，点。在上，PF=6-t,QF=\lt-lQ\,

由6—/=10|,得/=4（舍去）或”修；

⑤当6</W8时，如图（4）,点尸在尸C上，点。在AB上，PF=t-6,QE=\2t-14\,

由r—6=|2,一14|,得/=8或/=言；

⑥当出8时，点Q停在点A处，因此当8<f<16时，OQ=OA=OD,只有1=12时满足8=00.

综上，满足条件的点尸的位置有7个，故选：B.

【点睛】本题结合动点考查考生空间想象的能力与分析问题、解决问题的综合能力，体现了逻辑推理、数

学运算的核心素养.分析题意时，需注意时间/的取值范围不含。和16,第8s后点。停止运动，且与点A

重合.

13.（2020•黑龙江大庆市•中考真题）如图，等边AABC中，AB=3,点。，点七分别是边BC,C4上的

动点，且血=。石，连接A。、BE交于点F,当点。从点3运动到点C时，则点E的运动路径的长度

【分析】如图，作过A、B、F作。O，AEB为点F的轨迹，然后计算出,AFB的长度即可.

【详解】解：如图：作过A、B、F作。O,过O作OGLAB:等边AABCAB=BC,NABC=NC=60。

BD=CE/.△BCE^AABC/.ZBAD=ZCBE

•・•ZABC=ZABE+ZEBC=60°ZABE+ZBAD=60°AZAFB=120°

•・,NAFB是弦AB同侧的圆周角・•・ZAOB=120°

VOG±AB,OA=OBAZBOG=ZAOG=^-ZAOB=60°,BG=AB=|-AZOBG=30°

设OB=x,则06=9二/一=图

解得X二6"或x=-Q（舍）

.•"的长度为型小=雪.故答案为：*.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意

确定点F的轨迹是解答本题的关键.

14.（2020•广西中考真题）如图，在边长为26的菱形ABCD中，ZC=60°,点E,尸分别是A3,AO上

的动点，且尸,。石与8尸交于点尸.当点E从点A运动到点3时，则点尸的运动路径长为.

4

【答案】一万

3

【分析】根据题意证得V577注VDE4,推出NBPE=60。，ZBPD=120°,得到C、B、P、D四点共圆,

知点尸的运动路径长为访的长，利用弧长公式即可求解.

【详解】连接BD,：菱形ABC。中，ZC=60°,.,.ZC=ZA=60°,AB=BC=CD=AD,

AABD和ACBD都为等边三角形，；.BD=AD,ZBDF=ZDAE=60°,

VDF=AE,：.VBFD^DEA,/.ZDBF=ZADE,

A

•・・NBPE二NBDP+NDBF=NBDP+NADE=NBDF=60°,ZBPD=180°-ZBPE=120°,

VZC=60°,・,・NC+NBPD=180。，：.C.B、P、D四点共圆，即。。是_CBD的外接圆，

・•・当点£从点A运动到点5时，则点尸的运动路径长为应）的长，・・・NBOD=2NBCD=120。，

作OG_LBD于G,根据垂径定理得：BG=GD=^BD二百，ZBOG=-ZBOD=60°,

22

•••sin/BOG=空，iPsin60°=—.：.OB=2,从而尸点的路径长为@=2土竺±=.

OBOB1800180°3

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的

性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹.

15.（2020•内蒙古鄂尔多斯市•中考真题）如图，已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点（不与

点A重合），且AM<AB,ACBE由△DA"平移得到，若过点E作EHLAC,H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得/DHC=60。时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=J^HM；

③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形;④无论点M运动到何处，ZCHM一定大于135°.

以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）.

【答案】①②③④

【分析】①正确.证明NADM=30。，即可得出结论.②正确.证明ADHM是等腰直角三角形即可.

③正确.首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM>CD即可判断.

④正确.证明NAHMVNBAC=45。，即可判断.

【详解】解：如图，连接DH,HM.

由题可得，AM=BE,，AB=EM=AD,:四边形ABCD是正方形，EH1AC,

；.EM=AD,ZAHE=90°,ZMEH=ZDAH=45°=ZEAH,

.\EH=AH,.".AMEH^ADAH(SAS),/.ZMHE=ZDHA,MH=DH,

.•.NMHD=NAHE=90。，ADHM是等腰直角三角形，.•.DM=0HM,故②正确；

当/DHC=60°时，ZADH=600-45°=15°,.\ZADM=45O-15°=30°,

.♦.RSADM中，DM=2AM,即DM=2BE,故①正确；

：CD〃EM,EC//DM,四边形CEMD是平行四边形，

VDM>AD,AD=CD,；.DM>CD,.•.四边形CEMD不可能是菱形，故③正确，

:点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AMVAB,

.".ZAHM<ZBAC=45°,/.ZCHM>135°,故④正确；由上可得正确结论的序号为①②③.

故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形

30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

16.(2020•湖北鄂州市♦中考真题)如图，半径为2cm的：。与边长为2cm的正方形ABCD的边A3相切

于E,点F为正方形的中心，直线OE过歹点.当正方形ABCD沿直线以每秒(2-6)cm的速度向左

运动秒时，0。与正方形重叠部分的面积为I1^-V3jcm2.

【答案】1或11+6G

【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题

意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类

讨论.

【详解】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA,OB,AB交OF于点E

此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OAB-SAOAB

由题意可知：OA=OB=AB=2,OF_LAB；.Z\OAB为等边三角形.•.NAOB=60。，OEXAB

1「

在Rt^AOE中，ZAOE=30°,：.AE=-OA^1,OE=，3

AQTT，,21n

•••S扇形OAB-SAOAB=--------------一仓2=一兀-6，0F=6+1

36023

LL2-J3

...点F向左运动3-(岔+1)=2-岔个单位，所以此时运动时间为一1=1秒

2-V3

②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC,OD,CD交OF于点E

此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-S/IOCD

由题意可知：OC=OD=CD=2,OF_LCD・・・Z\OCD为等边三角形JNCOD=60。，OEXCD

1厂

在Rt^COE中，ZCOE=30°,.\CE=-OC=1,OE=J3

AC7r，02iQ

'S扇形OCD-SAOCD=-----------仓必立=—7i-6OF=^/3+1

36023

•••点F向左运动3+(K+l)=4+G个单位，所以此时运动时间为匕金=11+66秒

2-V3

综上，当运动时间为1或11+66秒时，。。与正方形重叠部分的面积为:兀-6(cn?)

故答案为：1或11+6档.

【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情

况讨论是本题的解题关键.

17.（2020•江苏宿迁市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=JLP为AD上一个动点，连接

BP,线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ,当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平

【分析】由矩形的性质求出/ABQ=120。，由矩形的性质和轴对称性可知，ABOQ之△DOC,根据S阴影部分=$

四边形ABQD-S序形ABQ=S四边彩ABOD+SABOQ-S扇形ABQ可求出答案.

【详解】：当点P从点A运动到点D时，线段BQ的长度不变，

.•.点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，

:矩形ABCD中，AB=1,AD=g,AZABC=ZBAC=ZC=ZQ=90°,

AZADB=ZDBC=ZODB=ZOBQ=30°,AZABQ=120°,由轴对称性得：BQ=BA=CD,

ZBOQ=ZDOC

在ABOQ和ADOC中，＜ZQ=ZC=90°,/.ABOQ^ADOC,

BQ=CD

S阴影部分=5四边形ABQD-S扇形ABQ二S四边形ABOD+S^BOQ-S扇形ABQ,二S四边形ABOD+SACOD-S扇形ABQ,

120；rX1

二s矩形ABCD一SAABQ=1x73--=43--.故答案为：73--.

36033

【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

18.（2020•内蒙古通辽市•中考真题）如图①，在jABC中，A3=AC,NR4C=120。，点E是边A3的

中点，点尸是边上一动点，设尸C=x，尸A+PE=y.图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上

的最低点..那么a+力的值为

【答案】7

【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D,证明四边形ABCD为菱形，得到点A和

点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE,推出当P,D,E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察

图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=31^，分别求出PA+PE的最小值为3,PC的长，即可得到结果.

【详解】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D,

可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC,.•.四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称,

，PA+PE=PD+PE,当P,D,E共线时，PA+PE最小，即DE的长，

观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=3后，

•.•点E是AB中点，/.BE+BD=3BE=373，•*-BE=豆，AB=BD=2出，

VZBAC=1200,AZABD=(180°-120°)+2x2=60°,；.△ABD为等边三角形，

ADE±AB,ZBDE=30°,；.DE=3,即PA+PE的最小值为3,即点H的纵坐标为a=3,

PBBE

当点P为DE和BC交点时，；AB〃CD,AAPBE^APCD,/.——=——，

PCCD

•.•菱形ABCD中，AD±BC,；.BC=2x=6,,解得：PC=4,

即点H的横坐标为b=4,；.a+b=3+4=7,故答案为：7.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数

形结合的思想解答.

19.（2020•内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形。钻C的顶点。与坐标原点

重合，点C的坐标为（0,3）,点A在X轴的正半轴上.直线y=x-1分别与边相交于两点,

反比例函数y=2（x>0）的图象经过点。并与边相交于点N,连接点尸是直线上的动点,

X

当CP=MN时，点尸的坐标是.

【分析】根据正方形的性质以及一次函数表达式求出点D和点M坐标，从而求出反比例函数表达式，得到

点N的坐标，求出MN,设点P坐标为（m,m-1）,根据两点间距离表示出CP,得到方程，求解即可.

【详解】解：:正方形OABC的顶点。与坐标原点重合，点C的坐标为（0,3）,；.B（3,3）,A（3,0）,

:直线y=x-l分别与边AB,OA相交于D,M两点，，可得：D（3,2）,M（1,0）,

女6

•••反比例函数y=々*>0）经过点D,k=3x2=6,.•.反比例函数的表达式为>=—,令y=3,解得：x=2,

xx

点N的坐标为（2,3）,MN-^（2-1）2+（3-0）2=V10-

:点P在直线DM上，设点P的坐标为（m,m-1）,/.CP=^（m-0）2+（m-l-3）2=M，

解得：m=l或3,.•.点P的坐标为（1,0）或（3,2）.故答案为：（1,0）或（3,2）.

【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离，反比例函数图象上

点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式.

20.（2020•上海中考真题）如图，在"BC中，A8=4,BC=1,ZB=60°,点。在边8C上，CD=3,联结AD.如

果将沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E,那么点E到直线BD的距离为.

A

BD

【答案】巫.

2

【分析】过E点作EHLBC于H,证明AABD是等边三角形，进而求得/ADC=120。，再由折叠得到NADE=

ZADC=120°,进而求出/HDE=60。，最后在RtAHED中使用三角函数即可求出HE的长.

【详解】解：如图，过点E作即，BC于

,:BC=7,CD=3,：.BD=BC-CD=4,U：AB=4=BD,ZB=60°,二△A3。是等边三角形,

9

ZADB=60°,：.ZADC=ZADE=120°f：.ZEDH=60°,：EH_LBCf：.ZEHD=90°,

•:DE=DC=3,.•.EH=DExsinNHDE=3xKE=2^,到直线8。的距离为£1.故答案为：之叵.

2222

【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出NADE=/ADC=120。,

另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等.

21.（2020•浙江杭州市•中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把5CE沿直线CE对折，使点

B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2,则DF=,BE=.

【答案】2V5-1

【分析】先根据矩形的性质得到AD=5C,ZADC=ZB^ZDAE^90°,再根据折叠的性质得到

CF=BC,NCFE=ZB=90。,EF=BE,然后根据全等三角形的性质得到。尸=AE=2；最后根据

相似三角形的性质即可得BE的值.

【详解】•••四边形ABCD是矩形40=5。，ZADC=ZB=ZDAE=90。

:把.BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处

ACF=BC,NCFE=ZB=90°,EF=BE：.CF=AD,NCFD=90°

ZADE+ZCDF=ZFCD+ZCDF=90°:.ZADE=ZFCD

ZADE=ZFCD

在「ADE和，FCD中，<AD=RC^ADE^FCD（ASA）:.DF=AE=2

ZDAE=ZCFD=90°

•：ZAFE=ZCFD=90°，ZAFE=ZDAE=90。；ZAEF=ZDEA"AEF〜QEA

2

•_A_E_=_E__F_即nn____A_E____—_E__F_._______—_E__F_

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