七年级数学重点知识点梳理总结

整式

第一节整式的概念

【知识要点】

1.字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性。从具体的数过渡到用字母表示数,

渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式。

2.列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来。

3.代数式的值:列代数式解决问题时，往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式

的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面。

4.整式：最简单、最基本的代数式

(1)单项式：由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式。单独的一个数或一

个字母也是单项式。

(2)多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个

字母降哥排列，反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这

个字母升累排列。

如：多项式5x3y-y4-3xy3+2x2y2-l按y的降幕排列为

-/-3孙3+2x'y2+5x3y-7,按y的升幕排列为—7+5dy+2%2/-3xy3-y4=

1.用字母表示数

【例1】黑板的长为2.5米，宽为6米，则他的面积和周长分别是多少？

【分析】本题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。

【解答】面积=2.5x6=2.5伏米2)周长=(2.5+b)x2=2(b+2.5)(米)

【例2】请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等。

【解答】加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：axb=bxa

乘法结合律：(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配律：(a+b)xc=ac+bc

【例3】设某数为工米，用工表示下列各数：

(1)某数的平方的相反数；(2)比某数的三倍大7；(3)7加上某数的和的三倍

(4)某数与5的和除以某数；(5)某数的1』倍减去2的差

3

【解答】(1)——；(2)3x+7；(3)3(7+x)；(4)^^；(5)-x-2；

x3

【例4】观察下列格式：第一式：Ix2x3x4+1；第二式：2x3x4x5+4；第三式：

3x4x5x6+9；第四式：4x5x6x7+16；用含字母"的式子表示第"个式子

【例5】如图9-1,边长为m的正方形卡片，四个角上分别剪去一个边长为a的正方形

m>2n,然后折成一个无盖的长方体盒子，如图9-1,试写出计算这个无盖长方

形的体积和表面积的公式

图9-1

【解答】

由图9-1可知，无盖长方体的底面为有阴影的正方形，它的边长为机-2〃，所以长方体的

底面积为(〃?-2〃)2,该长方形的高为〃，故长方体的体积公式为:

V=n(tn-2«)2

无盖长方体的表面由一个正方形底面和四个矩形侧面所组成。每个矩形的长、宽分别为

〃2-2〃和〃面积为〃(加一2")，而底面积为(相一2"y,所以其表面积的公式为：

S=(m-2nf+4n(m-2n)

2.代数式

【例1】下列各式,那些是代数式?

①x+6@b+a2="+b@4x+l>7@b⑤0

⑥——X⑦4a+3w0@23-6⑨8m+2〃<0

3

【解答】①、④、⑤、⑥、⑧是代数式

【例2】用代数式表示:

(1)汽车每小时行驶60千米，f小时行驶千米；

(2)哥哥今年。岁，比妹妹大Z?岁，妹妹今年岁；

(3)“行树一共有机棵，平均每行数有棵；

(4)某件商品原价x元，春节期间以8折出售，则打折后售价为

____________元；

3

(5)x与y和的平方的1三倍；

(6)如图正方形的边长为。，求阴影部分的面积S；图9-2

【解答】(1)60r；(2)a-b；(3)—；(4)80%x；

n

(5)：(x+y)2；(6)5=2义乃仁)-a1=~a2~02

【例3】请展开联想，结合你的实际生活，设计具体情境，解释代数式(1+20%》可表示

什么实际意义？代数式2炉又可代表什么实际意义？

【解答】本题答案不唯一，这里只给一个范例

(1)若a表示某工厂第一年的产值，第二年产值增加20%,则(1+20%必表示此工厂

第二年的产值

(2)若x表示正方形的边长，则/表示正方形的体积，则2/表示2个边长为x正方

形的体积；

【例4】一个三位数，他的百位上的数字式尤，十位上的数字比百位上的数字的2倍多3,

2

个位上的数字比百位上的数字的♦少2,则这个三位数可表示多少？

3

【例5】如图，一个长方形恰好被分成六个正方形，其中最小的正方

形A的变长为1，求这个长方形的长和宽。

【解答】设正方形2的边长x,则正方形C、D、E、E的边长分别为(x-1)、(x—2)、(%—3)、

U-4)

由长方形对边长相等，可得2(x—3)+(%—2)=%+(%—1)

解得：x=7

所以，长方形的长为7+(7—1)=13,宽为7+(7—3)=11

答：所求长方形的长为13,宽为11。

【例6】我国政府为解决人民群众看病难，决定下调药品价格。某种药品在1999年涨价30%

后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前的价格为元。

【解答】因为该药品经过两次调价后的价格是。元，而所求的问题是第一次调价前的价格，

可

以用逆向思维的方法来解：因为2001年降价70%至。元，所以降价前的价格应为

—--=—«,用同样的方法可列出第一次调价前的价格为

1-70%30

100+(1+30%),整理得詈。

------CL

30

3.代数式的值

【例1】当a=23=—1,。=一3时，求下列各代数式的值

(1)b—4ac；(2)(i+Z?+c~+2ab+2bc+2ac；(3)(ci+Z?+c)?

【解答】当a=2力=—l,c=—3时

(1)b2-4GC=(-1)2-4x2x(-3)=1+24=25

u+b+c"+2ab+2bc+2ac

2

22+(-l)2+(-3)2+2x2x(-1)+2x(-1)x(-3)+2x2x(-3)=4

(3){a+b+cY=(2—1—3)2=4

【例2】挖一条长为尤的水渠，渠道的截断面是等腰梯形，如图

9-4,梯形的底分别为a、b,水渠深72,若耳

x=200m,a=6m,b-4m,h-1.5m。求挖这条水渠的

土方量

图9-4

【解答】水渠的土方量V=g(a+b)/zx

当x=200m,a=6m,b=4m,h=1.5m时，

11a

v=+初而=5(6+4)X1.5X200=1500(加3)

答：求挖这条水渠的土方量为1500n?

【例3】己知叶上=4,求代数式匕4七2的值

x-yx-yx+y

3与0互为倒

【分析】本题由于无法知道苍y的值是多少，所以只能用整体代入,

x-yx+y

数,

所以上上=再将它们一起代入就可以求出代数式的值。

x+y4

【解答】^^-4^^=4-4x-=3

x-yy4

4.整式

【例1】下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？

347c2714c72c,2a-b_.

——x3,——a+。，3xy,abc,---,---3b,2a+l,-----,3x2—2x+1,

53223

2

x

【解答】单项式有：—3%2人,--

52

AzyDa—h

多项式有：一一a+b,--3b2,2a+l,3x2-2x+l

323

3

整式：除巳外，其余都是整式。

X

【例2】指出下列各单项式的系数和次数：

123xyz°5欣3y4

—x,-----,a,

579

【分析】根据单项式的次数和系数的意义来确定

【解答】-工/的系数是-』，次数是2；

55

—包上的系数是-3,次数是3；

77

a的系数是1,次数是1；

y的系数是二,次数是7；

99

【例3】多项式5y4_/+3/丁—gj^2_5x2y3是几次几项式？并按字母x的降幕排列

和字母y的升哥排列。

【解答】5y4-x4+3x3y-1^2-5x2y3是五次五项式。

按字母X的降幕排列：—X4+3/y—5/y3—g冲2+5y4

按字母y的升幕排列。—x4+3x3y—gxy2—5炉/+5y4

【例4】尤=2时，多项式a/—法+1的值等于一17,那么当x=—1时，多项式

12办—3施3+5的值等于多少？为什么？

【解答】因为x=2时，多项式a/—+1的值等于—17,

所以ax23—6x2+1=—17,即4a—》=—9。

当无=一1时，12«%-3笈3+5=-12a+30+5=-3(4。一5)+5=27+5=32

【例5】若多项式6/+2—%2-”+2是三次二项式，求代数式2〃+1的值。

【分析】多项式6%"+2-+2是三次二项式，但最高次项有两种可能，可能是6尤"+2也

可

能是-/一〃，所以本题要分情况讨论。

【解答】(1)当6%"+2是最高次项，则〃+2=3,〃=1,贝U，〃2—2〃+1=0

(2)当—是最高次项，则2—〃=3,〃=—1,则“2—2〃+1=4

【例6］当a<Z?<c,x<y<z时，下面4个代数式的值的最大值()。

(A)ax+by+cz(B)ax+cy+bz(C)bx+ay+cz(D)bx+cy+az

【分析】条件和结论的联系不明显，题目本身很抽象，如何变抽象为具体，根据题目所给的

条

件，用一些特殊值代替抽象的字母进行计算，从而选择出正确的答案。

【解答】取a=x=-l,b=y=0,c=z=l,比较可得(A)选项是最大的。

【点评】特殊值法是一种化抽象为具体的数学方法。

第2节整式的加减

【知识要点】

1.同类项的含义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。

所有的常数项都是同类项

2.整式的加减：

去括号法则：

①括号前是“+”号，把括号和他前面的“+”号去掉后，括号理各项的符号都不改变

②括号前是“一”号，把括号和他前面的“一”号去掉后，括号理各项的符号都要改变

如：3+(tz—Z?)=3+<7—Z?；3—(tz-b)=3—ci+b

括号前有系数时去括号的方法：

若代数式如3a+29+2),括号前有系数，应先进行乘法分配律，再去括号。

注意：①去括号时，括号与前面的“+”号或“一”号一起去掉

②括号前有数字因数，应把它与括号内各项相乘，切忌漏乘

二、同类项、合并同类项

所含的字母相同并且字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作

为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

两个相同：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同，两者缺一不可。

两个无关：(1)同类项与系数大小无关；(2)同类项与它们所含相同字母的顺序无关。

三、去括号与添括号

(1)去括号法则：括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项都不改变

符号；括号前是去掉括号和它前面的号，括号里各项都改变符号。

(2)添括号法则：添括号，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，括号前

面是括到括号里的各项都改变符号。

【典型例题】

1.合并同类项

【例1】合并同类项：

(1)6xy—3%2—4X2y—5yx^+；(2)x—3x2—7x—x2—5；

【分析】按照合并同类项的步骤进行即可。

【解答】(1)原式=6孙+(—312+犬2)+(—4%2丁—5yx2)

=6xy+(-3+l)x2+(-4-5)/2

=6xy-lx1-9yx^

(2)原式=(九一7%)+(―3%2—%2)—5——6x—4元2—5

【例2】合并下列各式中的同类项:

(13(〃+Z?)—5(〃+Z?)+a+b2)

2(x-2yy-4(2%—y)+(x—2y)2-3(2x-y)

【分析】分别把(a+»,(%—2y),(2尤—y)看成一个字母。比如a+)=/,那么(1)可以

化成

3t-5t+t=-t,应用合并同类项就十分自然了

【解答】(1)3(。+勿一5(a+b)+a+Z?=(3—5+l)(a+b)=—(a+b)；

2(x-2y/-4(2x-y)+(x-2y)2-3(2x-y)=

⑵=(2+l)(x-2»+(-4-3)(2x-y)；

=3(x—24—7(2x—y)

【例3】求下列各式的值

(1)3x2y-2xy-10xy~-2xy~-4x2y+x~y+2xy；

(2)一x~—x+0.2%3+0.25x—0.5x~—x3+0.5x—1,算j中x=—

24513

【分析】题目中给出的多项式含有同类项，先合并同类项再代入数值计算比较好。

【解答】(1)原式=(3—4+l)x2y+(—2+2)孙+(—10-2)孙2=—12旬2

13

当X=—±,y=19时,

34

/一、rzzzrt、1711Q11O131<1t

(2)原式二-X----XH—X-\—X----X—X~\—X—1——X—1

24542522

121127

当％=上时，原式=上—1=—

1321313

7—4-1勿7

【例4】如果4/Ty8与-/是同类项，求竺的值

4n

7-+i

【解答】•••4》1：/与一13;2%3是同类项

〃-1二3,—1-1=8

2

〃=4,机=14,%=

n42

【例5】代数式"+2kab+b1一6次?+9不含次?项，求k的值。

【分析】要使代数式不含a〃项，将式中的2人次?与-6〃匕两项看作同类项，合并后使ab的

系数为0,即可求出左值。

【解答】a2+2kab+b--6ab+9a2+(2k-6)ab+b2+9

因为代数式中不含有ab项，所以2左—6=0,即左=3

【例6】在多项式2006。»"+2007x"'y'T+2008屋»2'—2009/+、3中（其中机、〃

为正整数），恰有两项为同类项，求〃的值。

【分析】本题的前提先要确定多项式中哪两项是同类项。观察可知。2006。*〃与

2008a3mb2n

两项不可能是同类项，故2007xmyn-1与-2009x,,+1y3是同类项。

【解答】2007%"!了一1与—2009/"、3是同类项，于是

m=n+1{m=5

，解得1

n-l=3[n=4

所以=5+4=9

2.整式的加减

【例1】化简：(4x-2xy-5)-(-7x+2xy+8)+(2x-6-7xy)

【分析】此题的计算实际上就是整式的加减，题中有括号，应该先去括号再合并同类项

【解答】原式=4%—2孙一5+7x—2盯一8+2%—6—7町

—(4x+7x+2x)+(­2xy—2xy—7xy)+(—5—8—6)

=13%-n孙-19

【例2】化简：3x2-2x-l^|+4(x2-2x+l)

【解答】原式=3%2—2尤2+8x+4+4%2—8x+4

=(3x2-2x2+4x2)+(8x—8x)+(4+4)

=5/+8

【例3】化简求值4"—[6'—2(3p+2)—2"],其中「=—i

【解答】原式=4.2_6“+2(30+2)+2。2=602+4

当其中p=—l时，原式=6x(—I》+4=10

【例4】一个多项式，当减去2——3%+7时，因把“减去”误认为“加上”，得5/—2X+4,

试问这道题的正确答案是多少？

【解答】所求多项式=(5——2x+4)—(2--3x+7)-(2x2-3x+7)

=(5x2-2x+4)-2(2x2-3x+7)

=5x2-2x+4-4x2+6x-14=x2+4x-10

【例5】已知：c—a=2g,b-c=-3,求代数式(a—"2—2(q—①―1的值

【解答】(c-a)+(b-c)=b-a=2^-+(-3)=

则a-b=g,M(a-/?)2-2(a-b)-l=

第3节整式的乘法

【知识要点】

1.同底数嘉的乘法：am-an=am+n

逆用这个法则，也可以把一个暴分解为两个同底数累的积，其中它们的底数与原来哥的

底数相同，它们的指数之和等于原来募的指数。如3'=33x3】=32x32等

2.塞的乘法：(〃")”=*

逆用法则：amn=(an)m=("")"可帮助我们根据问题的需要灵活将式子变形。

如三'4=(九3y=(/丫

3.积的乘方：(")"=屋必"

<|、2010

性质的逆向使用，会使一些数的计算简化。如22°I°XgI2010=1

4.整式的乘法：通过乘法交换律和结合律把它转化为塞的运算，并用合并同类项得到

结果。

(1)单项式与单项式相乘的步骤如下：

①系数相乘——确定系数(特别注意符号)。

②相乘字母相乘—底数不变，指数相加。

③不同字母相乘——连同它的指数照办下来。

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积

相加。

即m(a+b+c)=ma+mb+me

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项，再把

所得的积相加。

即(m+n)(a+b)=ma+mb+m+rib

【典型例题】

1.同底数暴的乘法

【例1】下列算式是否正确？对错误的指出错误原因，并加以改正。

(1)a2-a2^2a2(2)x3+x3=x6(3)x4-x2=x8(4)a-a2=a2

【分析】计算此类题目时应认真审察每个问题的运算形式，特别要分清累的底数和指数。

【解答】(1)错。错在将与/+/混淆，结果应为/。

(2)错。错在将城+炉与彳3.丁混淆,结果应为2/。

(3)错。错在把法则“底数不变，指数相加”，误作为“底数不变，指数相乘”，结果

为X、

(4)错。计算时误把。的指数当作0,而。的指数应为1,结果应为

【例2】计算下列各题：

(1)(a-Z?)3-(Z?-a)2；(2)-(-a7

(3)/.1，+%.丁.+(―x).(―%).x3;(4)

(一。),(_q-)•(一。)+(-/)■(-4)

【分析】应用同底数塞的乘法法则时，应先把各式化为同底数幕，为此应熟悉下列转换等式：

(a-b)2n=(b-a)2n,(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1；计算时，结合乘法法则确定积的

性质符号，第(3)、(4)小题为混合运算，应先根据同底数塞的运算性质进行乘法

运算，再进行加减运算。

【解答】(1)(Q-域=(〃_b)3.(々—6)2=(Q_,)5；

或(〃一人)3.(b一")？(人_〃)2=_(人—々)3(人—〃)2=_(6一〃)5

(2)一(-〃)3•(一〃2).(一〃)=.(一〃).(_〃2)=_(_〃)4(一〃2)=〃6

或~(~^)3•(一4)•(一[)=-(_/)•(一12).(一〃)=[3.a2al=〃6

(3)原式=三+4+x1+3+3+(-x)1+3-X3=x7+%7+x7=3x7；

(4)原式=(-a产+(—M)./=一=0

[例3]化简：(a+Z?-c)2"-(c-a-Z?)2"1+(a+Z?-c)^，，+1-(c-a-Z?)J

【解答】原式=(a+6—c)2"{-(a+6-c)『'+(a+6—cj"'-[-(a+6—c。?”？

=_(a+6一产27+(0+--422)

=-(a+b-c)4'i+(a+b-c)4"-1=0

【例4】探究这个问题的解题技巧：(-2)2006+(-2)2007

【分析】每项的指数太大，所以不能直接计算。考虑到指数2006与2007是连续整数，结合

乘

方的意义考虑，由22006x2=22007得到22007=2x22006,这是逆用同底数幕的乘

法公式。本题错误的结果为一2。

[解答1(-2)2006+(-2)2007=22006-22007=22006-2x22006=22006x(1—2)=-22006

【例5】已知5A+2=a，试用含a的式子表示出5,

【分析】要用含a的代数式表示51即要把5工看成一个整体，因此,解答本题的关键是把5"2

转化为含5工的式子，即5»2=5lX52=25-5*

【解答】•/5X+2=«

A5xx52=a,即25x5'=a,

..5=—

25

2.塞的乘方

【例1】计算下列各题：

⑴-(107)2(2)"邛(3)[(x-j)3]4(4)(c2)n-cn+1

【分析】首先判断这些问题都符合哥的乘方的结构特征。注意在应用公式时不要与同底数幕

的

乘法法则混淆。幕的乘方法则，是转化指数的乘法法则(底数不变)；同底数累的

乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)。

【解答】⑴原式=-107x2=-10l4

(2)原式=，时1/=式所2

(3)原式=(x-a加=(x_y严

(4)原式=c2"-c"+1=c2n+n+l=c3n+1

【例2】计算：

(1)一22俨「卜2)4_卜2)5.仁)2

(2).(行产1)2(6)

【分析】判断题目的特征，正确选用公式，注意将结果化简。

【解答】(1)原式=一4f.X8-?0.d=-4XI4-.?4=-5X14

41414

(2)原式=一4尤$•丁一尤|。.%=-4X-X=一5元"

【例3】已知/=5,求(1)(。2)3的值；Q)/的值

【分析】观察题目的特点，可应用(a"『=(〃")"

【解答】(1)原式=年)3=(/)2=5?=25

(2)原式=时=53=125

【例4】已知a"'=2,。"=3,求a?".的值

【分析】逆用同底数易的乘法法则和募的乘方法则，即J","""=优'""。

【解答】因为屋'=2,屋=3,

所以(a、？=2?=4,(相丫=33=27

所以/"+3"=.户=(优，)2.(优)3=4X27=108

3.积的乘方

【例1】计算：(1)(-3词(2)(-2a3/?2)4(3)-(-2aV)3

【分析】在应用积的乘方公式时，要分清底数含有几个因式，确保每个因式都进行乘方，并

且

还要注意系数的符号，特别是不能忽略系数为一1时的符号计算。

【解答】(1)原式=(—3)3(加3『(")3=_27加3x3/x3=_27m>3

(2)原式=(-2)4(/)4=3%8

(3)原式=-(-2)312)3卜)3=<_8卜662=8a662

注意：在-(-2//，中，指数3只对括号内的负号起作用，对括号外的负号不起

作用，在(-2xl()4)4的计算中，计算结果应用科学计数法表示。

【例2】计算：

(1)3(a?)”•(-a)-(-a).,，)"+(-2a4y.^2^3；

(2)(2X4)2-2(-X2)4-(X4).(X2)2-(-X3)-(-X2¥.(-%)；

【分析】认真观察题中的每一项的结构特点，正确选用公式，理清运算顺序，注意符号的处

理。

【解答】⑴原式=3/(416)+4(/(a6)

=-3an+a”-4a17=-6a]7

(2)原式=4/—2f—%4.%4—(—%3).(X4).(—%)=4/——%8—%8=o

【例3】以下各题的错解都是具有代表性的，仔细思考错在何处，并把错解改正过来。

(1)a3-a2=2a3(2)x4+x4=x8(3)(xy)5=x^5

(4)(-2«3)4=-16«12(5)10x1()5=1015(6)方％4.尤4=寸6

【分析】累的三种运算法则本身较易混淆，并易与合并同类项搅在一起。在计算时，要认

真审

题，观察题中每一项的结构特征，正确选用公式，慎重处理符号。

【解答】(1)错在将同底数累的乘法误作合并同类项，原式=〃5;

(2)错在将合并同类项误作同底数累的乘法，原式=2/

(3)把积的乘方公式用错，未将积中的每一个因式都乘方，原式=尤5y5；

(4)把积的乘方公式用错，(-2)4=16,原式=1642；

(5)把同底数基的乘法法则用错，10的指数为1,原式=1。6

(6)错在将同底数哥的乘法误作累的乘方，且忽视了x的指数为1,原式=7。

【例4】化简：用简便方法计算:

(1)(0.2)2006.(-5)2006

【分析】注意到积的乘方公式的逆用。特别是(2)式还要运用同底数募乘法的逆用。

【解答】(1)原式=[0.2x(-5)]2006=[-1]2006=1

(2)原式X

【例5】计算：226义1.258

【分析】由8x1.25=10,联想到将其中一个底数变为8,指数也要为8,可将计算简化。

【解答】＞^=22X224X1.258=4X(23)8X1.258=4x(8xl.25)8=4X108

4.整式的乘法

【例1】计算：⑴“[g/V卜6孙z)(2)3AmM『(一0.4孙F

【分析】第(1)小题是三个单项式相乘，可按单项式乘法法则一次完成，计算系数时，先确

定结

果的性质符号，再把绝对值相乘；第(2)小题中应先计算乘方，注意符号。

【解答】(1)原式=2x；x(-6“无2・尤2)(/.yjz=-4x4y*z

(2)原式=_!/6.J_f9二一工义上义色1//./"662)=_2彳9产

92-25-9225、'75

[--|2r-|2

【例2】计算：_；(%_,)._'(,_?).[2(y-x)了

【分析】在整式乘法中，有时可以把一个多项式看成整体。视作单项式，然后按单项式的运

算

法则进行计算。本题中(％-y)与(y-%)不同底，可利用(尤-y)=-(y-幻转化。

【解答】(1)原式=~(x~y)2,'(%—VP.[—8(元一')〔=一gx\x8.(x_y)7=_2(1一))7

【例3】计算：

(])xy4盯—21孙+

(2)2a(a2—ab—b2^—3ab(4a—2b)+2b[la2—4ab+Z?2)

【分析】本题涉及整式乘法与加减法的综合应用，解题时注意运算顺序，有同类项一定要合

并。

[解答](1)原式=盯[4孙一2孙一12,]=孙上孙一12,]=212,2-x3y2=-x3y2+2x2y2

(2)原式=2a3—2a2b—2ab2—12a2b+6ab2+14a2b—Sab2+2b3=2a3—4ab2+2b3

【例4】计算：(1)(2a-3Z?)(Z?+2a)(2)(x+y^x1-xy+y2)

【分析】第⑴小题中可以把0+2。)看成(2〃+。这样能提高计算的正确性且有助于心算。

122

【解答】(1)^^l=(2a—3b^(2a+b^=4a-\-2a'b-3b'2a-3b-b=6a—13ab-\-6b

(2)原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3=2a3-4ab2+2b3

【例5】先化简，再求值

(-2x)2+(2%-5y)(2x+3y)-3y(4x-5y),其中％=2,y=-1

【解答】原式=4/+4x2-4xy-15y2-12xy+15^2=8x2-16xy

当x=2,y=—l时，原式=8x2?—16x2x(—1)=64

【例6】已知{x1+ax+8)(炉-3X+6)的乘积中不含丁项，也不含/项，求。与b的值。

【分析】先按多项式乘以多项式法则展开，得到9项。合并后有5项，系数中含有字母a,人

根据条件，乘积中不含丁项，即可认为/项，/项的系数为0,从而得到关

于a,b的方程组。

【解答1(尤2+ax+8)(尤2-3尤+6)=尤'-3尤3+6尤？+ax3-3ax2+abx+8无？-24x+86

=x4+(Q-3)%3+(Z?-3a+8)x2+(ab-24)x+8b。

由于乘积中不含/,/项，因此有

a—3=0[a—3

解得

Z?-+8=01人7=1

二.a=3,b=1

第4节乘法公式

知识要点

1.平方差公式：(«+/?)(«-/?)=a1-b2o

(1)位置变化：如(a+b)(-b+a),可利用加法交换律；将第二个括号变为(a-加，

即可变为“标准型”。

(2)符号变化：如

(-a-b)(a-b)=[-(«+/7)]•(«-/?)=~{a+b\a-b)=-(«2-b~)-b~-a2；

(3)增项变化：如(a+Z?+c)(a+b—c),若能将(a+6)看作一个整体,

(a+b+c)(a+b—c)—[(a+b)+c][(a+b)—c]—(a+Z?)—c~=a2+2ab+—c~。

(4)增因式变化：如(a+Z;)(a—8)(。2+/)(。4+①),

(a2-b-\a-+/)(/+/)=54―3物+/)=/—凡

2.完全平方公式：(a土6)2="±2。〃+/。

注意：公式中的“6”既可代表具体的数，也可以是单项式或多项式。

如：(a+。+c)2=[(a+/7)+c]-=(a+6)~+2(a+Z>)-c+c2

—ci~+b~+c2+2ab+2ac+2bc

【典型例题】

1.平方差公式

【例1】下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？

(1)(3x+4y)(3x-4y)(2)(3x-4y)(4y-3x)

(3)(―3x+4y)(3x+4y)(4)(―3x+4y)(—3x—4y)

【解答】解：(1)(3)(4)可以用平方差公式，而(2)不能用平方差公式。

(1)(3x+4y)(3x-4y)=(3x)?-(4y)2=9x?-16y2

(3)(-3x+4y)(3x+4y)=(4y-3x)(4y+3x)=(4y)2-(3x)2=16y2-9x2

(4)(-3x+4y)(-3x-4y)-(-3x)2-(4y)2=9x2-16j2

或(-3x+4y)(-3x-4y)=(3x-4y)(3x+4j)=9x~-16y2

【例2】计算下列各题：

(1)(tz+2/?)(«2+4b2)(«-2b)(2)(x-y+l)(x+y-l)

【分析】(1)中利用乘法交换律和结合律，可连续使用平方差公式。

(2)中两个因式相同的项为x,相反的项为—y与y；1与一1,故将一y+1变形

为-(y-1)，化成符号公式结构特征的形式后再利用平方差公式。

【解答】(1)原式=(a+2b)(l—2勿(/+4/)

=(a2-4Z?2)(a2+4Z?2)

=/—(4Z?2)2=a4—16Z?4

(2)原式=-1)]口+(k1)]

=x2—(y—if=x2~(y2-2-y+l)=x2-y2+2y-l

【例3】利用平方差公式计算：

(1)99-xlOO-(2)20062-2007x2005

77

522252

【分析】(1)中99-=100——,100—=100+—，故99-xlOO-可以写成

777777

22

(100——)(100+-),

77

再应用公式计算。(2)中2007=2006+1,2005=2006—1,用平方差公式进行计

算。

22445

【解答】(1)原式=(100——)(100+-)=10000——=9999—

774949

(2)原式=20062-(2006+1)(2006-1)=20062-(20062-1)=1

【例4】化简求值，其中x=l,y=-L

2

[2/—(无+y)(x-y)][(x+2)(2-x)+(2-j)(-y-2)]

【分析】求代数式的值时首先要对代数式进行简化，以简化计算过程，本题的关键就在于平

方

差公式的灵活运用。

【解答】解：原式=[2f_(f_9)][(2+幻(2_；0+(_)；+2)(_,_2)]

(x2+y2)(y2-x2)=y4-x4

当x=l,y=工时，原式=(_工)4_(_1)4=上_1=_"。

221616

【例5】i+M(2+l)x(22+l)x(24+l)x(28+l)x....x(2100+l)

【分析】在上式中乘以(2-1)后可反复使用平方差公式进行计算

【解答】=(2-1)x(2+1)x(22+1)x(24+1)x(28+1)x……x(2100+l)

=(22-l)x(22+l)x(24+l)x(28+l)x...x(2100+1)

=(28-1)(28+1)X........x(2100+l)

=2200—1

2.完全平方公式

【例1】计算下列各题：

11

(1)(-a-3b)29(2)(-«+2Z?)29

(3)(-2x+5y)2(4)(-3x-2y)2

【分析】(1)(2)可直接利用公式，由乘法运算性质可知：(—。+6)2=@—。)2=0—6)2,

(-a-6)2=0+6)2,这样，当括号内的二项式首项为负值时，可利用上述两个式

子，将其变形为首项为正的形式，再利用完全平方公式展开，不易出错。

【解答】(1)原式=ga)2—2xga・3b+(3b)23仍+/2

(2)原式=(工4)2+2x—a»2b+(2b)2=—a2+ab+4b2

4416

(3)原式=|-(2x_5y)]2=(2x—5y)2=(2x)2—2x2x.5y+(5y)2

=4x2-20^+25/

(4)原式=[—(3x+2y)f=(3x+2y)2=9f+12肛+4/

【例2】下面的计算对不对？若不对，请指明错误的原因，并改正。

(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-_y)2-x2-2xy-y2

(3)(-gx+y)2+孙+y2(4)(_gx-y)2—孙+/2

【解答】(1)错，(x+y)2=(x+y)(x+y)展开后应有三项，应为三+2孙+)?。

(2)错，(％->)2展开后平方项应同为正，应为k-2町+_/。

(3)错，(—gx+y)2=(gx-丁丁，应为;x?一孙+/。

(4)错，(_gx—y)2=(gx+y)2应为:炉+孙+y2。

【例3】计算：

(1)(a+2/?)(«-2Z?)(a2-4b2)(2)(2a+3b-c)(2a-3b-c)

(3)(3a+6)2<3a-8)2

【分析】(1)中先用平方差公式，再用完全平方公式；(2)中先把两个因式中相同的项结合

在

一起作一组，再把相反的项作一组，就可以利用平方差公式了；(3)逆用积的乘方

公式，就可以用平方差公式和完全平方公式直接写出答案了。

【解答】(1)原式=(。2—4/)(4—4/)=。4一8“2"+16/

(2)原式=[(2a—c)+3句[(2a—c)—3句

222

=(2a-c)-(35)2=4a2_缶。+c_%

(3)原式=[(3a+b)(3a—=(9/—尸)2

=81，-18—+。4

【例4】计算(a+b+c)2,并利用它的结论直接计算(x-2y+3z)2

【分析】把。+〃看作一个整体，即一项，然后用完全平方公式展开；把x.-2y,3z分别看

作公

式中的“a”、"b”、“c”,即可套用公式。

【解答】(a+6+c)2=[(a+b)+c]2

—(a+