2024-2025学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为(

)A.−1或2 B.0或2 C.2 D.−12.若直线l：y=kx−3与直线x+y−3=0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(

)A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°}

C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}3.若圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，且圆心在直线l：3x−y−3=0上，则圆C的方程为(

)A.(x−2)2+(y−3)2=4 B.(x−24.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)A.4条 B.3条 C.2条 D.0条5.已知圆C：x2+y2+2x−2my−4−4m=0(m∈R)，则当圆A.5 B.6 C.5−16.作圆C：(x−2)2+(y−1)2=25上一点P(−2,4)处的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线lA.4 B.2 C.85 D.7.我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若x2+y2−2x−2=0，则A.[−233,2338.设点P(a,1)，若在圆O：x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则A.[−33,33] 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.已知直线l过点P(2,3)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y−5=0

B.直线3x−y+1=0的倾斜角为60°

C.a，b∈R，“直线ax+2y−1=0与(a+1)x−2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件

D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l10.已知圆C1：(x−3)2+yA.若圆C1和圆C2相交，则2<a<4

B.若圆C1和圆C2外切，则a=2

C.当a=52时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线

D.11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为A.轨迹C的方程为(x+4)2+y2=9

B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|=12

C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1经过点A(3,a)，B(a−2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(−1,a−2)，若l1⊥l13.已知圆x2+y2+2x−4y+1=0关于直线2ax−by+2=0(a,b∈R)对称，则下列结论正确的是______.(填序号)

①圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心是(−1,2)；②圆x214.已知半径为2的圆C经过点A(−3,2)，则圆心C到直线l：7x−y+13=0的距离的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

直线l1：ax+3y−1=0，直线l1的一个方向向量为(−2,6)，直线l2：4x+by−2=0与已知直线2x−y+5=0垂直．

(1)求a，b的值；

(2)已知点P(−1,−3)，求点P到直线l1的距离及点P关于直线16.(本小题15分)

已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4．

(1)若直线l过定点A(1,3)，且与圆C相切，求l的方程；

(2)若圆D的半径为1，圆心在直线m：x+y−4=0上，且与圆17.(本小题15分)

已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0．

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O18.(本小题17分)

已知直线l：(2λ+1)x+(λ+1)y−7λ−4=0(λ∈R)和以点C为圆心的圆(x−4)2+y2=4．

(1)求证：直线l恒过定点；

(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求λ的值以及最短弦长；

(3)设l恒过定点A，点P满足|PA||PO|=2，记以点P、O(坐标原点)、A、19.(本小题17分)

已知圆O：x2+y2=2与圆C外切，点C在第一象限，直线OC与直线l：x−y−4=0平行，且圆C与直线l相切．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线l′与圆O及直线l从上到下依次交于点A(−1,1)，B，P，当|AP|+|PC|最小时，求参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.D

8.A

9.BCD

10.ABD

11.BC

12.0或5

13.①②③④

14.215.解：(1)直线l1的一个方向向量为(−2,6)，所以l1的斜率为k1=−3，所以−a3=−3，故a=9．

直线l2：4x+by−2=0与已知直线2x−y+5=0垂直，则4×2+b×(−1)=0，故b=8．

(2)点P到直线l1的距离d=|−9−9−1|92+32=191030，

设过点P与直线l2垂直的直线方程为：2x−y+m=0，故−2+3+m=0，解得m=−1，

故直线方程为2x−y−1=0，16.解：由圆C：(x−3)2+(y−4)2=4得圆心C(3,4)，半径r=2，

(1)设l：y−3=k(x−1)，即kx−y+3−k=0，

所以|3k−4+3−k|k2+1=2，解得k=−34，

所以切线为3x+4y−15=0，

经验证x=1也是圆C的切线，

所以直线l的方程为：3x+4y−15=0或x=1；

(2)设D(a,b)，则a+b−4=0(a−3)2+(b−4)217.解：(1)圆C：x2+y2+2x−4y+3=0的标准方程为：(x+1)2+(y−2)2=2，其圆心坐标C(−1,2)，半径r=2，

①当C的切线在x轴和y轴上的截距相等都为0时，设切线方程为y=kx，即kx−y=0，

则圆心到切线的距离d=|−k−2|1+k2=2，即k2−4k−2=0，解得k=2±6，

所以这时切线的方程为：y=(2±6)x；

②当C的切线在x轴和y轴上的截距相等且不为0时，设切线方程为x+y−a=0，

则圆心到切线的距离d=|−1+2−a|2=2，即|a−1|=2，

解得：a=3或a=−1，

所以这时切线的方程为：x+y−3=0或x+y+1=0；

(2)设P(x1,y1)，因为PM是圆C的切线，所以△PMC为直角三角形，

又因为|PM|=|PO|，所以|PM|2=|PO|2=|PC|2−r2，

即x1218.解：(1)证明：将直线/的方程化为λ(2x+y−7)+x+y−4=0，

由2x+y−7=0x+y−4=0，可得x=3y=1，故直线恒过定点A(3,1)．

(2)当AC⊥l时，圆心C(4,0)到直线l的距离达到最大值，

此时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时kAC=1−03−4=−1，

所以直线l的斜率为−2λ+1λ+1=1，解得λ=−23，且|AC|=(1−0)2+(3−4)2=2，

此时，直线l被圆C截得的弦长最小，且其最小值为24−2=22．

(3)由(1)可知，点A(3,1)，设点P(x,y)，

则|PA||PO|=(x−3)2+(y−1)2x2+y2=2，整理可得(x+3)2+(y+1)19.解：(1)设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(a>0,b>0,r>0)，则圆心C(a,b)，

因为直线OC与直线l：x−y−4=0平