2024-2025学年山东省泰安市肥城市高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省泰安市肥城市高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4,5,9}，B={y|y=x,x∈A}，则A∩B=A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,5} D.{1,4,9}2.若复数z满足z(1−i)=i，则z的共轭复数z−对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，(a+λA.λ+μ=1 B.λ+μ=0 C.λμ=1 D.λμ=−14.已知sin(α+β)=13，sin(α−β)=1A.15 B.−15 C.55.已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为(

)A.13 B.33 C.6.若函数f(x)=−x+7,x≤42+loga(x−1),x>4(其中a>0，且a≠1)的最小值是3A.13<a<1 B.13≤a<1 C.7.曲线y=sin(x+1)与y=lgx交点个数是(

)A.3 B.4 C.5 D.68.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，y=f(x)的图象关于直线x=1对称，且f(1−x)+g(x)=10，f(x)−g(x−4)=5，若f(2)=1，则g(1)+g(2)=(

)A.−5 B.−6 C.5 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在某市举行的一次期末质量检测中，经抽样分析，该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布N(86,σ2)，且P(82<X≤86)=0.3.该校有1000人参加此次考试，则A.P(X≥90)>P(X≤82) B.P(82≤X≤90)=0.6

C.估计成绩不低于90分的有200人 D.估计成绩不低于86分的有300人10.已知函数f(x)=aex−x+aA.当a≤0时，f(x)是R上的减函数

B.当a>0时，x=lna是f(x)的极小值点

C.当a=e时，f(x)取到最小值e2+2

D.当a>0时，11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过点A作斜率为k直线l与C交于M(x1,y1)，N(x2A.p=2

B.x1x2=1

C.|k|≥1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点13.若函数f(x)=x3+(m+1)x2+mx为奇函数，则曲线14.为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，CA⋅CB=21，且cosC=35．

(1)求△ABC的面积；

(2)若b=5时，求边c16.(本小题15分)

设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P(1,22)在C上，且PF2⊥x轴．

(1)求C的方程．

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−DEF中，P为AD的中点，AC=6，AD=4，AB=BC=CP=2，∠ABE=2π3．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求平面ECP与平面18.(本小题17分)

已知函数f(x)=mx+lnx，m∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当m>0时，mf(x)≥2m−119.(本小题17分)

数列{an}满足a1=1，an+1=(n2+n−λ)an(n=1,2,…)，λ是常数．

(Ⅰ)当a2=−1时，求λ及a3的值；

(Ⅱ)数列{a参考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.B

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.7

13.2x−y+2=0

14.120

15.解：(1)由已知可得CA⋅CB=abcosC=35ab=21，可得ab=35，

由cosC=35，可求得sinC=45，

所以S△ABC=12absinC=12×35×45=14；

(2)因为b=5，ab=35，可得a=7，16.解：(1)已知PF2⊥x轴且P(1,22)，

则c=1，F1(−1,0)，F2(1,0)，

由椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|=22+(22)2+22=22，

所以a=2，b=a2−c2=1，

即C的方程为x22+y2=1．

(2)可知直线l的斜率k=tan60°=17.解：(1)证明：取BP中点M，连接AM、CM，

∵P为AD的中点，AD=4，∴AP=2，

∵AB=2，∴AM⊥BP，

∵BC=CP=2，

∴CM⊥BP，

又因为AM∩CM=M，AM，CM⊂平面ACM，

因此BP⊥平面ACM，

又∵ABC−DEF是三棱柱，∴ABED平行四边形，

∵∠ABE=2π3，∴∠BAP=π3，

∴△ABP、△BPC均为等边三角形，BP=2，

则CM=AM=3，∵AC=6，

∴AM⊥CM，

∵CM⊥BP，AM∩BP=M，AM，BP⊂平面ABED，

∴CM⊥平面ABED，∵PE⊂平面ABED，

∴CM⊥PE，∵BP=2，

在△PDE中，PD=ED=2，∠PDE=23π，PE=23，又BE=4，

∴BP2+PE2=EB2，即PE⊥BP，

又CM∩BP=M，CM，BP⊂平面BCP，

∴PE⊥平面BCP，又CB⊂平面BCP，

∴PE⊥BC；

(2)由(1)可知MA、MP、MC两两垂直，以M为原点，MA所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，MC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则C(0,0,3)，P(0,1,0)，A(3,0,0)，B(0,−1,0)，

由于P是AD的中点，得D(−3,2,0)，

又由BA=ED，可得E(−23,1,0)，

∴PC=(0,−1,3)，PE=(−23,0,0)，PD=(−3,1,0)，

设平面ECP的法向量为n1=(x1,y1,18.解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，可得f′(x)=1x−mx2=x−mx2．

当m≤0时，可知f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当m>0时，由f′(x)=0得x=m，

可得x∈(0,m)时，有f′(x)<0，x∈(m,+∞)时，有f′(x)>0，

所以f(x)在(0,m)上单调递减，f(x)在(m,+∞)上单调递增．

综上所述：当m≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当m>0时，f(x)在(0,m)上单调递减，在(m,+∞)上单调递增．

(2)证明：当m>0时，要证mf(x)≥2m−1成立，

只需证f(x)≥2m−1m=2−1m成立，

只需证f(x)min≥2−1m即可．

因为m>0，由(1)知，f(x)min=f(m)=1+lnm．

令g(m)=1+lnm−(2−1m)=lnm+1m−1，

则g′(m)=1m−1m19.解：(Ⅰ)由于an+1=(n2+n−λ)an(n=1,2,)，且a1=1．

所以当a2=−1时，得−1=2−λ，故λ=3．

从而a3=(22+2−3)×(−1)=−3．

(Ⅱ)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1=1，an+1=(n2+n−λ)an

得a2=2−λ，a3=(6−λ)(2−λ)，a4=(12−λ