2024-2025学年天津市武清区燕京高级中学高三（上）过关数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市武清区燕京高级中学高三（上）过关数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|−3<x<2}，B={x∈Z|x≥0}，则A∩B=(

)A.{0,1,2} B.{−2,0,1} C.{0} D.{0,1}2.若(1+x)(1−2x)7=a0+A.−1 B.−2 C.2 D.13.已知a=log55，b=log1212，c=(1A.a>b>c B.b>a>c C.b=c>a D.c>b>a4.已知过点(−1,0)的直线与曲线y=ex的相切于点A，则切点A坐标为(

)A.(0,1) B.(1,e) C.(2,e2)5.已知sin(π4+α)=2sin(π4A.−23 B.35 C.36.某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是(

)

A.气压与海拔高度呈正相关

B.沸点与气压呈正相关

C.沸点与海拔高度呈负相关

D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强7.已知函数f(x)=12sin2x，关于该函数有下面四个说法，正确的个数有(

)

①f(x)的最小正周期为2π；

②f(x)在[−π4,π4]上单调递增；

③当x∈[−π6,π3A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.若函数f(x)=x+3x(x≤0)13A.a>163 B.a<163 C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知(1−x2)n的展开式中所有项的系数和等于10.设x，y∈R，则3−x+311.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知A=120°，sinB=1313，则sin(B−C)=12.若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos13.已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx−cos2x，关于f(x)有下面四个说法：

①f(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象向右平行移动π8个单位长度得到；

②f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增；

③当x∈[14.已知函数f(x)=ex+1,x≤1−x2+3x−2,x>1三、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=39，b=2，∠A=120°．

(Ⅰ)求sinB的值；

(Ⅱ)求c的值；

(Ⅲ)求sin16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax−lnx，a∈R．

(Ⅰ)若a=1e，求函数f(x)的最小值及取得最小值时的x值；

(Ⅱ)求证：lnx<ex−1；

(Ⅲ)若函数f(x)≤xex−(a+1)lnx参考答案1.D

2.A

3.C

4.A

5.D

6.A

7.A

8.A

9.7

10.211.−712.−1

13.①③④

14.(0,7−415.解：(Ⅰ)a=39，b=2，∠A=120°，

则sinB=bsinAa=2×3239=1313；

(Ⅱ)a=39，b=2，∠A=120°，

则a2=b2+c2−2bc⋅cosA=4+c2+2c=39，化简整理可得，(c+7)(c−5)=016.解：(Ⅰ)当a=1e时，f(x)=1ex−lnx，

f′(x)=1e−1x=x−eex，

令f′(x)=0，得x=e，

所以在(0,e)上f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(e,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以x=e时，f(x)min=0．

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知1ex−lnx≥0，即lnx≤1ex，

要证lnx<ex−1，只需证xe<ex−1，

令g(x)=ex−1ex−1，

则g′(x)=ex−1e，

因为x>0，

所以ex>1>1e，

所以g′(x)>0，

所以g(x)在(0,+∞)上为增函数，

所以g(x)>g(0)=0，

所以xe<ex−1，

所以lnx<ex−1．

(Ⅲ)f(x)≤xex−(a+1)lnx恒成立，等价于xex−a(x+lnx)≥0，

令ℎ(x)=xex−a(x+lnx)(x>0)，

ℎ′(x)=(x+1)ex−a(1+1x)=(x+1)(ex−ax)，

①若a=0时，ℎ′(x)=(x+1)ex>0，

所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，

ℎ(0)=0，即ℎ(x)>0，满足xex−a(x+l