第10讲等腰三角形中的分类讨论(原卷版+解析)

第10讲等腰三角形中的分类讨论（原卷版）类型一与边分类讨论1．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm2．（2023春•新城区校级期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（）A．12 B．43 C．43或2 D．类型二与角分类讨论3．已知等腰三角形中，一个角为70°，则该等腰三角形的底角度数是．4．（2022秋•朔城区校级期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（）A．1013 B．58 C．1310或58 类型三与高分类讨论5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°6．（2023•海曙区）△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（）A．67.5°或45° B．22.5°或45° C．36°或72° D．67.5°或22.5°类型四与垂直平分线分类讨论7．已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（）A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°8．（2022秋•武汉期末）已知，在△OPQ中，OP＝OQ，OP的垂直平分线交OP于点D，交直线OQ于点E，∠OEP＝50°，则∠POQ＝．类型五与中线分类讨论9．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为cm．10．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为．类型六与动点、动线段需分类讨论11．如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数是．12．（2020•江西模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α＝°时，△AOD是等腰三角形．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC．若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是．类型七构造等腰三角形需分类讨论14．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是．

15．如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是．16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

第10讲等腰三角形中的分类讨论（解析版）类型一与边分类讨论1．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【思路引领】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．总结提升】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2．（2023春•新城区校级期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（）A．12 B．43 C．43或2 D．【思路引领】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时；当等腰三角形的底边长为8时；然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时，∵等腰△ABC的周长为20，∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4，∴它的“优美比”=4当等腰三角形的底边长为8时，∵等腰△ABC的周长为20，∴它的腰长=1∴它的“优美比”=8综上所述：它的“优美比”为43或1故选：D．总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．类型二与角分类讨论3．已知等腰三角形中，一个角为70°，则该等腰三角形的底角度数是70°或55°．【思路引领】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于70°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°，②设该等腰三角形的底角是x，则2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°；故答案为70°或55°总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．4．（2022秋•朔城区校级期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（）A．1013 B．58 C．1310或58 【思路引领】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°，∴等腰三角形的两个底角都=1∴这个等腰三角形的“特征值”k=50°当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，∴这个等腰三角形的“特征值”k=80°综上所述：1013或8故选：D．总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．类型三与高分类讨论5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°【思路引领】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，当BD在△ABC内部时，如图1，∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；当BD在△ABC外部时，如图2，∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB＝∠BAD＝15°，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．故选：C．总结提升】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．6．（2023•海曙区校级开学）△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（）A．67.5°或45° B．22.5°或45° C．36°或72° D．67.5°或22.5°【思路引领】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．【解答】解：①如图所示，CD在△ABC内部，∵AB＝AC，CD为AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=1∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；②如图所示，CD在△ABC外部，∵AB＝AC，CD为AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=1∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；所以∠BCD等于22.5°或67.5°．故选：D．总结提升】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．类型四与垂直平分线分类讨论7．已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（）A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°【思路引领】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝60°，根据等边三角形的性质易得∠AC′B＝60°．【解答】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣∠ADB）＝×（180°﹣80°）＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝50°+10°＝60°，∵CA＝CB，∴∠AC′B＝60°，综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．故选：C．总结提升】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．8．（2022秋•武汉期末）已知，在△OPQ中，OP＝OQ，OP的垂直平分线交OP于点D，交直线OQ于点E，∠OEP＝50°，则∠POQ＝．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】65°或115°．【思路引领】△OPQ为锐角三角形时，根据线段垂直平分线的定义得到∠ODE＝∠PDE＝90°，从而求得∠OED=∠PED=12∠OEP，继而可得∠EOD＝90°﹣25°＝65°，问题得解；△OPQ为钝角三角形时，同理可得∠EOD＝90°﹣25°＝65°，即∠POQ【解答】解：①如图1，△OPQ为锐角三角形时，∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE＝∠PDE＝90°，OE＝PE，∴∠OED=∠PED=1又∵∠OEP＝50°，∴∠OED＝∠PED＝25°，∴∠EOD＝90°﹣25°＝65°；②如图2，△OPQ为钝角三角形时，∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE＝∠PDE＝90°，OE＝PE，∴∠OED=∠PED=1又∵∠OEP＝50°，∴∠OED＝∠PED＝25°，∴∠EOD＝90°﹣25°＝65°，∴∠POQ＝180°﹣65°＝115°．故答案为：65°或115°．总结提升】本题考查的是线段垂直平分线的定义以及等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握这些性质及定理，准确作出图形是解题的关键．类型五与中线分类讨论9．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为15cm．【思路引领】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长5cm，即可列方程求解．【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm．当AD+AC与BC+BD的差是5cm时，即x+x﹣（x+10）＝5，解得：x＝15，15，15，10能够组成三角形；当BC+BD与AD+AC的差是5cm时，即10+x﹣（x+x）＝5，解得：x＝5，5，5，10不能组成三角形．故这个三角形的腰长为15cm．故答案为：15．总结提升】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系．10．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．【思路引领】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．【解答】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27和18两部分，∴或，解得或，经检验，都符合三角形的三边关系．因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．故答案为：18cm或12cm．总结提升】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．类型六与动点、动线段需分类讨论11．如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数是50°或65°或80°或25°．【思路引领】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB1＝AB1时，∠OAB＝∠1＝50°；②当OA＝AB2时，∠OAB＝180°﹣2×50°＝80°；③当OA＝OB3时，∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣50°）＝65°；当OA＝OB4时，∠OAB＝∠OBA＝∠1＝25°；综上所述，∠OAB的度数是50°或65°或80°或25°，故答案为：50°或65°或80°或25°．总结提升】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．12．（2020•江西模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α＝100或130或160°时，△AOD是等腰三角形．【思路引领】要使△AOD为等腰三角形，应有OA＝OD，或OD＝DA或OA＝AD，只要相关角相等由已知条件利用等边三角形的性质即可结论．【解答】解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△COD为一等边三角形，∴∠COD＝60°假设OD＝OA，则α+100°+60°+∠AOD＝360°，∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∵△COD为一等边三角形，∴∠ADO＝α﹣60°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝α﹣60°，∴∠AOD＝180°﹣2（α﹣60°），解得α＝100°，当OD＝AD时，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD=180°−(α−60°)2，解得当OA＝AD时，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD＝α﹣60°，解得，α＝130°，综上所述，满足条件的α的值为100°或160°或130°．故答案为100或160或130．总结提升】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定；要熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的判定．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC．若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是130或100或160．【思路引领】由旋转的性质可知BD＝AB＝BC，结合△ADC为等腰三角形，分三种情况求解，①当DA＝DC时，求出m即可；②当AD＝AC时，③当CA＝CD时，分别求出m即可．【解答】解：由旋转的性质可知BD＝AB＝BC，∵△ADC为等腰三角形，∴分三种情况：①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD=12（360°﹣∠∴m＝130．②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°，∴m＝100．③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°，∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°，∴m＝160．综上所述：m所有可能的取值为130或100或160．故答案为：130或100或160．总结提升】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，掌握和理解旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．类型七构造等腰三角形需分类讨论14．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是25°或40°或10°．【思路引领】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°，∠C＝（180°﹣100°）＝40°，②AB＝AD，此时∠ADB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°，∠C＝（180°﹣130°）＝25°，③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°，∠C＝（180°﹣160°）＝10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．15．如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是37.5°或15°或60°．【思路引领】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三种情况，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A即可得解．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，①BC＝CD，此时∠