专题12直线与角(3)(原卷版+解析)-2020-2021学年七年级数学上册期末复习考点强化训练(沪科版)

专题12直线与角（3）考点15：\o"钟面角"钟面角1．上午10：00时，钟表的时针与分针的夹角为（）A．30° B．60° C．90° D．120°2．时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（）A．86° B．68° C．67° D．87°3．时钟的时针和分针垂直的时刻是（）A．6：15 B．9点 C．9：30 D．6：454．CCTV﹣3某综艺栏目播出时间为下午2：30，此时刻时针与分针所成的最小的角的度数为（）A．75° B．105° C．115° D．135°5．亲爱的同学，现在是北京时间下午2：47，按正常做题速度，你应该做到此题了，此时钟表上的时针和分针的夹角度数是________．6．时钟显示为5：00时，时针与分针所夹的角度是________．7．某一时刻闹钟的时针和分针的夹角是108000″，此时这个夹角等于________°．8．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．（1）时针每分钟转动的角度为________°，分针每分钟转动的角度为________°；（2）8点整，钟面角∠AOB＝________°，钟面角与此相等的整点还有：________点；（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．考点16：\o"方向角"方向角1．林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，水渠从C村沿（）方向修建，可以保持与AB的方向一致．A．北偏西25° B．南偏东25° C．北偏东65° D．南偏西25°2．如图所示，下列说法错误的是（）A．嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上 B．学校在图书馆南偏东30°方向上 C．学校在嘉琪家南偏东60°方向上 D．图书馆到学校的距离为5km3．小明家在学校的南偏西50°方向上，则学校在小明家（）上．A．南偏西50° B．西偏南50° C．北偏东50° D．北偏东40°4．某人在点A处看点B在北偏东40°的方向上，看点C在北偏西35°的方向上，则∠BAC的度数为（）A．65° B．75° C．40° D．35°5．如图，灯塔P位于小岛A北偏东38°方向，位于小岛B北偏西23°方向，则∠APB的度数为________．6．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西________度的走向施工，才能使公路准确接通．7．某镇要修建一条灌溉水渠，如图所示，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，为了保持水渠CE与AB方向一致，则∠BCE为________度．8．如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；（2）通过计算判断射线OG表示的方向．考点17：\o"度分秒的换算"度分秒的换算1．下面等式成立的是（）A．83.5°＝83°50' B．90°﹣57°23'27″＝32°37'33″ C．15°48'36″+37°27'59″＝52°16'35″ D．41.25°＝41°15'2．1.5°＝（）A．9′ B．15′ C．90′ D．150′3．把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（）A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″4．下列角度换算错误的是（）A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25° C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°5．如图，某市有三个中学A，B，O．中学A在中学O的北偏东61°15′的方向上，中学B在中学O的南偏东39°45′的方向上，则∠AOB的度数是________．6．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是________．7．已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A________∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）8．计算：（1）131°28′﹣51°32′15″（2）58°38′27″+47°42′40″（3）34°25′×3+35°42′考点19：\o"角平分线的定义"角平分线的定义1．如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（）A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°2．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的个数有（）①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．若射线OC在∠AOB的内部，则下列式子中：能判定射线OC是∠AOB的平分线的有（）①∠AOC＝∠BOC，②∠AOB＝2∠AOC，③∠BOC＝∠AOB④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是（）A．59° B．60° C．69° D．70°5．如图，点O在直线AB上，OC是∠AOD的平分线．若∠BOD＝50°，则∠AOC的度数为________．6．如图，点A在点O的东北方向，点B在点O的南偏西25°方向，射线OC平分∠AOB，则∠AOC的度数为________度．7.如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠BOD，∠BOC＝51°24'，则∠AOD＝________．8．线段与角的计算．（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB＝AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．考点20：\o"角的计算"角的计算1．α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（）A．26° B．50° C．72° D．90°2．如图，已知∠AOB＝26°，∠AOE＝120°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，则∠COD的度数为（）A．8° B．10° C．12° D．18°3．如图，OC是∠AOB的平分线，．则∠AOB等于（）A．75° B．70° C．65° D．60°4．如图，已知OC是∠AOB的平分线，则下列结论：①∠AOB＝∠BOC；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠AOB；④∠AOB＝2∠BOC．其中正确的有（）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④5．如图，OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°．∠AOD＝100°，那么∠DOM＝30度．6．已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，则∠AOC的度数是________．7．如图，∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，则∠AOD等于________度．8．如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．（2）若取掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．考点21：\o"余角和补角"余角和补角1．一个角的余角是30度，则这个角是（）度．A．20 B．30 C．60 D．1502．若锐角α的补角是140°，则锐角α的余角是（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC的度数为（）A．43° B．34° C．56° D．50°4．下列语句中，正确的个数是（）①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若∠α的补角比其余角的2倍大30°，则∠α的度数为________°．6．有一个角的补角为125°，则这个角的余角是________°．7．若一个角的补角是105°，则这个角的余角是________度．8．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，点E在边AC上，且∠AED＝∠ACB．请你说明∠1与∠2互为余角的理由．考点22：\o"作图—基本作图"作图—基本作图1．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．2．下面三个图是三个基本作图的作图痕迹，关于三条弧①、②、③有以下三种说法：（1）弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧；（2）弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧；（3）弧③是以点O为圆心，以大于DE的长为半径所作的弧．其中正确说法的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAC的度数为（）A．80° B．75° C．65° D．30°4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（）A． B． C． D．5．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝6，则CD的长为________．6．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为________．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________．8．已知∠α．求作∠CAB＝∠α．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）专题12直线与角（3）考点15：\o"钟面角"钟面角1．上午10：00时，钟表的时针与分针的夹角为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】∵10点整，时针指向10，分针指向12，中间相差两大格，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴10点整分针与时针的夹角是2×30°＝60度．故选：B．2．时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（）A．86° B．68° C．67° D．87°【答案】A【解析】8：28时，时针与分针相距2++＝份，8：28时，时针与分针所夹的角是30×＝86°，故选：A．3．时钟的时针和分针垂直的时刻是（）A．6：15 B．9点 C．9：30 D．6：45【答案】B【解析】时钟的时针与分针互相垂直，即时针与分针的夹角是90°，9点整时，时针指向9，分针指向12．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，因此9点整分针与时针的夹角正好是90度，时针和分针正好垂直．故选：B．4．CCTV﹣3某综艺栏目播出时间为下午2：30，此时刻时针与分针所成的最小的角的度数为（）A．75° B．105° C．115° D．135°【答案】B【解析】2点30分时，时针和分针中间相差3.5大格．∵钟表12个数，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴2点30分时分针与时针的夹角是3.5×30°＝105°．故选：B．5．亲爱的同学，现在是北京时间下午2：47，按正常做题速度，你应该做到此题了，此时钟表上的时针和分针的夹角度数是________．【答案】161.5°．【解析】下午2：47钟表上的时针和分针的夹角度数是360°﹣[47×6°﹣（60°+47×0.5°）]＝161.5°，6．时钟显示为5：00时，时针与分针所夹的角度是________．【答案】150°．【解析】5：00时，时针与分针所夹角度是30°×5＝150°，7．某一时刻闹钟的时针和分针的夹角是108000″，此时这个夹角等于________°．【答案】30．【解析】108000″＝（108000÷60÷60）°＝30°，8．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．（1）时针每分钟转动的角度为________°，分针每分钟转动的角度为________°；（2）8点整，钟面角∠AOB＝________°，钟面角与此相等的整点还有：________点；（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．【答案】见解析【解析】（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；故答案为：0.5，6；（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，故答案为：120，4；（3）如图，∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．考点16：\o"方向角"方向角1．林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，水渠从C村沿（）方向修建，可以保持与AB的方向一致．A．北偏西25° B．南偏东25° C．北偏东65° D．南偏西25°【答案】C【解析】∵AF∥BG，∴∠A+∠ABG＝180°，又∵∠GBC＝25°，∠A＝65°，∴∠ABC＝180°﹣65°﹣25°＝90°，∵BG∥CH，∴∠GBC＝∠HCM＝25°，∵CE与AB的方向一致，即CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABC＝90°，∴∠MCE＝90°，∴∠HCE＝90°﹣∠MCH＝90°﹣25°＝65°，因此从C村沿北偏东65°的方向，才能使CE与AB的方向一致，故选：C．2．如图所示，下列说法错误的是（）A．嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上 B．学校在图书馆南偏东30°方向上 C．学校在嘉琪家南偏东60°方向上 D．图书馆到学校的距离为5km【答案】D【解析】A、嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上，说法正确；B、学校在图书馆南偏东30°方向上，说法正确；C、学校在嘉琪家南偏东60°方向上，说法正确；D、图书馆到学校的距离为：＝3（km），说法错误．故选：D．3．小明家在学校的南偏西50°方向上，则学校在小明家（）上．A．南偏西50° B．西偏南50° C．北偏东50° D．北偏东40°【答案】C【解析】∵小明家在学校的南偏西50°方向上，∴学校在小明家北偏东50°方向上．故选：C．4．某人在点A处看点B在北偏东40°的方向上，看点C在北偏西35°的方向上，则∠BAC的度数为（）A．65° B．75° C．40° D．35°【答案】B【解析】如图所示：∵某人在A处看点B在北偏东40°的方向上，看点C在北偏西35°的方向上，∴∠BAD＝40°，∠CAD＝35°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+35°＝75°．故选：B．5．如图，灯塔P位于小岛A北偏东38°方向，位于小岛B北偏西23°方向，则∠APB的度数为________．【答案】61°．【解析】作PE∥AF，由平行线的性质知，PE∥AF∥BD，∴∠FAP＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝38°+23°＝61°．6．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西________度的走向施工，才能使公路准确接通．【答案】55．【解析】如图：∵AD∥OC，∴∠COD＝∠ADO＝55°，即乙地公路走向应按南偏西55度的走向施工，才能使公路准确接通．7．某镇要修建一条灌溉水渠，如图所示，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，为了保持水渠CE与AB方向一致，则∠BCE为________度．【答案】90．【解析】如图所示：由题意可得：∠1＝65°，当CE保持与AB的方向一致，则CE∥BD，可得∠NCE＝25°+∠1＝25°+65°＝90°，故∠BCE＝180°﹣∠NCE＝90°，8．如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；（2）通过计算判断射线OG表示的方向．【答案】见解析【解析】（1）如图所示：OH表示南偏西50°方向，ON表示东南方向；（2）∵∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，∴∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，∴射线OG表示的方向为北偏东70°方向．考点17：\o"度分秒的换算"度分秒的换算1．下面等式成立的是（）A．83.5°＝83°50' B．90°﹣57°23'27″＝32°37'33″ C．15°48'36″+37°27'59″＝52°16'35″ D．41.25°＝41°15'【答案】D【解析】A、83.5°＝83°30'，故本选项不符合题意；B、90°﹣57°23'27″＝32°36'33″，故本选项不符合题意；C、15°48'36″+37°27'59″＝53°16'35″，故本选项不符合题意；D、41.25°＝41°15'，故本选项符合题意．故选：D．2．1.5°＝（）A．9′ B．15′ C．90′ D．150′【答案】C【解析】1.5°＝60′+30′＝90′，故选：C．3．把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（）A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″【答案】A【解析】2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″，故选：A．4．下列角度换算错误的是（）A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25° C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°【答案】A【解析】A、10.6°＝10°36'，错误；B、900″＝0.25°，正确；C、1.5°＝90′，正确；D、54°16′12″＝54.27°，正确；故选：A．5．如图，某市有三个中学A，B，O．中学A在中学O的北偏东61°15′的方向上，中学B在中学O的南偏东39°45′的方向上，则∠AOB的度数是________．【答案】79°．【解析】∠AOB＝180°﹣61°15′﹣39°45′＝79°，6．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是________．【答案】126°42′32″．【解析】∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，7．已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A________∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】＞．【解析】∵∠A＝30°45'＝30.75°，∠B＝30.45°，30.75°＞30.45°，∴∠A＞∠B．8．计算：（1）131°28′﹣51°32′15″（2）58°38′27″+47°42′40″（3）34°25′×3+35°42′【答案】见解析【解析】（1）131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″；（2）58°38′27″+47°42′40″＝106°21′7″；（3）34°25′×3+35°42′＝103°15′+35°42′＝138°57′．考点19：\o"角平分线的定义"角平分线的定义1．如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（）A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°【答案】D【解析】∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝AOB＝30°，又∠COP＝15°①当OP在∠BOC内，∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，②当OP在∠AOC内，∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，综上所述：∠BOP＝15°或45°．故选：D．2．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的个数有（）①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】设旋转角度为x°，①当x＞45°时，∠DBC+∠ABE＝（x+60）°+（x﹣45）°＝（2x+15）°＞105°，于是此小题结论错误；②∠MBN＝∠DBC﹣∠DBM﹣∠CBN＝∠DBC﹣∠DBA﹣∠CBE＝（60+x）°﹣（15+x）°﹣x°＝52.5°，于是此小题的结论正确；③当旋转30°时，BD⊥BC，当旋转45°时，DE⊥AB，当旋转75°时，DB⊥AB，则在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次，于是此小题结论错误；④当BE在∠DBE外时，如下图所示，虽然∠DBF＝∠EBF，但AB不平分∠DBF，于是此小题的结论错误．综上，正确的结论个数只有1个，故选：A．3．若射线OC在∠AOB的内部，则下列式子中：能判定射线OC是∠AOB的平分线的有（）①∠AOC＝∠BOC，②∠AOB＝2∠AOC，③∠BOC＝∠AOB④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】当OC在∠AOB的内部，OC是∠AOB的平分线时，∠AOC＝∠BOC，∠AOB＝2∠AOC，∠BOC＝∠AOB，所以①、②、③都能判定OC是∠AOB的平分线．④∠AOC+∠BOC＝∠AOB只能说明射线OC在∠AOB内，不一定是角平分线．故选：C．4．如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是（）A．59° B．60° C．69° D．70°【答案】C【解析】∵∠COB＝42°，∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，∵OD是∠AOC的角平分线，∴∠DOC＝＝＝69°．故选：C．5．如图，点O在直线AB上，OC是∠AOD的平分线．若∠BOD＝50°，则∠AOC的度数为________．【答案】65°．【解析】∵点O在直线AB上，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∵∠BOD＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°，∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOC＝∠AOD＝×130°＝65°，6．如图，点A在点O的东北方向，点B在点O的南偏西25°方向，射线OC平分∠AOB，则∠AOC的度数为________度．【答案】80．【解析】∵点A在点O的东北方向上，∴OA与东方的夹角为45°，∵点B在点O的南偏西25°方向上，∴OA与南方的夹角为25°，∴∠AOB＝45°+90°+25°＝160°．∵射线OC平分∠AOB，∴∠AOC的度数为：×160°＝80°．7.如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠BOD，∠BOC＝51°24'，则∠AOD＝________．【答案】77°12′．【解析】∵OC平分∠BOD，∠BOC＝51°24'，∴∠BOD＝2∠BOC＝2×51°24′＝102°48′，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣102°48′＝77°12′，8．线段与角的计算．（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB＝AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．【答案】见解析【解析】（1）∵AC＝15cm，CB＝AC，∴CB＝×15＝10（cm），∴AB＝15+10＝25（cm）．∵D，E分别为AC，AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝12.5cm，DC＝AD＝AC＝7.5cm，∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）；（2）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，又∵∠MON＝90°，∴6x＝90°，∴x＝15°，∴∠AOB＝135°．考点20：\o"角的计算"角的计算1．α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（）A．26° B．50° C．72° D．90°【答案】B【解析】∵α、β都是钝角，∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，∴180°＜α+β＜360°，∴30°＜（α+β）＜60°，∴计算正确的结果是50°．故选：B．2．如图，已知∠AOB＝26°，∠AOE＝120°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，则∠COD的度数为（）A．8° B．10° C．12° D．18°【答案】A【解析】∵OB平分∠AOC，∠AOB＝26°，∴∠AOC＝2∠AOB＝52°，∵OD平分∠AOE，∠AOE＝120°，∴∠AOD＝AOE＝60°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°﹣52°＝8°．则∠COD的度数为8°．故选：A．3．如图，OC是∠AOB的平分线，．则∠AOB等于（）A．75° B．70° C．65° D．60°【答案】D【解析】设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，∵∠BOD＝15°，∴∠AOB＝4×15°＝60°．故选：D．4．如图，已知OC是∠AOB的平分线，则下列结论：①∠AOB＝∠BOC；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠AOB；④∠AOB＝2∠BOC．其中正确的有（）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝AOB，即∠AOB＝2∠BOC，∴②③④正确．故选：A．5．如图，OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°．∠AOD＝100°，那么∠DOM＝30度．【答案】30．【解析】∵OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°，∴∠AOM＝∠AOB＝140°＝70°，∵∠AOD＝100°，∴∠DOM＝∠AOD﹣∠AOM＝100°﹣70°＝30°．6．已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，则∠AOC的度数是________．【答案】10°或20°．【解析】当OC在∠AOB内部时，如图1，∵∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，∴∠AOC＝；当OC在∠AOB外部时，如图2，∵∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB，∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，∴3∠AOC﹣∠AOC＝40°，∴∠AOC＝20°．综上，∠AOC＝10°或20°．7．如图，∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，则∠AOD等于________度．【答案】30．【解析】∵∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC＝30°，8．如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．（2）若取掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．【答案】见解析【解析】（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝，，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝，，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝＝×120°＝60°，．考点21：\o"余角和补角"余角和补角1．一个角的余角是30度，则这个角是（）度．A．20 B．30 C．60 D．150【答案】C【解析】90°﹣30°＝60°，所以这个角是60°．故选：C．2．若锐角α的补角是140°，则锐角α的余角是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解析】由锐角α的补角是140°，可得锐角α的余角为：140°﹣90°＝50°．故选：C．3．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC的度数为（）A．43° B．34° C．56° D．50°【答案】B【解析】∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°则∠BOC＝360°﹣2×90°﹣146°＝34°则∠BOC＝34°．故选：B．4．下列语句中，正确的个数是（）①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①直线AB和直线BA是一条直线，原来的说法是错误的；②射线AB和射线BA是两条射线是正确的；③互余是指的两个角的关系，原来的说法是错误的；④一个角的余角比这个角的补角小是正确的；⑤周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，原来的说法是错误的；⑥两点之间，线段最短是正确的．故正确的个数是3个．故选：C．5．若∠α的补角比其余角的2倍大30°，则∠α的度数为________°．【答案】30．【解析】∵∠α的补角比其余角的2倍大30°，∴（180°﹣∠α）﹣2（90°﹣∠α）＝30°，解得：∠α＝30°，6．有一个角的补角为125°，则这个角的余角是________°．【答案】35．【解析】有一个角的补角为125°，则这个角的余角为：125°﹣90°＝35°．7．若一个角的补角是105°，则这个角的余角是________度．【答案】15．【解析】180°﹣105°＝75°，90°﹣75°＝15°，答：这个角的余角是15°．8．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，点E在边AC上，且∠AED＝∠ACB．请你说明∠1与∠2互为余角的理由．【答案】见解析【解析】∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2＝∠EDC，∵CD⊥AB，∴∠1+∠EDC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故∠1与∠2互余．考点22：\o"作图—基本作图"作图—基本作图1．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】选项C正确．理由：如图，连接AP，由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴PA＝PC，∴PA+PB＝PC+PB＝BC，故选：C．2．下面三个图是三个基本作图的作图痕迹，关于三条弧①、②、③有以下三种说法：（1）弧①是以点O为