第5章-数字控制器离散直接设计方法

第五章数字控制器离散直接设计方法第一节脉冲传递函数解析设计原理第二节最少拍控制系统设计第三节纯滞后对象的控制算法——史密斯预估器

第四节纯滞后对象的控制算法——大林算法第五节数字控制器的程序实现

解析设计方法是一种直接在z域中设计方法，其基本思想是依据给定的控制环的系统结构，由系统的指标要求及实现的约束条件确定期望闭环z传递函数，通过代数方法求出所设计控制器的z传递函数第一节脉冲传递函数解析设计原理图5.2典型计算机控制系统结构图一、数字控制器D(z)的一般形式零阶保持器的传递函数为：广义被控对象的脉冲传递函数为：求出开环系统的脉冲传递函数为闭环系统的脉冲传递函数为：误差的脉冲传递函数为：又求出数字控制器的脉冲传递函数为：二

在物理上的可实现性所谓数字控制器

的物理可实现，即要求数字控制器算法中不允许出现对未来时刻的信息的要求，反映在z传递函数上，即

的无穷级数展开式不能出现z的正幂次项，表现为分子阶次必然要低于或等于分母阶次。设被控对象具有

个采样周期纯滞后，纯滞后脉冲传递函数为

，其脉冲传递函数为：设期望闭环传递函数为：

式(5-10)代入(5-9)得：(5-9)(5-10)将式(5-8)代入式(5-7)若

物理可实现，

中不能包含超前因子

，所以应满足下式：因此，期望闭环

z的传递函数为：即期望闭环传递函数

与广义对象

具有同样的滞后。（5-12）三

闭环稳定性要求为保证闭环系统稳定，

的零点应包括

所有不稳定的极点，而

应包括

的所有不稳定的零点。因此能够设

为下式为使闭环系统稳定，可建立(5-15)式，并能推导出(5-16)式。(5-15)(5-16)四

离散直接设计一般步骤离散化设计是把计算机控制系统近似看作离散系统，所用的数学工具是差分方程和z变换，完全采用离散控制系统理论进行分析，直接设计数字控制器。(1)根据式(5-2)求出带零阶保持器的广义被控对象的脉冲传递函数

。(2)根据系统的性能指标要求和其它约束条件，确定闭环系统的脉冲传递函数

。(3)根据式(5-7)求出数字控制器的脉冲传递函数

。(4)利用仿真软件，对求出的数字控制器

进行校验，若达到设计要求，进行下一个步骤，否则进行再设计。(5)根据数字控制器的脉冲传递函数

，求出差分方程，编写控制程序。(6)接入硬件，进行系统调试。（1）单位阶跃输入：（2）单位速度输入：（3）单位加速度输入：它们都可以表示为：(5-17)式中，是不包括的多项式。为正整数，对于不同的输入，只是不同而已，一般只讨论的情况。自动控制系统中，有三种典型的输入形式，其表示形式为：第二节最少拍控制系统设计

所谓最少拍控制，就是要求设计的数字调节器能使闭环系统在典型输入作用下，具有最快的响应速度，能在有限采样周期内达到采样点上无稳态误差或无静态误差。最少拍系统是建立在时间最优控制的基础上，因此也叫最快响应系统一最少拍无差系统最少拍无差控制器的设计任务就是根据式(5-7)求出数字控制器的脉冲传递函数

，使闭环系统在特定的典型输入作用下，以最少拍结束响应过程，并在采样时刻系统不存在稳态误差，输出能够准确地跟踪输入。因此最少拍无差系统的闭环脉冲传递函数形式为：（1）调节时间最短，即系统跟踪输入信号所需的采样周期数最少；（2）在采样点处无静差，即对特定的参考输入信号，在达到稳态后，系统在采样点能精确实现对输入信号的跟踪；（3）设计出来的数字控制器必须是物理上可以实现的；（4）闭环系统必须是稳定的。对最小拍控制系统设计的要求是：一

最少拍无差系统二最小拍闭环脉冲传递函数的确定

最小拍控制系统的设计要求是对特定的参考输入信号，在系统达到稳态后，系统在采样点处静差为零。根据此约束条件可以构造出系统的误差脉冲传递函数。典型计算机控制系统结构图如图5.2所示。图5.2典型计算机控制系统结构图由式（5-5）和式（5-6），得(5-19)利用Z变换的终值定理可以求出稳态误差为(5-20)由于不包括的因子，因此稳态误差为零的条件是含有，则可为下列形式（5-21）式中为的有限多项式，即

由最小拍控制系统的时间最短约束条件来确定的形式。当取＝1，不仅可以简化数字控制器，降低控制器阶数,而且还可以使的项数最少，调节时间最短。由式（5-21）得为（5-23）

对于三种典型输入信号下，最小拍控制系统的和汇总于表5-1中。三最小拍控制器的设计的确定1、广义对象的脉冲传递函数:数字控制器零阶保持器被控对象2、系统的闭环脉冲传递函数为：3、误差E(z)的脉冲传递函数为：4、数字控制器的脉冲传递函数为：

时间序列脉冲传递函数

单位阶跃输入

单位速度输入单位加速度输入

通式

典型的输入形式:A(z)是不包括(1-z-1)因子的关于z-1的多项式

F(z)是不包含零点z=1的z-1的多项式根据z变换的终值定理，系统的稳态误差e(∞)取F(z)=1，M=m讨论：不同的输入最少拍系统的调整时间？则有：单位阶跃输入：单位速度输入：单位加速度输入：单位阶跃输入时：系统经过T，系统稳定系统经过2T，系统稳定单位速度输入时：单位加速度输入时：系统经过3T，系统稳定1、对应于三种不同典型输入，系统分别经过T，2T，3T

系统达到稳定，系统的稳态误差为0。2、对应于不同的典型输入，为了得到最少拍响应，应选择合适的Φe(z)。3、对应于典型输入，选定Φe(z)后，可根据G(z)得到D(z)。

结论表5.1三种典型输入下的理想最少拍无差系统

例5.1设最小拍控制系统如图5.2所示，被控对象的传递函数,采样周期，采用零阶保持器，试设计在单位速度输入时的最小拍控制器。解：根据图5.2可求出系统广义被控对象脉冲传递函数

将代入，有

根据题意，输入信号为单位速度输入，即，则有：

代入式（5-7）求出最小拍控制器为下面对设计出来的最小拍控制器进行分析与校验。系统闭环脉冲传递函数为当输入为单位速度信号时，系统输出序列的变换为

即输出响应如图5.3所示。从图中可以看出，当系统为单位速度输入时，经过两拍以后，输出量完全等于输入采样值，即。但在各采样点之间还存在着一定的误差，即存在着一定的波纹。

图5.3单位速度输入时最小拍控制系统输出响应曲线图第三节纯滞后补偿控制算法-史密斯预估器具有纯滞后特性的对象属于比较难于控制的一类对象，对其控制需采用特殊处理方法。一般来说，对于控制这类对象，快速性要求是次要的，调整时间允许较多的采样周期，而对稳定性、不产生超调的要求是主要的。基于此，人们提出了许多设计方法，比较有代表性的方法有纯滞后补偿控制——史密斯(Smith)预估和大林(Dahlin)算法。一、纯滞后对系统控制品质的影响常规控制系统的结构框图如图5.4所示。被控对象含有纯滞后特性，其传递函数为式中，为被控对象不含纯滞后特性的传递函数。图5.4有纯滞后的常规反馈控制结构图一、纯滞后对系统品质的影响

系统的闭环传递函数（不考虑扰动时）为（5-27）

系统的特征方程为（5-28）

这是一个复变数的超越方程，方程的根也就是系统闭环特征根，将受到纯滞后时间的影响。通过对系统的频域分析可知，的增加不利于闭环系统的稳定性，使闭环系统的控制品质下降。因此，在进行控制系统设计时，为了提高系统的控制品质，应设法努力减小处于闭环回路中的纯滞后。除了选择合适的被控变量来减小对象的纯滞后外，在控制方案上，也应该采用各种补偿的方法来减小或补偿纯滞后造成的不利影响。二、史密斯补偿控制原理Smith预估补偿控制是克服纯滞后的一个有效的控制方法，其思想是根据系统的动态特性建立一个模型加入到反馈控制系统中，使延迟时间的被控量提前反映到控制器，从而减少超调量和加快控制过程。根据这个控制思想，控制器D(s)联接一个补偿环节，用来补偿被控对象中的纯滞后部分，这个补偿环节称为预估器，其传递函数为，由Smith预估器和控制器组成的补偿回路称为纯滞后补偿器，其传递函数为由Smith预估器和控制器组成的补偿回路称为纯滞后补偿器，其传递函数为。补偿后系统框图如图5.5所示，图5.6为其转换后的等效形式。图5.5Smith预估器控制系统结构图

实际工程上设计Smith预估器时，将其并联在控制器上，对图5.5作方框图等效变换，得到图5.6所示的形式。

图5.6Smith预估器控制系统等效图

图中虚线部分是带纯滞后补偿控制的控制器，其传递函数为

(5-29)

经过纯滞后补偿控制后系统的闭环传递函数为

(5-30)

由式(5-30)可见，带纯滞后补偿的闭环系统与图5.4所示的理想结构是一致的，其特征方程为：。纯滞后环节已经不出现在特征方程中，故不再影响闭环系统的稳定性。分子中的并不影响系统输出量的响应曲线和系统的其他性能指标，只是把控制过程推迟了时间。换句话说，纯滞后补偿控制系统在单位阶跃输入时，输出量的响应曲线和系统的其他性能指标与控制对象不含纯滞后特性时完全相同，只是在时间轴上滞后，闭环系统输出特性如图5.7所示。

图5.7闭环系统输出特性示意图三、史密斯补偿器的计算机实现

带有纯滞后Smith补偿器的计算机控制系统如图5.8所示。图5.8纯滞后补偿计算机控制系统结构图

图中为数字PID控制器；Smith补偿器与对象特性有关；为被控对象传递函数中不包含纯滞后环节的部分。

下面以一阶惯性纯滞后对象为例，说明Smith纯滞后补偿器的计算机实现过程。设被控对象的传递函数为式中Smith补偿器为：（5-32）离散化处理为：（5-33）式中，，，（取整数）。

为了便于说明Smith补偿器的计算机实现过程，将图中5.8的虚框部分变换为图5.9所示形式。图5.9Smith补偿器计算机实现结构图由图5.9有（5-34）为了便于计算机实现，由式（5-33），令可得到Smith补偿器的差分方程为（5-35）由式（5-35）可见，Smith补偿器的差分方程中有项。

那么如何用计算机产生该纯滞后信号，对纯滞后补偿控制的计算机实现是至关重要。

下面介绍一种在计算机控制系统中常用的产生纯滞后信号的方法，即存储单元法。

为了形成纯滞后步的信号，需在内存中开辟个存储单元，用来存储的历史数据

用上述方法产生纯滞后信号后，由式（5-35）即可求出。Smith补偿控制算法的实现步骤为：（1）计算偏差（2）计算控制器输出式中，，，（取整数）。式中，为比例系数；为积分系数；为微分系数。第四节纯滞后对象的控制算法——大林算法

大林算法的目标是设计一个合适的数字调节器D(z)，使整个系统的闭环传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节，而且要求闭环系统的纯滞后时间等于被控对象的纯滞后时间。大林算法方法比较简单，只要能设计出合适的且可以物理实现的数字调节器D(z)，就能够有效地克服纯滞后的不利影响，因而在工业生产中得到了广泛应用。但它的缺点是设计中存在振铃现象，且与Smith算法一样，需要一个准确的过程数字模型，当模型误差较大时，控制质量将大大恶化，甚至系统会变得不稳定。第三节大林控制算法

按照计算机控制系统直接化设计方法，Dahlin算法根据纯滞后系统的主要控制要求，将期望的闭环脉冲传递函数设计为一个带有纯滞后的一阶惯性环节，且纯滞后时间与被控对象的纯滞后时间相同。Dahlin算法的设计目标是设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统的传递函数相当于一个一阶惯性纯滞后环节，即式中，为被控对象的纯滞后时间，。为简单起见，设为采样周期的整数倍，即为正整数。为期望闭环传递函数的时间常数，其值由设计者用试凑法给出。一大林算法基本原理大林算法的设计目标是将整个系统的传递函数设计为具有一阶惯性加纯滞后环节形式，其中纯滞后时间与被控过程的纯滞后时间相等或近似相等，即将期望闭环传递函数设计为如果采用计算机控制，需要加入零阶保持器，此时期望闭环传递函数可离散化为：则可导出数字控制器的z传递函数如式(5-40)所示(5-40)(5-38)(5-39)1．含纯滞后的一阶惯性环节的控制形式带纯滞后的一阶被控对象的传递函数为广义被控对象的脉冲传递函数为将式(5-41)代入式(5-38)，得(5-36)(5-41)(5-42)二大林算法数字控制器的基本形式2．含纯滞后的二阶惯性环节的控制器形式带有纯滞后特性的二阶被控对象的传递函数为广义被控对象的脉冲传递函数为式中，(5-43)得(5-44)例5.2已知被控对象的传递函数采样周期试用大林算法设计数字控制器，并分析其输出响应和控制器的输出序列采样周期解：根据系统的性能指标选择闭环系统的时间常数被控对象的滞后时间为2.4s，它不是T采样周期的整数倍，必须利用扩展z变换求广义被控对象的脉冲传递函数。据大林算法，闭环系统的滞后时间也应该为2.4s，但为了简化运算，取纯滞后时间为2s，则闭环系统的传递函数为：

其脉冲传递函数为：数字控制器的脉冲传递函数为：当输入信号为单位阶跃时，系统的输出为：数字控制器的控制量输出为

图5.10系统输出波形图5.11控制量输出波形由以上输出序列与控制序列可见，输出采样值是呈惯性平滑上升的，但控制量出现大幅振荡，如5.10所示，这种控制量以二分之一采样频率大幅度衰减的振荡现象称为振铃。三、振铃现象及消除方法

数字控制器的输出以接近二分之一的采样频率大幅度上下摆动，这称为振铃现象。它对系统的输出几乎是没有影响的，但会使执行机构因磨损而造成损坏。在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统的稳定性，所以在系统设计中，应该设法消除振铃现象。1．振铃现象分析

振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采样周期、纯滞后时间的大小等有关。

在计算机控制系统中，系统的输出和数字控制器的输出之间的关系为系统输出与闭环系统的输入的关系为可以得出

它描述了数字控制器的输出与闭环系统的输入之间的关系，可进一步写作

表示的是数字控制器的输出与闭环系统输入之间的关系，它是分析振铃的基础。有

由分析可知，产生振铃现象的原因是数字控制器在Z平面上附近有极点。当时，振铃现象最严重，在单位圆内离越远，振铃现象越弱。

用振铃幅度来衡量振铃程度的强弱。它的定义是，在单位阶跃输入作用下，数字控制器的第0次输出减去第1次输出所得的差值，即3．振铃现象的消除假设写成如下形式：在单位阶跃输入时，数字控制器的输出为由上式可见根据振铃幅度定义，有当

时，系统不会产生振铃现象；

时，系统产生振铃现象，其值越大，振铃幅度就越大。由以上分析可得到一种消除振铃极点的可能方法，即在控制器设计时，通过合理选取采样周期，避免在

中出现可能引起振铃的零点。大林提出一种更为简单的修正设计方法。先找出造成振铃现象的极点因子，令其中z=1，这样便消除了这个造成振铃的极点。根据终值定理，这样的处理不会影响输出的稳态值，却可改善系统动态性能，即消除了振铃现象。例5-2中，按照大林算法设计的数字控制器的脉冲传递函数为：其中极点

在负实轴上，会产生振铃现象，可用上面的方法消除振铃现象。令因子

中的，代入

，得这样数字控制器的控制量输出为：可以看出，控制量序列朝一个方向衰减，不再以二分之一的采样频率振荡，因此消除了振铃现象。四、大林算法的设计步骤

（1）根据系统性能要求，确定期望闭环系统的参数，给出振铃幅度的指标。

（2）根据振铃幅度的要求，确定采样周期，如果有多解，则选择较大的。（3）确定整数。

（4）求广义对象的脉冲传递函数及期望闭环系统的脉冲传递函数。

（5）求数字控制器的脉冲传递函数。

（6）将变换为差分方程，以便于计算机编写相应算法程序。例

5.3已知某控制系统被控对象的传递函数为

。试用大林算法设计数字控制器D(z)。设采样周期为T=0.5s，并讨论该系统是否会发生振铃现象。如果振铃现象出现，如何消除。解：由题可知,当被控对象与零阶保持器相连时，系统的广义对象的传递函数为于是，可求出广义对象的数字脉冲传递函数为大林算法的设计目标是使整个闭环系统的脉冲传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节。据此可设

，可得

由上式可知，

有三个极点：

，根据前边的讨论z=1处的极点不会引起振铃现象，引起振铃现象的极点为

依据前述讨论，要想消除振铃现象，应去掉分母中的因子

即令

，代入上式即可消除振铃现象。

这样，无振铃时，数字控制器的脉冲传递函数

为

第五节、数字控制器的程序实现数字控制器的设计方法要变成在计算机上实现则需要编制算法程序。若状态空间形式表示

对应的差分方程时，数字控制器的状态空间方程可直接在计算机上编程。若以Z的脉冲传递函数表示

时，数字控制器

都是由软件来实现的。软件实现包括三种方法：直接程序法、串行程序法和并行程序法。一.直接程序设计法所谓直接程序法，是指将

离散化的差分方程不做任何变化，直接编制软件的方法。直接编排结构就是按高阶传递函数分子、分母多项式系数进行编程实现。数字控制器

通常可表示为(5-52)(5-53)为使计算机实现方便，把式(5-53)进行z反变换，