动力气象学总复习

动力气象学总复习

第一章绪论

掌握动力气象学的性质，研究对象，研究内容以及基本假定

动力气象学（性质）是由流体力学中分离出来（分支），是大气科

学中一个独立的分支学科。

动力气象学定义：是应用物理学定律研究大气运动的动力过程、热

力过程，以及它们之间的相互关系，从理论上探讨大气环流、天气系统

演变和其它大气运动过程学科。

动力气象学研究对象：发生在旋转地球上并且密度随高度递减的空

气流体运动的特殊规律。

动力气象学研究内容：根据地球大气的特点研究地球大气中各种运

动的基本原理以及主要热力学和动力学过程。主要研究内容有大气运动

的基本方程、风场、气压坐标、环流与涡度、风与气压场的关系、大气

中的波动、大气边界层、大气不稳定等等。

一、基本假设：

大气视为“连续流体”，表征大气运动状态和热力状态的各种物理量

（U,V,P,T,etal.）看成是随时间和空间变化的连续函数；

大气宏观运动时，可视为“理想气体”，气压、密度和温度之间满足

理想其他的状态方程，大气是可“压缩流体”，动力过程和热力过程相互

影响和相互制约；

二、地球大气的动力学和热力学特性

大气是“旋转流体”：90%的大气质量集中在10km以下的对流层；

水平U,V远大于w（满足静力平衡）；Q=7.29xl0-5rad/s,中纬度大尺度

满足地转平衡（科氏力与水平气压梯度力相当）。

大气是“层结流体”：大气密度随高度变化，阿基米德净力使不稳定

层结大气中积云对流发展；阿基米德净力使稳定层结大气中产生重力内

波。

大气中含有水份：水份的相变过程使大气得到（失去）热量。

大气下垫面的不均匀性：海陆分布和大地形的影响。

大气运动的多尺度性：（见尺度分析）

第二章大气运动方程组

控制大气运动的基本规律有质量守恒、动量守恒、能量守恒等等。

支配其运动状态和热力学状态的基本定律有：牛顿第二定律、质量守恒

定律、热力学第一定律和状态方程等等。

本章要点：

旋转坐标系；惯性离心力和科氏力；全导数和局地导数；预报和诊

断方程；运动方程、连续方程；状态方程、热力学方程及其讨论；局地

直角坐标系。

一、全导数和局地导数的概念

拉格朗日方法：以某物质体积元（微团）为对象，研究它的空间位

置及其物理属性随时间变化规律，并且推广到整个流体的运动；

欧拉方法则以流体空间某一固定体积元（空间点）为对象，研究不

同流体经过该固定点时的运动及其物理属性变化的规律，从而掌握流场

中各物理量的空间分布及其变化规律。

以温度T为例：

T（x,y,z,t）：x=x（t）;y=y（t）;z=z（t）

u=dx/dt;v=dy/dt;w=dz/dt

A点(x,y,公经过8t移动到B点(x+应y+Sy,z+用)

ST=T(x+3x,y+为,z+&)-T(x,y,z)

泰勒级数展开有：

ST=sT/at3t+aT/ax8x+aT/ay8y+aT/aza+a2rTia2t(St)2/2+...

两端除以况，并使况-0,则有：

dT/dt-aT/at+uaT/dx+vaT/ay+wdT/dz

dT/dt三lim[T(x+S)c,y+8y,z+&,t+8t)-T(x,y,z,t)]/&其中St—>0

dT/dt为空气个别微团的温度在运动中随时间的变化率，也就是场

函数的全导数(个别变化率)

aT/9t=lim[T(x,y,z,t+5t)-T(x,y,z,t)]/5t其中况—>0

sT/st为空气大气运动空间中固定点上的温度随时间的变化率，也

就是场函数的局地导数(局地变化率)。

dTdTsTdd-_、dd钟「

—=------FV>•-,—=—F―,—=---匕

dtdt33dtdt33dtdt33

一一一一a一。-s

V=ui+v/+wA:,V=i----bj----\-k—

33dxdy&

—=--V-V,-w—

dtdtdt2dz

心—吗-嗡为温度的平流变化(率)，也就是温度平流;

-wa77次为温度的对流变化(率)。

二、旋转参考系下的运动方程

惯性坐标系：若物体不受外力作用，则物体相对于这类参考系作匀速率

直线运动(无加速度)。这类参考系叫做惯性参考系。

非惯性系参考系：相对于惯性系(静止或匀速运动的参考系)加速运动

的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观

察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。

牵连位移，以cU表示；绝对位移，以(V表示；相对位移，以dr

表示。绝对位移是相对位移和牵连位移的矢量之和，即：

dar=dr+dj(1)

公式两端除以况，并使3tf0(dt),则有：

dar/dt—dr/dt+dcr/dt⑵

即：Va=V+Ve(3)

表明绝对速度Va等于相对速度V与牵连速度V.的矢量之和。

Ve是由旋转引起的牵连速度，实际上就是地面上P点由于地球旋转产生

的线速度，即:

虫l=V=Qx7=CxA(4)

dte

其中。是地转角速度，r为地球半径，R是纬圈面上的半径矢。

把(4)带入(2),则有

幺二生+Cx尸=(4+Cx)7(5)

dtdtdt

今=(2+Cx)(6)

其中，da/dt表示绝对坐标系中的个别变化，d/dt为相对坐标系中的个别

变化，(6)式表示绝对坐标系中的个别变化与相对坐标系中的个别变化之

间的关系，而且上式的算符对于任意矢量都是成立的。

把(5)中的r换成Va后，得到

dVd--

方—乂⑺

把(3)和(4)带入(7)后，有:

dd—•—•d—•-—•

-^-=(—+Qx)-(VV)=(—Qx)-(V+Qxr)

dtdt+dt+

n必如+2QxV+Qx(Qxr)(8)

dtdt

此式表示绝对坐标系中的加速度与相对坐标系中的加速度的关系，其中

2QxV为柯氏加速度；Cx（Cx尸）=—UR为向心加速度。

-2Cx?为地转偏向力（科氏力）；露犬为惯性离心力。

其中，Cx（Cx产）=—CX（CXA）=—（0R）C+（C®R=C2R

重力：HR,重力（g）等于地心引力（ga）和惯性离心力（dR）

的矢量和。

大气的水平运动：

（一）影响大气水平运动的四种力

气压梯度力（原动力）；地转偏向力（科氏力，改变方向）；惯性离心力

（改变方向）；摩擦力（减速、改变方向）。

1、水平气压梯度力：当气压梯度存在时，作用于单位质量空气上的力,

称为气压梯度力。气压梯度力可分为垂直气压梯度力和水平气压梯度力

两种。

♦水平气压梯度力使空气从高压区流向低压区，是大气水平运动的原动

力，其表达式为：G=-工皿

p\n

G—水平气压梯度力；〃一空气密度；/一两条等压线之间的气压差;

An-两条等压线之间的垂直距离；Ap/An-为水平气压梯度；

“一”负号表示方向由高压指向低压。

2、地转偏向力：指由于地球的自转而使地表上运动的物体发生方向偏

转的力。它包括水平和垂直两个分力。

地转偏向力是使运动空气发生偏转的力，它总是与空气运动方向垂直。

在北半球，它使风向右偏；它的大小与风速和纬度成正比，在赤道为零,

随纬度而增大，在两极达最大。地转偏向力只能改变风的方向，而不能

改变风的速度。

3、惯性离心力:离心力是指空气作曲线运动时,受到一个离开曲率中

心而沿曲率半径向外的作用力。这是空气为了保持惯性方向运动而产生

的，所以称为惯性离心力。它的方向与空气运动方向垂直。

在一般情况下，空气运动路径的曲率半径很大，惯性离心力远小于地转

偏向力；但在空气运动速度很大而曲率半径很小时，如龙卷风、台风，

离心力很大，甚至超过地转偏向力。

4、摩擦力：

摩擦力指地面与空气之间，不同运动状况的空气层之间相互作用而产生

的阻力。气层之间的阻力，称为内摩擦力；地面对空气的阻力，称为外

摩擦力。

♦摩擦力以近地面层最显著，随高度增加而迅速减弱，一般到1—2km

以上就可以忽略不计了，此高度以上气层称为自由大气。

♦摩擦力方向与风向相反，使风速减小，导致地转偏向力也相应减弱。

陆地表面摩擦力总是大于海洋表面。

旋转参考系中的大气相对运动方程的矢量形式

dVa-------

—-=G+A+C+ia+F

=V3p-2QAVS+g+尸

P

g=C^ga

甘巾dV3dV3——

具中：——+（VV,）V

dtdt33

连续方程：是由质量守恒定律推导出来：

?+%匕=。

at

匕匕为速度的散度，表示物质体积元在运动中的相对膨胀率。上式

表明：物质体积元在运动中的体积增大（减小）即：K％＞（＜）0时，因

质量守恒其密度要减小（增大）。

阳=0

%0匕表示单位空间体积元中流体质量的净流出率。上式表明：对

于固定体积元而言，当有质量流出（入）时，即：匕?匕＞（＜）0时，固定

体积元的密度要减小（增大）。

状态方程；表征大气热力状态的参数有气压（P）、温度（T）、密度（p）或者

体积（V）。状态方程给出三者之间的关系。

干空气的状态方程可表示为：p=pRT

其中，R为干空气的比气体参数，R=2.87J-K-'-kg1o

热力学方程：

热力学第一定律：系统内能的改变，等于进入系统的热量与系统对外界

作功之差。

常用的热力学能量方程为

dTda-dTdP-1

,dt1dtpdtdtp

Cp=Cv+R,Cp为干空气定压比热，Cp=1000J-K，kg\J为干空气定容

比热，Cv=717JK"g",cc=l/p

以位温表示e=T（等产g,贝1J：金粤

在绝热条件下，位温守恒：。/，*=0

位温（0）的定义：大气绝热运动到气压为lOOOhPa高度上温度，称为

位温。

球坐标系中的基本方程组：

球坐标系中的运动方程

duuvtg(puw1dp.„

—co1Jr"1广%

dtrrpcos(pOA

dv6gfp,空一空一….

dtrrpd（p

dww2+v215p

=心g+小+工

dtrpdr

dp1du1S(vcos^)a(wr)

)=0

dtrcos(pdXrcoscpd(p~VdI

B平面近似

地转参数：f=2Qsin（p

将/在纬度（Po处泰勒展开:

f=fo+By

其中，fo=2f2sin（f）o,J3=（df/dy）0=2f2cos（p^la

L代表运动的经向水平尺度，贝I：

flyCOS/L

/osin/a

中纬度地区，%i,所以可以略去地球曲率的影响，有:

产于o,7看成常数处理，这种近似称为“启‘近似。

低纬度（赤道）地区，力70,因而有:

fPy=­y,赤道B平面近似。

z坐标系下的闭合方程组：

生1dp

力+户+工

pdx

火

1

山dp

_fU+Fy

P/

dw1dp「

——=---------g+F.

dtpdz

dp.dudv八

—+p(——+—+―)=0

dtdxdydz

p=pRT

dTda-dTdP-din。•

丁+p-=2C--a—=Q,——=Q

dtdtdtdtdt

哪些是预报方程、哪些为诊断方程?

热力学方程简化及讨论

d\nO合In。d\nOd\nOd\nO.

------=--------\-u------Fv------Fw-----=0

dtdtdxdydz

对位温公式取对数微商

d\nO_d\nTRdinp

dzdzCpdz

d\n6_1dT_Rdp

dzTdzCpdz

利用状态方程和静力平衡方程后，得到:

,•学=_pg，P=pRT

dz

d\x\e1dTg

--------------------+--------

dzTdzCpT

8\n0

dz

Yd称为干绝热垂直递减率，7为气温随高度的递减率。

Sing1,、

-T—=-(/</-/)

dzT

8\n38ln0d\n0din3_

---------FU--------+V---------+W---------=0

(5/dydz

1@n，d\ndd\x\6

=>w=----------(k---------+u---------+v----------)

ainfdtdx3y

dz

。〃、

b三l^n^=不1(z/一乃

dzT

1,dln0Sin，Sln，、

w=-----(+〃-+----v--—---—)

dtdxSy

1In0aIn夕dIn0.f°s

Lt---------v-------------

at&XSy

1.f°s

W

上式表明，静力稳定度（。）对铅直速度有抑制作用。

铅直速度的量级:

cr=-(r(y-y)=^-(l--^-)

TTC„yd

b-10'O'(炉Z.V1)

TC„r„

W10^W.s_|

bgD

第三章尺度分析与基本方程的简化

大气中存在不同尺度（时间和空间）的运动；大气运动方程组是非常复

杂的，它是具有六个变量的非线性偏微分方程组，因此在研究具体的大

气运动过程时，需要对方程进行简化。所谓简化就是在运用运动方程之

前.，针对所研究的运动形势的特点，正确区分影响运动过程的主要因素

和次要因素，然后略去方程中次要项而保留其中主要项。

主要内容：

尺度和尺度分析的概念（掌握尺度间的基本关系式和尺度分析方法）

基本方程组的简化（了解大尺度运动方程的基本性质）

基本方程组的进一步简化

无量纲方程及动力学参数

本章要点：

尺度分析的目的和方法；简化后的大气运动方程组的基本特性。

尺度分析的基本概念和目的

尺度分析就是根据表征特定型式运动的各种运动要素的特征尺度来估

计方程中各项的大小，从而使得方程得到简化的一种方法。

这里所说的运动要素的特征尺度是指某种特定型式运动的空间范围和

时间区间以及气象要素或者其他特性的一般大小。

采用尺度分析的方法对方程进行分析，判别各个因子的相对重要性，然

后舍去次要因子而保留主要因子，使得物理特征突出，而达到简化又保

存主要特征的目的。

这样一来，简化的方程一方面在数学形式上变得简单和容易处理，另一

方面突出了某种运动型式的本质特征，其结果便于从物理上进行解释和

在实际工作中应用。

动力气象学中常用的一种简化方程的方法一尺度分析法

大尺度运动的基本性质

适合于中纬度大中尺度运动初步简化的基本方程组为：

生

--

力+/SV

电

--

力

置

生

加

力--

虫¥+

力TP

咖

打1

C一

大-

力

夕

这一方程组已经完全忽略了球面效应。即表明局地直角坐标系中的运动

方程组实质上可以看作为球面坐标系中运动方程组的简化形式。

利用尺度分析方法对大尺度运动的基本性质进行分析，根据观测事实,

中纬度大尺度运动中各基本尺度的量级分别取为

水平尺度L〜106m

铅直尺度。〜“〜104m

水平速度尺度[/〜10m.s"

扰动传播速度尺度。〜U〜10m.s"

时间尺度i~LU〜10次

重力加速度g~10m-s2

地转参数久〜10飞"

水平运动方程为：

01

+

一=_P

力1/%V

八+

一=-

"2

对于大尺度运动有:

生如210-^.S-

dtdtL

fufvf.U

水平气压梯度力的量级应当于科氏力量级相当，因此有:

一翳fu

作为零级近似，在略去加速度项后，大尺度水平运动方程为:

1dp

0=—+fv

pdx

0=」型

PSy

这就是地转平衡方程。表明大尺度水平运动中水平气压梯度力与科氏力

相互平衡。该方程为诊断方程。

铅直运动方程为:

dw1dp

~=---~~8

dtpdz

对于大尺度运动

-W----..U..-sy“y，----U--D-

DLL

dWUWU2D

dDL13

2

g~10m-s-

于是在相当大的精度范围内，相对于重力和铅直气压梯度力而言，铅直

加速度可以略去，于是大尺度垂直运动方程为:

1

0n=——-dp--g

pdz

这就是静力平衡方程。表明在铅直方向上，重力和铅直气压梯度力平衡。

该方程给出了瞬时气压场与密度场（温度场）之间的关系。

对于大尺度运动，D〜H,对流层中气压和密度随高度的改变与它们本

身的量级相当,即:

dinpdp1

dzp8zD

Sinpdp1

&pdzD

大尺度运动存在地转平衡，水平气压梯度力与科氏力相当，所以有:

1Sp1dp

〜

poAx~poAyJoU

1dp

由静力平衡近似关系，得到:a〜g

P&

由状态方程：p=pRTnRT二=P_

P

曳

ai1Sinp1dp

vcInp=—opn-----=——1

pdzpdzdinp

dz

1dp

：.RT=B=~^^NRT~gD

dz

曳

dinp1dp0

,・,------=———&vp,=-^-

因此&pdx5Inp

dz

.dlnp（啊_i（dlnp）（当=d当飞当）（孚

dxdz及dxpdzdzpoxDg

同理：迎£~迎

力Dg

类似的，对于密度p也有

ep

的」史&,：卢

dxpdx.In/?

dz

华=已当T（警）（m~册小华

oxpozdzpoxDg

同理：〜必

3yDg

类似证明有:嘤岩送

对于连续方程为：

dp,dudv0卬、八

—+p(—+—+—)=0

dtdxdpdz

din夕.dudvdw.八

------+(—+—+—)=0

dtdxdpdz

5Inp5Inpdinp5Inpdudvdw

dtdxdydzdxdp&

其中，^^u^~V^~f0U^D~^S-'

dtdxdy

W以上~空~上~］（巴7

而次次口

史也上-—

dx6yL

因此，连续方程的零级近似为:

dxdy

零级近似简化方程说明大气运动在水平是无辐散的。

连续方程的一级近似为：

dudvdwd\npn

dxdydzdz

,du合叭dpw八

orp(------1------)d----------x()

dxdydz

对一级近似简化方程，从Z=0到ZT8垂直积分，并利用边界条件:

z=0时w=0以及z—>oo,pw=0,得到

「7(,d菽u+d而v心=。

一级简化方程说明上下层速度辐合、辐散相互补偿，整层大气是水平无

辐散的。这就是达因(Dines)补偿原理。

此外，根据尺度分析可知:

史+包~上~10-6「

dxdyD

但是电~包~2~10-5『

dxdyL

这表明水平辐散中两项总是相互补偿的!

以上简化表明中纬度地区大尺度运动具有准定常、准水平、准地转、准

静力平衡和准水平无辐散的特点。

无量纲方程及动力学参数

对利用特征尺度将基本方程组进行无量纲化。

不计摩擦的局地直角坐标系x方向的运动方程为

dudududu1dp.

------Fu------FV------FW-----=---------------F

dtdxdydzpdx

给出特征尺度引入无量纲量，记为:

(x,y)=£(/,yf)

(w,v)=U(u\vr)

△hPfP'hP'

Z-DT!

t-Tt'

w=Wwf

p=7ipf

f=f.f

带上标的为无量纲量，量级为1。

bgD

当D〜H有

W［册2,

W=--------w

bgD

对X方向上的运动方程无量纲化，得到:

dudududu1dp.

——+u——+v——+w——=-------+jv

dtdxdydzpdx

Udu'"28"，>\u,,du'、A,P1dp\.,

+—(u—+v—du)+——-------(w—)=----y2—z(———)+tlie

Tdf---LdxdyagDDdz兀Lp'dx'

上式两端除以为u,

-L也+2(/曳+M叫+£(“骂=-上」骂+〃

于。7说f[}LdxdygoD-dz兀LfJJp'dx'

并定义如下参数:

F_1R_Ug"

2

forf0LU

则有:

dudu,dui,du'△力尸1dp.,

£—+4(〃t一+v—)+R(w—)=---------(------)+fV

dt'dxdy1dz兀LfJJp'dx

讨论£=_L,&三0,R产丝£参数的物理意义？

加fjU2

2

1口_Up_goD

"不’R。三不送三方

£为基别尔参数，定义为局地惯性力与科氏力的尺度之比:

%%」

找f0Uf0T

为是大气中惯性运动的特征频率，所以，70"可以理解为惯性运动的特征

时间尺度（％）,也是地转适应过程的特征时间尺度。

£三，=上，因此，双可以理解为惯性运动的时间尺度与所研究的运动

//T

时间尺度之比，其大小反映运动变化过程的快慢程度。即£的量级表示

运动地转平衡近似程度。

g三1侪当£1,du/dt相对于/V可以略去。

心为罗斯贝参数，表示为水平惯性力与科氏力的尺度之比:

V-VMU2/LU

R0=

fvf.ufnL

当R01,水平惯性力相对于科氏力可以略去；反之当凡1,科氏力相

对于水平惯性力可以略去。由于各类运动中的图中水平速度变化不大,

因此,区的大小主要依赖于各种运动的水平尺度。大尺度运动中，R。1,

科氏力是不能忽略的；小尺度运动中，小1,科氏力可以被忽略不计。

凡为理查逊数，这是一个与大气层结稳定度和风速切变有关的动力学参

数。

氏_dgln6/a_gergcrZ)2

'=(®/&)2一(%/次)2~U?

热力学方程由位温（⑨来表示为:

d\n6d\n0d\n6

------+〃--------FV-------1-W------=0n

dtdxdydz

人31n6I,、

ozT

众所周知，层结越不稳定、风速越强，则有利于对流的发展；反之不利

于对流的发展。所以，凡当用来表示大气中对流（扰动）导致的条件。

此外，比较水平与铅直运动中的水平惯性力与重力的尺度大小：

LV-VMU7L

Fr=---------

gg

在大气中，一般氏在10一8~10-1之间，只有当水平尺度LV102m和风速很强

时，工才可能达到10°的量级，相对于水平惯性力而言，重力一般是可以

忽略的，大气通常满足静力平衡。

第四章自由大气中的平衡流场

通过尺度分析，对大尺度运动方程进行简化，表明中纬度地区大尺

度运动具有准定常、准水平、准地转、准静力平衡和准水平无辐散的特

点。因此研究静力平衡条件下大气平衡流场的性质，对理解实际水平流

场的特征有重要意义。

主要针对：①准水平；②无摩擦（自由大气）。

1、主要内容

自然坐标系；平衡流场的基本型式和性质；地转风随高度的变化以及热

成风；地转偏差

2、基本要求

①掌握自然坐标系的运动方程

②正确区分流线和轨迹

③掌握地转运动、地转偏差、热成风的概念

自然坐标系

坐标原点固接于质点，坐标轴沿质点运动轨道的切向和法向的坐标系，

叫做自然坐标系。切向以质点前进方向为正，记做4,法向以曲线凹侧

方向为正，记做en(见下图)。

(1)位置：在轨道上取一固定点。，用质点距离。的路程长度s,可唯

一确定质点的位置。位置s有正负之分。

(2)位置变化：As

(3)速度：沿切线方向，V=|v|ez

(4)加速度：五=包=上=®。皿

dtdtdt!dt

切向加速度：手可描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。

dr

2

法向加速度：••・lim丝=lim竺痣=学痣或落=上/描述速度方向改

y\t弋景\tdrp

变的快慢，不影响速度的大小。

在自然坐标系下，空气微团的速度为:

Vh=Ve

空气微团的加速度为:

区=必.丝

dtdthdt

_一一dv_v2_

__dv_v2_

a="s+a岛=--es+—en

atRr

RT：轨迹的曲率半径。

航=%-

dtdtrT

RT为空气轨迹的曲率半径，规定当轨迹呈气旋式反时针运动时为3>0,

当轨迹呈反气旋式顺时针运动时为&<0。上式第一项为切向加速度，第

二项为向心加速度（负值为反向，称离心加速度）

在自然坐标系下，气压梯度力为：―—―道」当

ppospOS

水平科氏力为:-fkxVh=-fVhh

自然坐标系下的运动方程为：

dVh_1dp

dtpds

匕f-驾

RTpdn

轨迹与流线

轨迹：某一流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的

线称为迹线，或者迹线就是流体质点运动时所走过的轨迹线。拉格朗日

法分析流场。

流线：流线是某瞬间在流场中绘出的曲线，在此曲线上所有各点的流速

矢量都和该线相切。欧拉法分析流场。

流线：某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度矢量与曲

线相切。

dxdydz

流线微分方程：1=广=1

UxUyUZ

性质：一般情况下不相交、不折转，流线表示瞬时流动方向；流线密处

流速大，流线稀处流速小。

轨迹：质点运动的轨迹。

迹线微分方程：—=—=—=dt

“rUyU.

以后和&分别表示轨迹和流线的曲率。则有：

SsfoSsds

sr捻加

半表示风向角沿轨迹的变率，学表示在任意瞬时风向角沿流线的变率。

asds

则风向角随时间的变率为:

d(pd(pds

=Vk

dtdsdtT

d(p_d(pds

=Vk

.dtdsdts

...女二丝+v亚="+以

dtdtdsdt

••*冷……)

dtat

Blaton公式:公£

在平衡流场基本的型式和性质

dtpds

在气流方向无外力的定常水平流场为平衡流场。此时的自然坐标系

下的运动方程为：平衡流场中的等压线就是流线，空气微团运动是等速

率的。在法线方向上，三力相平衡。

自由大气中，空气微团以水平匀速度运动为梯度风。即孤=()所谓

dt

梯度风即是水平气压梯度力、水平科氏力和离心力三者平衡下的运动。

0=」如

pds

J”?

rTpon

地转风：当RT—OO时，梯度风既为地转风（％）。

地转风定义：在自由大气中，因气压场是平直的，空气仅受水平气压梯

度力和水平地转偏向力的作用，当二力相等的空气运动称之为地转风:

高（低）压在地转风右（左）侧;

①当空气密度和地理纬度一定时.，地转风的风速与气压梯度成正比。即

地转风的风速随等压线的疏密程度而变，当等压线愈密时一，地转风的风

速愈大，等压线愈稀疏，地转风的风速愈小。

②当空气的密度与气压梯度一定时，地转风的风速与地理纬度的正弦成

反比，即低纬度地转风大于高纬度。但由于低纬度气压梯度力很小，地

转风也很小。

③当气压梯度和地理纬度不变时，地转风的风速与空气密度成反比。

白贝罗风压定律：在北半球，风是顺着等压线吹的。背风而立，低压在

左手边，高压在右手边；南半球相反。

地转运动必须满足的条件：

①气流方向无外力；

②地转运动是水平、定常；

③水平气压梯度力和科氏力严格相平衡，因此实际大气风场不大可能

是地转风场。中纬度自由大气中水平气压梯度力和科氏力近似平衡，运

动是准水平、准定常的。

其分量形式为：

1dp

H0-

'fp办

_Idp

“fp&

惯性运动：气压水平分布均匀（水平气压梯度力=0）科氏力与惯性离

心力相平衡的流场为惯性流，其动力学关系式为：

1（V=01/

"+丫2=0所以有：1和&=-

肉1匕=-/勺f

1.%=0为静止，无意义。

2.在北半球＞0,需要H/O,于是在北半球空气微团运动轨迹必然是

反气旋顺时针的。

3.如果不考虑/的变化，则即随是常数，其轨迹为惯性圆。运动的周

期为玉=洋町=子=＞/==竽=27]

匕.fCsin（pf

旋衡运动：小尺度运动中，当空气微团运动轨迹和风速较大时，水平科

氏力比较气压梯度力和离心力都小，这时的平衡运动为旋转风（匕）。如

龙卷风和旋风。其动力学关系为：=_1所以有:

RTpon

V”（一生

pon

当种。时，需要等＜。,即中心为低压，反之即＜0时，则中心为高

压。旋衡运动可以是气旋式的，也可以是反气旋式的（见下图）。

旋平衡运动中力的平衡

图中Ca表示惯性离心力，P表示水平气压梯度力

讨论北半球梯度风的性质

由梯度风的公式，得出梯度风公式：

£=_乃」型nk=_出土（型L旦

G

RTpdn24p

梯度风方程解的分类（北半球）

/?1>0

取正锐：里旋性环微，正常低取正号：质机旋性环流，异常

压⑷施压⑷

取负号：无物理意义取负号:.反再旋性环流，正常

取芷号：无物理府:又般正号；反包旋性环流•异常

低压G）

取负号：无物理意义取负母：无物理意义

热成风：地转风随高度的变化。

在静力平衡条件下，水平气压场结构随高度因温度分布不均而变地转风

关系也随之变化一热成风。

正压大气：大气密度的空间分布仅依赖于气压⑦）的大气，即：片zXp），

正压大气中地转风不随高度变化，没有热成风。

斜压大气：大气密度的空间分布依赖于气压S）和温度（乃的大气，即：

P=AP，T）。实际大气都是斜压大气，和正压大气不同，斜压大气中等压

面、等比容面（或等密度面）和等温面是彼此相交的。

p坐标系下的地转风表达式为：

-1-陀150-

V=一一▽①xk=/=——V——xk7

fdpfSp3匕R-

J1J1———=（Z:xVT）

,dp60RTd\npf

and*.•——=-pgn——=------

dzdpp

上式为热成风方程！

热成风定义为在铅直方向上两等压面上地转风的矢量差：

D=g(pJ—D(P2)=—，1&xVT)/ln〃

如果令了为两等压面之间的平均温度，则有:

%=31x5)ln(")

fPi

-1-

Vr=-^xV((D1-Q0)

可见，热成风方向与等平均温度线（等厚度线）平行，在北半球，暖（冷）

区在热成风方向的右（左）侧。热成风大小与平均温度梯度成正比，与

纬度的正弦为反比。

地转风与平均等温场之间的关系：地转风向随高度逆（顺）时针转动,

与此相伴随的是冷（暖）平流。

是一个非常有用的诊断方程!

地转偏差:#'=R_匕

不计摩擦的水平运动方程为

dV一一

——=—▽①一小xV

dt

一__—,■—*—*—*

=——xk=-V<Pxk-f(kxV)xk

dt

•/V,=--VOx^and(kxV)xk=V

dV~---

・••--xk=f(yg-v)=-jv'

-1dV-

V'=--—xk

fdt

可见，地转偏差与水平加速度方向相垂直，在北半球指向水平加速度的

左侧。其大小与水平加速度成正比，与纬度的正弦为反比。

物理意义：地转偏差由水平加速度造成，即由水平气压梯度力与科氏力

的不平衡引起。

地转偏差

在多数情况下与实际大气十分接近一一大气运动处于准动态平衡中。

第五章环流定理与涡度方程

大气运动具有明显的涡旋特点，无论小尺度还是大尺度天气系统都

呈现出涡旋特征，如龙卷、台风、气旋、反气旋以及绕极旋涡。此外，

海陆风、山谷风以及Hadley环流等等也可以看成另外一种涡旋运动。

1、主要内容

环流与环流定理

涡度与涡度矢量方程

泰勒一普劳德曼定理

铅直涡度方程

P坐标系中的涡度方程

位势位势涡度方程

2、基本要求

①正确理解环流的定义以及Kelvin环流定理

②掌握涡度、散度的概念及其表达式

③掌握正压大气中绝对环流守恒定理之证明

④涡度方程各项的含义

一、绝对环流定理

速度环流：在流体中任取一闭合曲线（回路）L,曲线上每一点的速度

大小和方向是不一样的，如果对各点的流体速度在曲线L方向上的分量

作线积分，则此积分定义为速度环流，简称为环流C（见下图），即：

C=［区ds=cosads（1）

其中，匕为速度，ds是曲线L方向上一致的弧元，a为V3与心之间的

夹角。Vcosa是风速沿该线元的分量。

上式就是速度环流的表达式，它表示流体沿着闭合曲线L的流动趋势,

也表示转动的倾向。

若取直角坐标系，以r表示曲线上点的矢径，则ds=ld”,于是有:

C=V3dr=u8x+v8y+w6z

为了简便起见，考虑水平方向的速度引起的环流，水平速度v的分量分

别为〃和v,则上式为：

C=dr=^uSx+v8y

积分路径（即曲线L）的方向确定？

习惯上规定，如果沿曲线走，曲线所包围的面积始终在其左侧，则该方

向确定为曲线（回路）的正方向，反之，则为负方向。在水平面上，如

果曲线所包围的是单通区域，那么逆时针方向就是曲线的正方向，这时

的环流大于零，称为气旋式环流；顺时针方向为曲线的负方向，环流小

于零，称为反气旋式环流。

图中表示在x-y平面上任取一个小正方形，它的边长分别为Bx和3y,假

设在AB边上的风速为“，在离开AB边3y处的另外一边DC,其风速

为〃+包办。同理，在AD边上的风速为％在离开AD边3x处的另外

必

一边BC上的风速为-+史因此该闭合小口的环流为BC,它等于：

dx

8C=u3x+（v+-3x'）3y-（u+—3y）3x-v3y

dxdy

=（获一可的=（天一加2A

其中5c为沿小闭合四边形ABCD的环流，8A=5x8y为该闭合曲线的面

积。则BC/3A表示绕铅直（Z）方向的涡度，即：

PSC.dvdu.

L=——=（----）

8Adxdy

Y小

在水平面上一面积元的环流与涡度的关系

涡度的其他表示公式？

绝对环流：Ca=[K疗

在实际问题上，不仅需要确定环流，更需要知道环流随时间的变化，以

及环流变化的动力学原因。

考察闭合曲线L的环流C随时间的变化，环流C对时间求导，得到：

骼三篇5

由于和运算给予互相交换，因此有:

dV

Vdr=3

3"力吟

Ldt

上式右边第一项是由于加速度引起的环流变化，右边第二项是由于闭合

曲线L的变化所引起的环流变化。ldrl=ds,ds是曲线的弧元，它是随流

体运动而变化的；其次”的算符是空间微分，与个别微商d/df是两个

独立运算，故可以交换次序，所以有：

j疗)=%)=附

因此右边第二项变为:

.一dv2

K—(dr)=VdV=J^J(—)=0

L3dtL33

所以环流随时间的变化可以表示为:

Vdr=

3Ldt

这就是环流定理，它表明：沿任意闭合回线的速度环流随时间的变化率,

等于沿同一回线的加速度环流。简单地说，环流的加速度等于加速度的

环流。

如果从惯性坐标系下观测大气运动，对绝对速度作闭合回线L的积分,

得到绝对环流的。表示为：

ca=］环近

相应地，绝对环流Ca随时间的变化率可以表示为:

"丹1

不计摩擦力作用的绝对运动方程为：

*一*p+g*,熄―皿

。是地球引力位势。于是对上式作闭合回线L的积分，得到:

aVpdr-J”3①3dr

小73

在笛卡儿直角坐标系中，任意变量/x,y,z）的全导数可记为:

帆=~dx+^-dy+-dz=y3</>dr

dxdydz

所以有：1次〃公=一心"

服dr=—，她=0

带入绝对环流随时间的变化率后有：

£°丫"dr=JQV3Pd亍=_[adp

上式为绝对环流定理，表明绝对环流的变化与地球引力无关，仅与气压

梯度力的切向分量沿闭合曲线的积分来确定。

上式中右端-1。物称为力管项，取（p,a）平面坐标系（下图），力管

项的数值大小由p-a平面上积分路径L所包围的面积决定。

因此如果在该平面上画出许多等压线和等比容线，并令每相邻的等值线

都相差一个单位，那么由L内的方格数就是力管项的大小。

积分-1adp,当L为逆时针方向时为正，力管为正，反之，力管为负。

力管项的物理意义为：积分-即就是气压梯度力沿闭合回路的积分,

沿着气压梯度与路径相同，则环流加强，反之减弱。

力管项的存在的必要条件就是大气的斜压性。通常实际大气中，等比容

面和等气面相交。

举例:

丘=石X产

大刁、：v=勿〃sina=a>R

方向：右手螺旋法则

相对环流定理

对于气象问题，需要考察相对于地球的运动，故相对运动及其变化是我

们所讨论的实际问题。

由于绝对速度可分为绝对速度和牵连速度：

弓=匕+匕=匕+0x7

于是有：Ce=£(Qxr)dr=V3x(Qxr)ndcr

。和Q分别为相对环流和由地球自转产生的牵连环流，计算Ce，需要

利用斯托克斯(Stokes)定理：

^Vadr=V3dr+J(Qxr)dr

=C+Ce

。表示闭合回路L所围面积，亢为曲面元do的外法向方向；

W为面积cr在赤道平面上的投影。L的走向与五构成右手系统(如图)。

闭合回路L所围面积在赤道平面上的投影

利用矢量运算规则有：

V3x(5x^)=(^V3)5-(5V3)^+5V3B-而3d

V3x(Qxr)=(rV3)Q-(QV3)r+QV3r-rV3C

=QV3r-(QV3)r=2Q

带入上式

C,=j£2Qda=20/X=2QJZ

因止匕，C=Ca-Ce=Ca-22c

对上式求个别微商，并利用：|•生疗=-fadp

JLDTJLy

就得到皮叶克尼斯环流定理：J\adp-2/

dt}ldt

皮叶克尼斯环流定理的讨论?

上式表明造成相对环流随时间变化的原因有2个：1是力管项；2.是面

积变化项。

在北半球，若闭合回路L所包围的面积在赤道面的投影随时间减小，即

d27dr<0,则相对环流增强；反之，投影面积随时间增加，d27d?>0,则

相对环流减弱。正压大气，相对环流变化完全由面积变化项决定。

引起投影面积2■变化可能有3种情况：

闭合回路L所包围的投影面积在球面上有南北移到时候，投影面积2■会

发生改变，向北部时移动£增大，向南移动时W会减小；

辐散幅合造成面积。本身扩张和收缩，使投影面积S发生改变；

速度场不均匀使面积。相对于球面在空间的倾斜发生改变，从而使投影

面积Z发生变化。

涡度与涡度矢量方程

涡度的概念

环流及其随时间变化的环流定理引进在气象上对气象学理论有十分积

极的作用，但在实际气象上是无法直接运用的，需要引进新的概念：涡

度。

对速度环流C引用斯托克斯定理，把线积分变为面积分后得到：

C=dr=j£(V3xt^)da=j£(V3xi^).da

由此可见，沿闭合回线L的速度环流是和速度的旋度(^，区)紧密相

互联系的。上式表明：沿闭合回线L的速度环流等于提供该回线所确定

的面积上的涡旋通量。或简言之，环流等于速度旋度的面积分。通常称

速度的旋度为涡度。

C=d(y

对上式取面积b趋于。的极限后，lim'=(%xR).

Q-＞。8(J

所以，涡度在法方向的分量就等于单位面积上的环流，因此可以认为涡

度是对流体转动的微观度量。

涡度用来描述流体微团的旋转运动。涡度是点的坐标和时间的函数，它

在直角坐标系中的投影为：

也，9=曳-生，。.=%-生

dydzdzdxdxdy

自然坐标系下的涡度表达式，见pill,图6.8

沿ABCDA的环流为：

--av

6C=VxA6+0xBC+(V+=dr)xCZ)+0xD4

dr

dv

=-vxAB+(v+—dr)xCD

dr

注意，风矢量▽与矢径相垂直！

,/AB—rd0,CD=(r+dr)d0,BC—AD-dr

代入上式，则:

dC=-vrd0+(v+-dr)(r+dr)d6

dr

dvdv

=-vrd3+vrd0+vdrd6-\----rdrd0-\-----(dr)-7d0

drdr

vdvdvdr

二—(rdrd6)+—(rdrd8)+-------(rdrd。)

rdrdrr

又因为：ABCD的面积dA为：6A=rdrde

所以上式又可以写成：

vSudrdv

=-dA+—dA+——dA

rdrrdr

当drfO和dOfO时-，上式最后一项也趋于零，则涡度（C）为：

SCvdv

L=hm----=—H-----

一d—o5Ardr

该式表明，涡度由两方面（作用）造成：第一项表示气流的弯曲作用，

称为曲率项；第二项表示风速在r方向的分布不均（察。0）的作用，

dr

称为切变项。涡度是由曲率项和切变项的综合效应产生。

dvv

曲率项；如果刀=。，则7=一表示气流作弯曲运动时，涡度不等于零。

orr

流线的曲率用1/r表示，当气流按逆（顺）时针旋转，r＞（＜）0,则涡度为

正（负）。见pll2,图6.10

dv

切变项：如果气流作直线运动，1/r趋于零，此时，＜=—,表示当风

or

速沿r方向增大（减小）时，涡度为正（负）。在自然坐标系下规定r

的方向为与气流垂直且指向右侧。下图6.9来说明。

关于流函数W：

水平无辐散运动：生+史=0=史=-史

dxdydxdy

存在一个标量函数w要求：

3%

U=----

Qy

=vdx-udy=＞＜*

ST

v=----

、dx

Vh=ui+vj=一▽+xk=kxV+

〃称为流函数，水平速度方向与等〃相切，所以等〃（产常数）的曲线

就是水平流场的曲线，或者说，等3线相当于无辐散速度场的流线）。引

入流函数瘁示水平流场，涡度用涯示有：

dxdy

d2d2

吁旅+旅

对于无旋运动（包—电=（）=史=电），则存在一个标量函数不用涛示

oxcyoxdy

水平速度场，要求：

u——

dx-7Tv-7

=%=〃+〃=▽%

Z称为速度势，无旋运动的流体将沿速度势的水平梯度方向运动。

武生+包=力力

dxdy

一般情形下，水平速度可以分为无辐散和无旋两个部分的速度之和:

「-du^a%八

V・匕=—+—^=0

dxdy

--dvdu

（▽x匕）*=1v——二v=0

*6ydy

匕,=_V+xE,%=V%分别为旋转风和散度风

-a-vdu片

小---=9

小

-5W-dvs